對稱性在重積分計算中的應用

左俊梅

[摘 要]在積分計算中，運用積分區域的對稱性和被積函數的奇偶性，以及輪換對稱性可以簡化計算.對稱性在重積分計算中具有多方面的應用.

[關鍵詞]對稱性 重積分 積分計算

[中圖分類號] O172.2 [文獻標識碼] A [文章編號] 2095-3437（2014）14-0177-02

一、對稱性在二重積分計算中的應用

對于二重積分，我們主要討論積分區域關于x軸（或y軸）對稱、關于原點對稱以及輪換對稱性的類型.

定理1 設函數f（x，y）在xoy平面上的有界區域D上連續，且D關于x軸對稱.如果函數f（x，y）是關于y的奇函數，即f（x，-y）=-f（x，y），（x，y）∈D則■f（x，y）dσ=0；如果f（x，y）是關于y的偶函數，即f（x，-y）=f （x，y），（x，y）∈D，則■f（x，y）dσ=2■f（x，y）dσ.其中D1是D在x軸上方的平面區域.

同理可寫出積分區域關于y軸對稱的情形.當積分區域關于原點對稱時，我們可以得到如下的定理.

定理2 設函數f（x，y）在xoy平面上的有界區域D上連續，且D關于原點對稱.如果f （-x，-y）=-f（x，y），（x，y）∈D，則■f（x，y）dσ=0；如果f （-x，-y）=f（x，y），（x，y）∈D，則■f（x，y）dσ=2■f（x，y）dσ=2■f（x，y）dσ，其中D1={（x，y）∈D|x≥0}，D2={（x，y）∈D|y≥0}.

為了敘述的方便，我們給出區域關于x，y的輪換對稱性的定義.

定義1 設D為一有界可度量平面區域（或光滑平面曲線段），如果對于任意（x，y）∈D，存在（y，x）∈D，則稱區域D（或光滑平面曲線段）關于（x，y）具有輪換對稱性.

關于區域的輪換對稱性，有如下定理.

定理3 設函數f（x，y）在xoy平面上的有界區域D上連續，且D關于x，y具有輪換對稱性，則■f（x，y）dσ=■f（y，x）dσ.

例1 計算二重積分I=■■ dσ，其中f（x）是區間[-1，1]上的正值連續函數，D={（x，y）|x2+y2≤1，x≥0，y≥0}.

解 由于積分區域D關于x，y具有輪換對稱性，則由定理3得

I=■■ dσ=■■ dσ，

所以I=■■[■+

■]dσ=■■dσ=■（a+b）.

二、對稱性在三重積分計算中的應用

經過分析，我們可以很容易地看到對稱性在三重積分計算中的應用與二重積分非常類似，根據對稱性在二重積分計算中的結論可以得到下面的定理.

定理4 設函數f（x，y，z）是定義在空間有界區域Ω上的連續函數，且Ω關于坐標平面x=0對稱，則

（1）若f（x，y，z）是關于變量x的奇函數，則

■f（x，y，z）dV=0；

（2）若f（x，y，z）是關于變量x的偶函數，則

■f（x，y，z）dV=2■f（x，y，z）dV.

其中Ω1是Ω的前半部分，Ω1={（x，y，z）∈Ω|x≥0}.

同理可寫出Ω關于坐標平面y=0（或z=0）對稱時的情形.

例2 計算三重積分I=■（x+z）dV，其中Ω是由曲面z=■與z=■所圍成的區域.

解I=■xdV+■zdV，由于Ω關于坐標面x=0對稱，且x為關于變量x的奇函數，則由定理4知■xdV=0.則I=■zdV=■dθ■dφ■rcosφr2sinφdr=■.

與二重積分類似，我們也可得到如下結論.

定理5 設函數f（x，y，z）是定義在空間有界區域Ω上的連續函數，且Ω關于原點對稱，則

（1）若f（-x，-y，-z）=-f（x，y，z），（x，y，z）∈Ω，則

■f（x，y，z）dV=0；

（2）若f（-x，-y，-z）=f（x，y，z），（x，y，z）∈Ω，，則

■f（x，y，z）dV=2■f（x，y，z）dV=2■f（x，y，z）dV

=2■f（x，y，z）dV.

其中Ω1={（x，y，z）∈Ω|x≥0}，Ω2={（x，y，z）∈Ω|y≥0}，Ω3={（x，y，z）∈Ω|z≥0}

為了方便敘述，我們先給出一個空間幾何體關于x，y，z的輪換對稱性定義.

定義2 設Ω是一有界可度量的幾何體（Ω可為空間區域、空間曲線或曲面塊），且它的邊界光滑，若對任意的（x，y，z）∈Ω，都存在（y，z，x）∈Ω，存在（z，x，y）∈Ω，則稱Ω關于x，y，z具有輪換對稱性.

關于空間區域的輪換對稱性，我們有如下的定理.

定理6 設函數y（x，y，z）是定義在空間有界區域Ω上的連續函數，且Ω關于x，y，z具有輪換對稱性，則

■f（x，y，z）dV=■f（y，z，x）dV=■f（z，x，y）dV.

例3 計算■f（x+y+z）2dΩ.其中Ω為正方體0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1.

解 由于Ω關于x，y，z具有輪換對稱性，由定理6知

■x2dΩ=■y2dΩ=■z2dΩ，

■2xydΩ=■2yzdΩ=■2zxdΩ，

那么■（x+y+z）2dΩ=■（3x2+6xy）2dΩ

=■dx■dy■（3x2+6xy）dz=■.

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 孫欽福.二重積分的對稱性定理及其應用[J].曲阜師范大學學報，2008（29）：9-10.

[2] 張仁華.二重積分計算中的若干技巧[J].湖南冶金職業技術學院學報，2008（2）：102-104.

[3] 陳云新.輪換對稱性在積分中的應用[J].高等數學研究，2001（4）：29-31.

[4] 王憲杰.對稱區域上二重積分和三重積分的計算[J].牡丹江師范學院學報，2007（4）：65-66.

[責任編輯：林志恒]