考慮摩擦的剪切損傷本構關系的力學分析

崔 崧, 張治國, 劉麗麗

(沈陽師范大學 物理科學與技術學院, 沈陽 110034)

考慮摩擦的剪切損傷本構關系的力學分析

崔 崧, 張治國, 劉麗麗

(沈陽師范大學 物理科學與技術學院, 沈陽 110034)

脆性和準脆性材料在外部載荷作用下,通常會表現出復雜的應力應變關系。其中,受壓剪作用的裂紋是否摩擦滑動,對材料的剪切本構關系會產生很大的影響。之前在一些文獻中提出過這種考慮裂紋摩擦效應的損傷本構模型,但只是理論假設,并沒有進行過嚴格的證明。可以考慮一個受壓剪作用的單元體,其中心含一條微裂紋,利用彈性力學理論中的復變函數方法可以給出單元體邊界及裂紋所在平面處的位移場,通過某種平均化的方法,可得到單元體基體平均剪應變的一種形式,而這種形式與單元體邊界及裂紋的幾何尺寸有關,進一步可定義與這些幾何尺寸相關的剪切損傷變量,將基體平均剪應變代入到彈性剪切本構關系中,可得到考慮摩擦效應的脆性和準脆性材料彈性剪切損傷本構關系。這種方法利用了現有的彈性力學理論,所以得到的結論是可靠的。

摩擦; 剪切; 彈性力學; 損傷; 本構關系

0 引 言

為了描述脆性和準脆性材料的復雜力學行為,采用唯象的各向異性損傷理論是一種比較有效的方法,而且有很多學者作了大量的相應工作[1-11]。對于受壓剪作用的裂紋面,為了描述摩擦效應,Dragon等人[11]在損傷本構關系中引入一個二階滑動張量γ,但模型較為復雜,為此文獻[12]提出了一種簡單實用的摩擦塑性損傷耦合模型,并作了一些應用[13]。

為了驗證文獻[12]的結論,可以考慮一個遠端受壓剪作用且中心含一條裂紋的薄板,在裂紋周圍截取一單元體,對之進行彈性力學分析,可得到基體平均剪應變的表達式,再利用彈性剪切本構關系,則得到單元體的彈性剪切損傷本構方程,方程中的剪切損傷變量與單元體邊界及裂紋尺寸有關。通過這種力學分析,證明了文獻[12]有關摩擦的剪切損傷本構模型是正確的。

1 遠端受壓剪薄板內部的位移場

在文獻[12]中考慮了一個平面問題下損傷主軸坐標系中受壓剪作用的代表性體積單元,如圖1所示。假設水平裂紋對應的剪切損傷變量ω12保持不變,作用在裂紋上的壓力σn也恒定,則裂紋面上的最大摩擦力τf=μsσn,其中μs為材料的摩擦系數。文獻[12]認為,當施加在單元上的剪應力τ12逐漸增加時,其剪切應力應變關系應為

圖1 含一條裂紋的單元

下面用彈性力學理論來證明這個公式。考慮一個內部含一條裂隙的無限大薄板,如圖2所示,裂隙沿x方向,長度為2a,遠端受均布壓剪載荷作用,其中均布剪力q1平行和垂直于x方向,均布壓應力q2平行于y方向。

假設均布壓應力q2不變,均布剪力q1由小到大逐漸增加,且加載依次分為2個階段:1)當q1較小時,裂紋閉合且不滑動,裂紋面上承受與遠端相同的剪力q1,薄板相當于無損狀態;2)當q1增大到等于裂紋面能承受的最大剪應力τf=μsq2時,裂紋面開始滑動,薄板處于損傷狀態,而裂紋面上的剪應力保持τf=μsq2不變。2個階段裂紋面上承受的壓應力保持q2不變。

我們知道,平面應力下薄板的位移分量的復變函數表示式為[14-15]

式中:E為材料楊氏模量;μ為泊松比;φ1(z)、ψ1(z)為變量z=x+iy的復變函數,若已知其表達式,代入上式中并將右邊的實部和虛部分開,便可得到材料內任一點(x,y)的位移分量u和v。

對于加載的第1階段,薄板遠端和裂紋面分別受剪力q1、壓應力q2的作用,4種邊界條件各有其復變函數φ1(z)、ψ1(z)的表達式[14],其疊加形式為

其中,q2為負,q1為正。代入式(2),可得第1階段薄板各點位移為

在加載的第2階段,薄板遠端受剪力q1、壓應力q2的作用,裂紋面上承受剪力τf和壓應力q2,4種邊界條件下的復變函數φ1(z)、ψ1(z)的形式分別為

將式(4),式(5)代入式(2),可得到裂紋發生摩擦滑動時薄板各點的位移。

2 含裂紋單元體剪切本構關系的推導

在圖2中薄板的裂紋周圍截取一塊單元體,如圖3所示,裂紋對稱位于單元體中央,單元體長度為2l,高度為2h,單元體受壓剪作用,與圖1中的研究對象類似。

圖2 遠端受壓剪載荷的薄板

圖3 中心含裂紋的單元體

在加載的第1階段,薄板各點處剪應變γ12利用式(3)求出為

其中,G為剪切模量,且G=E/2(1+μ)。單元體的平均剪應變與上式相同,單元體的應力應變關系為

形式與式(1)中第1式是一致的。

其中,f1,f2僅與單元體邊界和裂紋的幾何尺寸有關,與載荷大小無關,具體形式可見文獻[16]。

對于裂紋面(y=0)上的位移u,由式(4)、式(5)和式(2)可得

式(11)的形式與式(1)中的第2式是一致的。通過對兩個加載階段的力學分析得到公式(6)和式(11),我們就證明了式(1)是正確的。以上的分析是在平面應力條件下進行的,但結論同樣適用于平面應變條件。

3 結 論

利用彈性力學理論對裂紋受壓剪時的剪切彈性損傷本構關系進行了分析,得到的結論適用于脆性和準脆性材料,這是由于這種材料從加載到破壞過程中被認為一直是彈性的。該方法不僅可以分析剪切損傷本構關系的裂紋摩擦效應,也可以分析復雜載荷下拉伸和壓縮損傷本構關系的裂紋摩擦效應,進一步可分析得到含隨機裂紋材料的考慮摩擦效應的各項力學性能。

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Mechanicsanalysisofsheardamageconstitutiverelationwithfriction

CUISong,ZHANGZhiguo,LIULili

(College of Physical Science and Technology, Shenyang Normal University, Shenyang 110034,China)

The stress-strain relation of brittle and quasi-brittle materials is usually very complex under the external load. In compression shearing, the crack surface of materials may slide relatively, which can make a great influence to shear constitutive relation. In some of the existing literature, the friction effect has been considered, but the related constitutive equations have not been rigorously proved, only as a hypothesis. Considering a volume element with one micro crack, and using the method of function of the complex variable based on the theory of the elasticity, the displacement field of the boundary and the crack surface is analyzed. It can be got a form of the matrix average shear strain which related to the geometry of the element and the crack by some averaging method, further can define the shear damage variable associated with the geometry. By putting the matrix average shear strain into the elastic shear constitutive relation, the elastic shear damage constitutive relation with friction for brittle and quasi-brittle materials can be obtained. This method has applied the theory of the elasticity, so the result would be reliable.

friction; shear; elasticity; damage; constitutive relation

2014-08-18。

遼寧省教育廳科學研究項目(L2014442)。

崔 崧(1969-),男(滿族),遼寧本溪人,沈陽師范大學副教授,博士。

1673-5862(2014)04-0553-04

O346.5

: A

10.3969/ j.issn.1673-5862.2014.04.021