三角高程代替幾何水準的可行性

郭旭

(深圳市勘察測繪院有限公司，廣東深圳 518028)

1 引言

三角高程測量相對于幾何水準測量而言，具有作業效率高、操作簡單靈活等特點。同時，現在全站儀的測距和測角精度都有很大提高，且精度匹配合理，這使得三角高程測量的精度和可靠性，都有了很大改觀。本文依據三角高程測量原理，根據誤差傳播理論，對三角高程測量精度進行分析和評定，得出在一定條件下，三角高程代替幾何水準測量的可能性，使測量工作者可根據實際工作選擇最佳水準測量方案。

2 三角高程測量原理及數學模型

2.1 單向三角高程測量及數學模型

實際測量工作中，三角高程測量的距離，通常是幾百米甚至上千米。當距離超過 400 m時，地球曲率和大氣折光的影響將不能忽視。

三角高程測量時，光線通過密度不均勻的介質時會發生折射，從而使光線成為一條復雜的空間曲線，由此而引起的測量誤差，稱為氣象誤差。引起氣象誤差的代表性原因通常有以下幾種:①大氣動力的不穩定性;②大氣組成的密度梯度;③大氣的溫度梯度;④大氣氣壓場、風場分布梯度;⑤大氣濕度場分布梯度。

三角高程測量原理如圖1所示。圖1中，S為斜距，α為豎直角，D為水平距離，i為儀器高，v為棱鏡高，p為地球曲率對高差的影響(簡稱球差)，r為大氣折光對高差的影響(簡稱氣差)。

由圖1可得，單向觀測的高差計算公式為:

式(1)中，R為地球半徑，k為大氣折光系數。大氣折光系數k與氣溫、氣壓，特別是大氣密度有關，其值不易測定。

圖1 單向三角高程測量

2.2 中間法三角高程測量的原理及數學模型

中間法是將兩個棱鏡架設在待測高差的高程點上，全站儀架設在距離兩點的中間位置，測量原理如圖2所示。

圖2 中間設站法三角高程測量

如圖2所示，將棱鏡分別架設在待測高差的A、B高程點上，在A、B中間，選擇與該兩點均通視的設站點O，測量過程中無需對中。根據三角高程測量的原理，由式(1)可得，O、A兩點的高差hOA為:

同理可得O、B兩點的高差hOB為:

由式(2)、式(3)，可得，A、B兩點間的高差hAB為:

若兩個棱鏡高一樣，則式(4)可簡化為:

通過這種方法，可以使中間法高差的測量誤差只與距離、豎直角和大氣折光系數有關。

3 三角高程測量的誤差來源和精度分析

3.1 單向觀測的誤差來源及精度分析

(1)單向觀測三角高程測量的中誤差

根據誤差傳播定律，對式(1)進行全微分，可得:

工程施工中常用全站儀的測角精度為2″，測距精度為2+2 ppm，因此，可假定:

取2倍中誤差為極限誤差，通過式(6)及三四等水準規范可知，當 S＜700 m時，三角高程可代替三等水準，當S＜2000 m時，三角高程可代替四等水準。

由于k值由氣象元素決定，在不同測區變化很大，故需要實測k值，確定k值通常有兩種方法:

①用已知精密高差求k值

式中h1為精密水準測得高差，h2為未加球氣差改正的高差，S、α、R 同上。

②同時對向觀測解算k值

式中h3、h4為在兩點間對向觀測的高差觀測值，S、α、R 同上。

(2)試驗驗證

為驗證三角高程的實際精度，在某工程的高程控制測量中，我們分別施測了單向三角高程和二等幾何水準，并將二等幾何水準所測高程作為真值，與單向三角高程的測量結果進行比對。比對結果如表1所示。

單向觀測三角高程測量實測精度表 表1

由表1可知，單向三角高程測量結果與真值接近，離散不明顯。距離不超過 700 m時，單向三角高程能較好地滿足三等水準測量的精度要求;距離在 700 m至 2000 m時，單向三角高程能較好地滿足四等水準測量的精度要求，但不一定滿足三等水準測量的精度要求。另外，利用實測k值計算三角高程時，所得三角高程的精度更高。

3.2 中間法觀測的誤差來源及精度分析

(1)中間法三角高程測量的中誤差

中間法使兩測段的測距誤差ms相等，同時兩段豎直角的中誤差也大致一樣，在實際測量之前應使兩個棱鏡高保持一致。小區域內短時間可視k值為不變量，則式(5)可簡化為:

將式(8)全微分后，轉化為中誤差形式，可得:

將式中微小量忽略不計，可進一步簡化為:

由式(10)可知，中間法高差中誤差仍然主要是由距離和豎直角測量中誤差決定。

(2)精度分析

假定兩個棱鏡高一樣，由式(10)可知，中間法三角高程測量的誤差來源為斜距誤差，豎直角誤差和k值誤差，它們對高差的影響分別為:

設置不同距離的測段，組合不同的兩次豎直角值，得到表2為豎直角和距離分別對高差的影響量。

中間法觀測不同斜距與豎直角時測距、測角誤差對高差的影響 表2

表2表明，中間法觀測的主要誤差仍然是豎直角誤差和斜距誤差。其中豎直角誤差為主要誤差來源。

不考慮由棱鏡高帶來的誤差，可得到在此條件下，中間法的高差中誤差，并以2倍中誤差為極限誤差，可得表3。

中間法三角高程極限誤差與各等級水準限差比較 表3

(3)試驗驗證

利用二等水準和中間法三角高程測量進行實測驗證，并將二等水準測量結果作為真值進行比對。測量時，前后棱鏡等高，采用2″級全站儀觀測兩個測回，獨立測距三次，成果如表4所示。

中間法三角高程測量與二等水準高程比較 表4

由表4可知，中間法觀測中，當儀器架設在中間位置時，測量成果與二等水準測量高差(設定真值)進行比較，較差均很小。距離小于 1500 m時，三角高程能較好地滿足三等水準測量的精度要求，但不能保證滿足二等水準的精度要求。當中間法三角高程前、后視不對稱時，測量誤差將隨前后視距差的增大而急劇增大。因此，采用中間法三角高程時，前后視距應盡量相等。

4 結語

通過以上分析和實際驗證，可得出以下結論:

(1)三角高程測量中，豎直角的誤差為主要誤差來源，距離與高差中誤差成正比;當距離一定時，豎直角與高差中誤差不成簡單的正反比關系;單向觀測中k值要準確選取。

(2)在2″級全站儀，測距精度為2+2 ppm前提下，代替三等水準測量時，單向觀測距離不大于 700 m，中間法距離不大于 1500 m;代替四等水準測量時，單向觀測距離不大于 2000 m。

(3)不能將測角精度在長距離和觀測條件不好時視為不變量，觀測時應選擇在陰天中午條件下觀測。

(4)與幾何水準相比，三角高程測量效率高、作業簡單靈活，可作為普通高程控制測量的主要手段。

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