學生在學習萬有引力與重力關系后產生的疑惑和悖論

龍輝

在進行萬有引力與重力的關系的教學后，筆者發現學生的理解產生了悖論，這值得我們探討。

一、萬有引力與重力關系的教學

由于地球的自轉，地球上的物體隨地球自轉而繞相對應的地軸做圓周運動，如右圖1，質量為m的物體繞O′點做半徑為r的圓周運動，萬有引力F萬的一個分力充當自轉所需的向心力F1，另一分力就是重力F2，θ角為緯度角，由此我們可以得到如下結論：

任意處：mg=■（其中r=Rcosθ）

1.重力是萬有引力的一個分力，另一分力作物體隨地球自轉的向心力，除兩極和赤道外，重力的方向不指向地心，而是與地球的半徑方向有個夾角。在緯度θ=45°時重力偏離地球半徑方向最大，大約是6′，重力方向稱為豎直向下。

2.同一物體重力的大小隨物體所在緯度的變化而變化，緯度θ變大，向心力F1=mω■■r變小，重力F2變大，兩極點自轉所需的向心力為0，因此重力最大等于萬有引力，也就是說重力加速度g隨緯度的升高而變大。

3.根據地球的半徑和自轉實際，物體所需自轉的向心力較小（角速度ω0較小，向心加速度較小），最大向心加速度a=ω■■r=0.034m/s2，大約為重力加速度的3.5‰。由于mω■■r遠小于mg，所以有：mg=■（俗稱黃金代換）。

二、學生產生的疑惑和悖論

1.地面上的物體和懸掛的物體所受的支持力和拉力為什么等于重力呢？

2.如果說地面上的物體隨地球自轉，上面的分析成立，然而空中飛行的小鳥、拋出的石頭、加速飛行的火箭等已經不和地球一起轉了，上面的分析就應該不成立了。

3.赤道上的物體受到的重力計算式為：■-mω■■R=mg，根據公式，當地球自轉速度達到一定的時候，mg=0，也就是說重力消失了。

三、解決疑惑和悖論

問題1：如果我們把圖1改為圖2，分析問題就好解決了：由受力分析得物體受萬有引力F萬和支持力N。由于物體隨地球自轉，做勻速圓周運動需要向心力。萬有引力F萬的一個分力F向提供，而另一個分力就是mg，即有N=mg。把N改為繩子張力T，即得T=mg。

■ ■

悖論2：

（1）對于地球附近空中的物體而言，可以看圖3所示，物體在空中的一個分運動與地球自轉同步，因此萬有引力的一個分力提供物體隨地球自轉的向心力，而另一個分力就是重力。因為此時沒有支撐物，所以物體在豎直方向上的合力就是mg。根據公式mg=■，就好解釋g隨高度的增加減小。而物體在豎直方向的合力就是mg，由于在地面附近公式■，h相對R很小而且h變化很小，這時可以把g看作恒量，于是物體在豎直方向上做自由落體及平拋運動、斜拋運動、加速運動等。

悖論3：在赤道上的物體如圖4所示，由受力分析得物體受萬有引力F萬和支持力N。萬有引力F萬分解為重力和向心力，然而重力和向心力在一條直線上，同理有■-mω■■R=mg，有N=mg。

（2）如圖5所示：我們從公式■-mω■■R=mg可知，如果地球的自轉角速度越來越大，那么重力就會越來越小。當■=mω■■R時，我們說物體將漂起來了。這時的重力消失了嗎？我們要知道重力與萬有引力有區別是因為地球的自轉。當物體不隨地球自轉時，重力就是萬有引力。

如圖6所示，高空圍繞地球運轉的衛星、空間站等所需的向心力就是萬有引力提供的。這個狀態下，重力就是萬有引力。

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在進行萬有引力與重力的關系的教學后，筆者發現學生的理解產生了悖論，這值得我們探討。

一、萬有引力與重力關系的教學

由于地球的自轉，地球上的物體隨地球自轉而繞相對應的地軸做圓周運動，如右圖1，質量為m的物體繞O′點做半徑為r的圓周運動，萬有引力F萬的一個分力充當自轉所需的向心力F1，另一分力就是重力F2，θ角為緯度角，由此我們可以得到如下結論：

任意處：mg=■（其中r=Rcosθ）

1.重力是萬有引力的一個分力，另一分力作物體隨地球自轉的向心力，除兩極和赤道外，重力的方向不指向地心，而是與地球的半徑方向有個夾角。在緯度θ=45°時重力偏離地球半徑方向最大，大約是6′，重力方向稱為豎直向下。

2.同一物體重力的大小隨物體所在緯度的變化而變化，緯度θ變大，向心力F1=mω■■r變小，重力F2變大，兩極點自轉所需的向心力為0，因此重力最大等于萬有引力，也就是說重力加速度g隨緯度的升高而變大。

3.根據地球的半徑和自轉實際，物體所需自轉的向心力較小（角速度ω0較小，向心加速度較小），最大向心加速度a=ω■■r=0.034m/s2，大約為重力加速度的3.5‰。由于mω■■r遠小于mg，所以有：mg=■（俗稱黃金代換）。

二、學生產生的疑惑和悖論

1.地面上的物體和懸掛的物體所受的支持力和拉力為什么等于重力呢？

2.如果說地面上的物體隨地球自轉，上面的分析成立，然而空中飛行的小鳥、拋出的石頭、加速飛行的火箭等已經不和地球一起轉了，上面的分析就應該不成立了。

3.赤道上的物體受到的重力計算式為：■-mω■■R=mg，根據公式，當地球自轉速度達到一定的時候，mg=0，也就是說重力消失了。

三、解決疑惑和悖論

問題1：如果我們把圖1改為圖2，分析問題就好解決了：由受力分析得物體受萬有引力F萬和支持力N。由于物體隨地球自轉，做勻速圓周運動需要向心力。萬有引力F萬的一個分力F向提供，而另一個分力就是mg，即有N=mg。把N改為繩子張力T，即得T=mg。

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悖論2：

（1）對于地球附近空中的物體而言，可以看圖3所示，物體在空中的一個分運動與地球自轉同步，因此萬有引力的一個分力提供物體隨地球自轉的向心力，而另一個分力就是重力。因為此時沒有支撐物，所以物體在豎直方向上的合力就是mg。根據公式mg=■，就好解釋g隨高度的增加減小。而物體在豎直方向的合力就是mg，由于在地面附近公式■，h相對R很小而且h變化很小，這時可以把g看作恒量，于是物體在豎直方向上做自由落體及平拋運動、斜拋運動、加速運動等。

悖論3：在赤道上的物體如圖4所示，由受力分析得物體受萬有引力F萬和支持力N。萬有引力F萬分解為重力和向心力，然而重力和向心力在一條直線上，同理有■-mω■■R=mg，有N=mg。

（2）如圖5所示：我們從公式■-mω■■R=mg可知，如果地球的自轉角速度越來越大，那么重力就會越來越小。當■=mω■■R時，我們說物體將漂起來了。這時的重力消失了嗎？我們要知道重力與萬有引力有區別是因為地球的自轉。當物體不隨地球自轉時，重力就是萬有引力。

如圖6所示，高空圍繞地球運轉的衛星、空間站等所需的向心力就是萬有引力提供的。這個狀態下，重力就是萬有引力。

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在進行萬有引力與重力的關系的教學后，筆者發現學生的理解產生了悖論，這值得我們探討。

一、萬有引力與重力關系的教學

由于地球的自轉，地球上的物體隨地球自轉而繞相對應的地軸做圓周運動，如右圖1，質量為m的物體繞O′點做半徑為r的圓周運動，萬有引力F萬的一個分力充當自轉所需的向心力F1，另一分力就是重力F2，θ角為緯度角，由此我們可以得到如下結論：

任意處：mg=■（其中r=Rcosθ）

1.重力是萬有引力的一個分力，另一分力作物體隨地球自轉的向心力，除兩極和赤道外，重力的方向不指向地心，而是與地球的半徑方向有個夾角。在緯度θ=45°時重力偏離地球半徑方向最大，大約是6′，重力方向稱為豎直向下。

2.同一物體重力的大小隨物體所在緯度的變化而變化，緯度θ變大，向心力F1=mω■■r變小，重力F2變大，兩極點自轉所需的向心力為0，因此重力最大等于萬有引力，也就是說重力加速度g隨緯度的升高而變大。

3.根據地球的半徑和自轉實際，物體所需自轉的向心力較小（角速度ω0較小，向心加速度較小），最大向心加速度a=ω■■r=0.034m/s2，大約為重力加速度的3.5‰。由于mω■■r遠小于mg，所以有：mg=■（俗稱黃金代換）。

二、學生產生的疑惑和悖論

1.地面上的物體和懸掛的物體所受的支持力和拉力為什么等于重力呢？

2.如果說地面上的物體隨地球自轉，上面的分析成立，然而空中飛行的小鳥、拋出的石頭、加速飛行的火箭等已經不和地球一起轉了，上面的分析就應該不成立了。

3.赤道上的物體受到的重力計算式為：■-mω■■R=mg，根據公式，當地球自轉速度達到一定的時候，mg=0，也就是說重力消失了。

三、解決疑惑和悖論

問題1：如果我們把圖1改為圖2，分析問題就好解決了：由受力分析得物體受萬有引力F萬和支持力N。由于物體隨地球自轉，做勻速圓周運動需要向心力。萬有引力F萬的一個分力F向提供，而另一個分力就是mg，即有N=mg。把N改為繩子張力T，即得T=mg。

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悖論2：

（1）對于地球附近空中的物體而言，可以看圖3所示，物體在空中的一個分運動與地球自轉同步，因此萬有引力的一個分力提供物體隨地球自轉的向心力，而另一個分力就是重力。因為此時沒有支撐物，所以物體在豎直方向上的合力就是mg。根據公式mg=■，就好解釋g隨高度的增加減小。而物體在豎直方向的合力就是mg，由于在地面附近公式■，h相對R很小而且h變化很小，這時可以把g看作恒量，于是物體在豎直方向上做自由落體及平拋運動、斜拋運動、加速運動等。

悖論3：在赤道上的物體如圖4所示，由受力分析得物體受萬有引力F萬和支持力N。萬有引力F萬分解為重力和向心力，然而重力和向心力在一條直線上，同理有■-mω■■R=mg，有N=mg。

（2）如圖5所示：我們從公式■-mω■■R=mg可知，如果地球的自轉角速度越來越大，那么重力就會越來越小。當■=mω■■R時，我們說物體將漂起來了。這時的重力消失了嗎？我們要知道重力與萬有引力有區別是因為地球的自轉。當物體不隨地球自轉時，重力就是萬有引力。

如圖6所示，高空圍繞地球運轉的衛星、空間站等所需的向心力就是萬有引力提供的。這個狀態下，重力就是萬有引力。

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