關于無垂直傳染及無因病死亡的標準的SIR傳染病模型

王雪明 曹占營

摘 要：在我國的歷史上，鼠疫、霍亂、天花等頻頻流行； 瘧疾、血吸蟲病、黑熱病、梅毒等廣泛存在，給人民的生活帶來深重的災難.這些傳染病和一些新出現的傳染病都來勢兇猛，危害著人們的健康，如AIDS、SARS等.因此， 研究傳染病動力學模型有重要意義.本文主要目的是研究無垂直傳染及無因病死亡的標準的SIR傳染病模型。

關鍵詞：無垂直傳染；SIR傳染病模型；垂直

早期的傳染病模型大多假設種群總數為常數或者漸近常數，在某些條件下是合理的，如：疾病在種群中傳播速度很快且在短期內沒有出生和死亡或出生率和死亡率能夠相互平衡、環境封閉等。但在實際問題中，不論是動物或者是植物的數量總是隨著外界擾動而發生波動。因此，假設總人口大小為常數是不合理的，需要研究總人口具有種群動力學的傳染病模型。關于這類模型已被Anderson和May（1979）在實驗室所驗證，還有 McNeill（1976）也研究疾病對人類總人口的影響.從數學上看，這類模型的研究更加困難，因為總人口的變化增加了方程的維數。

一、無垂直傳染及無因病死亡的標準的SIR傳染病模型

（1.11）

其中b為出生率，d為死亡率，α為恢復率。

令s=，i=，r=，可行域為

Ω={s≥0，i≥0，r≥0，s+i+r=1}

則方程變為

（1.12）

這里s+i+r=1。

由于系統（1.12）前兩個方程中不含變量，所以我們如果僅關心疾病是否流行，則可以僅從前兩個方程來研究s與的性態，若需要了解的性態可再由第三個方程討論。

由前兩個方程構成的平面系統為

（1.13）

其中（s，i）∈D{（s，i）│0≤s≤1，0≤i≤1，s+i≤1}

為求系統（1.13）的平衡點，令其右端為0，從而求出可能的兩組解

，0

， ，

二、主要結論

令R0=則當R0<1時，疾病逐漸消失。當R0>1時，疾病將流行且最終成地方病。當R0=1是區分疾病是否消失的閥值。

參考文獻：

[1] 楊光. SIR傳染病數學模型的隔離控制[J].生物數學學報，2009，24（3）：479-483.

[2] 王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松. 常微分方程.第三版[M].北京：高等教育出版社，2006.