關(guān)于無垂直傳染及無因病死亡的標(biāo)準(zhǔn)的SIR傳染病模型

王雪明 曹占營

摘 要：在我國的歷史上，鼠疫、霍亂、天花等頻頻流行； 瘧疾、血吸蟲病、黑熱病、梅毒等廣泛存在，給人民的生活帶來深重的災(zāi)難.這些傳染病和一些新出現(xiàn)的傳染病都來勢兇猛，危害著人們的健康，如AIDS、SARS等.因此， 研究傳染病動力學(xué)模型有重要意義.本文主要目的是研究無垂直傳染及無因病死亡的標(biāo)準(zhǔn)的SIR傳染病模型。

關(guān)鍵詞：無垂直傳染；SIR傳染病模型；垂直

早期的傳染病模型大多假設(shè)種群總數(shù)為常數(shù)或者漸近常數(shù)，在某些條件下是合理的，如：疾病在種群中傳播速度很快且在短期內(nèi)沒有出生和死亡或出生率和死亡率能夠相互平衡、環(huán)境封閉等。但在實(shí)際問題中，不論是動物或者是植物的數(shù)量總是隨著外界擾動而發(fā)生波動。因此，假設(shè)總?cè)丝诖笮槌?shù)是不合理的，需要研究總?cè)丝诰哂蟹N群動力學(xué)的傳染病模型。關(guān)于這類模型已被Anderson和May（1979）在實(shí)驗(yàn)室所驗(yàn)證，還有 McNeill（1976）也研究疾病對人類總?cè)丝诘挠绊?從數(shù)學(xué)上看，這類模型的研究更加困難，因?yàn)榭側(cè)丝诘淖兓黾恿朔匠痰木S數(shù)。

一、無垂直傳染及無因病死亡的標(biāo)準(zhǔn)的SIR傳染病模型

（1.11）

其中b為出生率，d為死亡率，α為恢復(fù)率。

令s=，i=，r=，可行域?yàn)?/p>

Ω={s≥0，i≥0，r≥0，s+i+r=1}

則方程變?yōu)?/p>

（1.12）

這里s+i+r=1。

由于系統(tǒng)（1.12）前兩個方程中不含變量，所以我們?nèi)绻麅H關(guān)心疾病是否流行，則可以僅從前兩個方程來研究s與的性態(tài)，若需要了解的性態(tài)可再由第三個方程討論。

由前兩個方程構(gòu)成的平面系統(tǒng)為

（1.13）

其中（s，i）∈D{（s，i）│0≤s≤1，0≤i≤1，s+i≤1}

為求系統(tǒng)（1.13）的平衡點(diǎn)，令其右端為0，從而求出可能的兩組解

，0

， ，

二、主要結(jié)論

令R0=則當(dāng)R0<1時，疾病逐漸消失。當(dāng)R0>1時，疾病將流行且最終成地方病。當(dāng)R0=1是區(qū)分疾病是否消失的閥值。

參考文獻(xiàn)：

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