半圓形凸起與沉積谷地相連地形對SH波的散射

呂曉棠，安靜波

（合肥學(xué)院 建筑工程系，合肥 230022）

研究彈性波入射時局部場地條件下的地面運動規(guī)律，既是彈性波散射理論研究的重要課題，又對工程實踐有廣泛的指導(dǎo)意義。二十世紀中后期以來，局部場地條件對地震動影響問題的研究取得了大量有意義的成果。波函數(shù)展開和復(fù)變函數(shù)法有效地解決了凸起、凹陷地形對平面SH波的散射問題［1－7］。半空間中圓弧形沉積盆地對SH波的散射［8］，楔形空間中圓弧形沉積對平面SH波的散射解析解［9］，都假定沉積谷地中為單一介質(zhì)。在圓弧形層狀沉積河谷場地對平面SH波入射下動力響應(yīng)分析［10］中，討論了沉積谷地土層排列順序?qū)恿憫?yīng)的放大作用。齊輝等［11－12］討論了直角域中SH波的散射問題。已有成果大都是針對某一種地形對彈性波的散射問題進行研究，對于由兩種或兩種以上地形共同組成的復(fù)雜場地對彈性波散射問題的討論并不多見。

在自然界中，廣泛存在凸起與沉積谷地相連等復(fù)雜地形。研究這些地形對SH波的散射問題，不僅具有一定的理論意義，而且有廣闊的工程應(yīng)用前景。

本文利用復(fù)變函數(shù)和移動坐標法研究了半圓形凸起與半圓形沉積谷地相連地形對SH波的散射問題。求解時，將整個求解區(qū)域分為三部分。首先，在三個部分中分別構(gòu)造滿足各自邊界條件的位移解，然后利用復(fù)變函數(shù)法和移動坐標法使之滿足“公共”邊界和半圓形沉積層的邊界條件，從而建立起求解該問題的無窮代數(shù)方程組。

1 問題的表述

半圓形凸起與半圓形沉積層相連地形的模型如圖1所示，半空間水平地表邊界記為S，半圓形凸起地形邊界記為C，半徑為a，圓心為O1；半圓形沉積層地形凹陷邊界記為，水平邊界記為，半徑為R，圓心為 O2；

圖1 半圓形凸起與半圓形沉積層相連地形模型Fig．1 Model of a semi-cylindrical hill adjoins a semi-cylindrical alluvial valley

求解該模型對穩(wěn)態(tài)平面SH波的散射問題，就是要滿足水平邊界S，凸起邊界C上應(yīng)力自由，并且在半圓形沉積層凹陷邊界上滿足應(yīng)力、位移連續(xù)的邊界條件下，求解SH波的控制方程。采用“分區(qū)”的方法，將整個求解區(qū)域分割成3部分，如圖2所示。區(qū)域Ⅰ為包括邊界C和在內(nèi)的圓形區(qū)域；半圓形沉積層為區(qū)域Ⅲ，包括沉積層水平邊界和凹陷邊界；余下部分為區(qū)域Ⅱ，包括邊界S和。其中，和為區(qū)域Ⅰ、Ⅱ的公共邊界和為區(qū)域Ⅱ、Ⅲ的公共邊界，在兩個公共邊界上應(yīng)該分別滿足應(yīng)力、位移連續(xù)的邊界條件。

圖2 求解區(qū)域的分割Fig．2 The division of the solution domain

2 問題的求解

2．1 控制方程

在各向同性、均勻、連續(xù)的介質(zhì)中研究彈性波對夾塞的散射問題，其最為簡單的模型就是反平面剪切運動的SH波模型。引入復(fù)變量z＝x＋iy＝x－iy，在復(fù)平面（上，對于穩(wěn)態(tài)情況，位移 W（x，y，t）要滿足運動方程

其中：W為位移函數(shù)，位移函數(shù)與時間的依賴關(guān)系為e－iωt（以下略去諧和因子 e－iωt）。k＝ω／cs，ω為位移 W（x，y，t）的圓頻率介質(zhì)的剪切波速，ρ、μ分別為介質(zhì)的質(zhì)量密度和剪切模量。

在極坐標系下，相應(yīng)的應(yīng)力可表達為

2．2 相關(guān)問題

2．2．1 區(qū)域Ⅰ內(nèi)的駐波

如圖2所示，以半圓形凸起的圓心O1為原點，建立 X1－O1－Y1坐標系，對應(yīng)復(fù)平面（z1）；以半圓形凹陷的圓心O2為原點建立X2－O2－Y2坐標系，對應(yīng)復(fù)平面（z2）。D為圓心O1、O2之間的距離。

在圓域Ⅰ內(nèi)求解一個駐波解，要求其滿足上邊界C上應(yīng)力自由，下邊界上應(yīng)力任意的邊界條件，由文獻［6］可知，在復(fù)平面（z1）中，這樣的駐波解可寫為

相應(yīng)的應(yīng)力為

其中：

ki＝ω／csi，csi為剪切波速。本文中，當i＝1時代表沉積層外介質(zhì)的各種參數(shù)，i＝2時代表半圓形沉積層的各種參數(shù)，例如ρ1，μ1代表沉積層外介質(zhì)的質(zhì)量密度和剪切模量；ρ2，μ2代表沉積層的質(zhì)量密度和剪切模量。

2．2．2 區(qū)域Ⅱ內(nèi)的波函數(shù)

在入射SH波的作用下，區(qū)域Ⅱ中存在散射波場W，由以下幾部分組成：由半空間水平界面產(chǎn)生的反射波 W（r）；由半圓形凹陷邊界產(chǎn)生的散射波，；并且區(qū)域Ⅱ中的總波場 W應(yīng)該滿足半空間表面S上應(yīng)力自由的邊界條件。

在復(fù)平面（z1，）中，滿足S上應(yīng)力自由的散射波W，W可表示為

其中：d是在復(fù)平面（z1，z1）中，半圓形沉積層圓心的復(fù)坐標。

相應(yīng)的應(yīng)力為

由SH波散射的多極坐標法知，在復(fù)平面（z2，）

其中：d′是在復(fù)平面（z2，）中半圓形凸起圓心的復(fù)坐標。

相應(yīng)的應(yīng)力可依照此方法由式（8）、（9）得到。

2．2．3 區(qū)域Ⅲ中的駐波

SH波入射時，半圓形沉積層中產(chǎn)生駐波，這個駐波應(yīng)該滿足沉積層水平邊界上應(yīng)力自由的邊界條件。在復(fù)平面（z2，2）下，區(qū)域Ⅲ中這樣的駐波可表示為

相應(yīng)的應(yīng)力表達式為

2．2．4 入射波和散射波

在復(fù)平面（z1，）上，入射波和反射波可寫為

相應(yīng)的應(yīng)力可表示為

復(fù)平面（z2z2）上，入射波和反射波可寫為

相應(yīng)的應(yīng)力可表示為

2．3 邊界條件及定解方程組

在兩個公共邊界上分別滿足應(yīng)力、位移連續(xù)的邊界條件，可得到求解本問題的定解方程組

將位移和應(yīng)力的表達式代入式（22），在方程兩邊同時乘以 e－inθ，并在區(qū)間（－π，π）上積分，可得到?jīng)Q定未知系數(shù)Am，Bm，Cm，F(xiàn)m的無窮代數(shù)方程組。

2．4 地面位移幅值

研究半圓形凸起與半圓形沉積層相連地形對SH波的散射問題，就要求給出水平面上任一觀察點上地震動變化與SH波的波數(shù)η和入射角α的關(guān)系。由于入射SH波的作用，圓域Ⅰ內(nèi)的波場為W，區(qū)域Ⅲ中的波場為W，而彈性半空間區(qū)域Ⅱ中的總波場則可以寫成

入射波波數(shù)為

或者

其中：λ為入射波的波長，或?qū)憺棣牵?a／λ。

3 算例和結(jié)果分析

作為算例，圖3給出3組無量綱參數(shù)比：μ1／μ2＝2／1，即半圓形沉積層相對于半圓形凸起比較“軟”；μ1／μ2＝1／1，即半圓形沉積層與半圓形凸起具有相同的剪切模量和密度，此時可認為半圓形沉積層不存在，計算模型應(yīng)退化為半空間中單獨的半圓形凸起地形；μ1／μ2＝1／2，即半圓形沉積層相對于半圓形凸起比較“硬”。

如圖3中，x／a＝－1點代表半圓形凸起地形與水平面相交處的幾何位置，x／a＝1點代表凸起與沉積層相交的位置；x／a＜1代表凸起地形表面上各點。1＜x／a＜3代表沉積層表面上各點，x／a＝3點代表沉積層與水平面相交處的幾何位置，x／a＜－1代表水平表面上諸點的位置。

圖3 地表位移幅值隨x／a的變化Fig．3 Variation of surface displacement amplitudes with x／a

圖3給出SH波以不同波數(shù)η，不同入射角α入射時，以上3種情況下半圓形凸起與沉積層相連地形地表位移幅值的變化情況。

（1）當 μ1／μ2＝1／1時，地表位移的變化規(guī)律與半空間中單獨凸起地形位移的變化規(guī)律［3］一致，可以認為消除了沉積層的影響。

（2）由圖 3（a）、（b）可見，當 η＝0．1和 η＝0．25時，除α＝90°的情況外，凸起部分位移幅值W均隨μ1／μ2的減小而降低，也就是說，當 μ1／μ2＝2／1即沉積層較“軟”時，對凸起部分W起到放大作用，使其大于單獨半圓形凸起即 μ1／μ2＝1／1的情況；而 μ1／μ2＝1／2即沉積層較“硬”時，可明顯降低凸起部分的位移。例如，當 η＝0．25，α＝60°時，μ1／μ2＝2／1相對于 μ1／μ2＝1／1的情況，凸起頂點位移幅值提高了10%；而μ1／μ2＝1／2相對于 μ1／μ2＝1／1的情況，凸起頂點位移幅值降低了25%。

（3）高頻 η＝0．75，1．25入射時，由圖 3（c）、（d）可見，沉積層對凸起部分位移有不同程度的影響，但影響程度比低頻情況小。同時，相對于單獨凸起的情況，凸起右側(cè)沉積層表面位移顯示出明顯的振蕩趨勢，而且沉積層越“軟”，表面位移越大。

（4）半圓形凸起右側(cè)沉積層的存在，對凸起左側(cè)半空間水平表面的位移也有顯著影響。η＝0．1時，沉積層越“軟”，對凸起左側(cè)水平表面位移的放大作用越明顯。隨著η值的增大，這種影響表現(xiàn)為不同程度的放大和縮小作用。

圖4給出SH波垂直入射，R／a＝1．0和 R／a＝0．5時，半圓形凸起頂點位移幅值隨波數(shù)變化的反應(yīng)譜。由圖可見，當 μ1／μ2＝1／1時，凸起頂點位移幅值反應(yīng)譜，其變化規(guī)律與文獻［3］一致。當R／a＝1．0時，在η＝0．1～1．25的頻段內(nèi)，凸起頂點位移幅值隨 μ1／μ2值的減小而降低，說明半圓形沉積層較“硬”時，在此頻段內(nèi)對凸起頂點位移有一定的減震作用。當R／a＝0．5時，這種減震作用仍然存在，但頻段變?yōu)棣牵?．1～1．1。

圖4 凸起頂點位移幅值反應(yīng)譜Fig．4 Response spectrum of the hill peak displacement amplitudes

4 結(jié) 論

本文采用復(fù)變函數(shù)法研究了SH波入射下半圓形凸起與沉積谷地相連地形的地震動情況。給出了在半圓形沉積層的影響下，凸起地形對SH波散射的位移場和應(yīng)力場，通過具體算例，討論了入射波波數(shù)ka，入射角α，沉積層半徑與凸起半徑之比R／a以及周圍介質(zhì)與沉積層的各種材料參數(shù)比等對凸起部分地表位移幅值的影響。具體算例表明：

（1）當SH波低頻斜入射時，較軟的沉積層對凸起部分表面位移放大作用明顯；而高頻情況下影響相對較小。

（2）當入射波頻率η＝0．1時，沉積層的存在對凸起左側(cè)水平表面位移的影響不能忽略。

（3）SH波垂直入射時，沉積谷地的半徑越大（相對于凸起），對凸起頂點位移的放大或縮小效應(yīng)也體現(xiàn)在較長的入射頻段內(nèi)。

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