數學選修 活動課堂 精彩紛呈
——以人教A版《數學(必修3)》閱讀思考材料“概率與密碼”為例

●顧予恒 馬茂年 (杭州第十四中學 浙江杭州 310006)

數學選修 活動課堂 精彩紛呈
——以人教A版《數學(必修3)》閱讀思考材料“概率與密碼”為例

●顧予恒 馬茂年 (杭州第十四中學 浙江杭州 310006)

0 前言

浙江省新一輪課程改革從2012年秋季正式拉開了帷幕，此次課改對于教育一線的教師來說，最大的感受就是減少必修，增加選修.全體教師在原有必修課的基礎上，還要增開適合本校學生實際、滿足學生個性發展需求、富有特色的學校選修課.

通過一年的實踐，新課改正在穩步推進，選修課“人人得上，人人會上”的局面已經形成.選修課程分為知識拓展、職業技能、興趣特長、社會實踐等4類，數學教師應該怎樣開設選修課成了大家亟待解決的重要課題.目前廣大數學教師開設的選修課基本停留在知識拓展類，主要是高考內容的程度加深、高中數學競賽的研究、大學先修知識的拓展等.筆者借鑒了一種國外比較流行的選修課模式——數學項目活動學習，給大家作一介紹.

1 數學項目活動學習

數學項目活動學習的教學設計一般由情境引入、數學花絮、知識背景、教學目標、學習模塊建議、實施建議、評價建議、資源庫等部分組成.通過情境引入、數學花絮讓學生了解與必修內容相關的數學歷史、知識，激發學生學習的興趣.知識背景幫助學生復習鞏固已有的該知識點的數學基礎，為活動的開展作準備.學習模塊建議、實施建議、評價建議為學生更好地開展數學活動作了規劃和指導.資源庫則為學生提供了可以尋求幫助的途徑和網絡、書籍資源.

每個項目活動都根據某個知識的不同方面劃分為多個模塊，既有理論型模塊，也有實踐動手型模塊.每個學生可以根據自己的喜好選擇最感興趣的模塊進行實踐.每個模塊再給出若干個指導問題，引導學生通過自主探究和討論找出問題的答案，具有很大的開放度.強調動手實踐操作性，要求學生通過資料收集、實驗模擬、數據采集、實物展示、視頻播放、現場表演等多種呈現形式向其他師生展現數學的無窮魅力.

2 由“概率與密碼”引發的教學案例

2.1 教學內容解析

本節課是一節以概率內容為主線的知識拓展類選修課.課程內容源于《數學(必修3)》閱讀思考材料“概率與密碼”，對必修概率知識的有效補充和應用實踐.通過豐富多彩的活動，將概率知識應用于解決現實生活中的實際問題，幫助學生加深對概率知識的理解，進一步提升數學水平和素養，真正體現“必修帶動選修，選修提升必修”的宗旨.

本節課設計的3個站點緊緊圍繞概率章節的核心內容展開，有著內在的邏輯線索.

第一站：古羅馬.凱撒密碼是歷史上最早利用字母代換方式設計的密碼，自問世以來經歷了多次演變.在凱撒密碼破解與反破解的過程中，運用到了頻率分析的方法，有助于學生了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，進一步加深對概率意義、頻率與概率關系的理解.概率主要研究隨機事件發生的可能性大小問題，這里既有隨機性，又有隨機性中表現出的規律性.頻率是概率的近似值，隨著試驗次數的增加，頻率會越來越接近概率.頻率本身是隨機的，但概率是描述隨機事件發生可能性大小的度量，是一個確定的數，是事件本身所固有的，不隨人的主觀意愿而改變，與每次試驗無關.

第二站：澳門.通過設計游戲環節“誰才是真正的lucky王”，讓學生親自試驗擲骰子賭局，并分析賭局背后的原因，學會運用古典概型解決實際問題.古典概型是一種特殊的數學模型，在概率論中占有相當重要的地位，是學習概率必不可少的內容.學好古典概型有利于加深對概率的理解，有利于計算事件的概率，能解釋生活中的許多問題，激發學生的學習興趣.古典概型的教學應該讓學生理解古典概型的2個特征：

(1)試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個;

(2)每個基本事件出現的可能性相等.

第三站：巴黎.通過實際操作蒲豐投針試驗，揭示蒲豐模擬試驗的原理，加深對幾何概型問題的理解.幾何概型也是一種概率模型，它與古典概型的區別是試驗的可能結果不是有限個.它的特點是試驗結果在一個區域內均勻分布，因此隨機事件的概率大小與隨機事件所在區域的大小有關.此外，還介紹了著名的蒙特卡羅方法，即通過概率試驗所求的概率估計學生感興趣的一個量，用看似無關卻有關的奇妙試驗更好地激發學生學習數學的興趣.

2.2 教學目標解析

引導學生了解概率與密碼的關系，了解頻率分析方法在密碼破譯過程中的應用;在實際問題中了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，進一步理解概率的意義以及頻率與概率的區別.

以概率在現實生活中的各種應用為主線，引導學生在實際問題中理解古典概型及其概率計算公式，會用列舉法計算隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率，通過試驗體會幾何概型的意義.

通過收集整理現實世界中的數學素材，讓學生感受生活中無處不在的數學，了解數學與其他學科的關系，體會數學的應用價值，激發學習數學的興趣和求知欲;通過學生親歷各種數學活動，自主利用書籍以及網絡等現代技術手段學習知識進而解決問題，培養學生的自學能力和收集、加工、整理、利用信息的能力;通過小組交流、合作、展示，培養學生的數學交流能力和團隊合作意識.

2.3 教學重難點解析

教學重點在實際問題中體會概率與頻率的關系、古典概型、幾何概型等知識的應用，加深對概率知識的理解和掌握.

教學難點在豐富多彩的數學項目活動中提高學生運用概率等數學知識解決實際問題的能力，學會應用統計、實驗等數學方法解決實際問題.

2.4 學情分析

在學生已有認知基礎方面，學生已學習了概率的意義、概率與頻率的聯系、古典概型與幾何概型等概率的基礎知識.因此，利用概率知識處理簡單常見的現實問題對學生來說并不困難，教學時應充分注意這一教學條件.但學生要解決相對復雜、知識綜合性較強的現實問題存在一定難度，需要學生有較強的自主探究意識和動手實踐能力，需要通過查閱資料、廣泛利用多媒體技術等手段來進行活動學習.從學生的能力基礎來看，他們已經具備較強的信息技術能力和廣博的見識，完全可以滿足本節課的需要.教師只需從旁關注，在學生遇到困難時，適當給予指導和點撥.

2.5 教學策略分析

本節課為數學項目活動課，在教師的引導下，指導學生利用課堂與課后的時間，自主合作探究概率在各領域中的應用，最后以小組匯報的形式向師生展示活動成果.真正做到以學生為主體，將課堂和數學學習的主動權交給學生.

2.6 教學設計思路

本次數學項目活動以概率知識為項目內容，以概率在各領域中的應用為主線，設計若干個旅游站點，每一站以一個小故事(游戲)為情節，蘊含一個與概率有關的知識.每個站點同時配備幾個參考活動，給學生提供課后自行研究的空間.

整個數學項目活動的實施分為準備引入、實施展開、評價總結3個階段，包含教師引入活動主題、學生選擇不同模塊自主探究活動、學生活動成果展示、教師點評與多樣評價等環節，整個教學任務需6～8個課時完成.設計以古羅馬站的凱撒密碼為引入環節，澳門站的賭局游戲為學生活動環節，巴黎站的蒲豐投針試驗為學生展示環節，將3個環節在一節課中展示，力圖全面呈現數學項目活動課的全貌.

2.7 教學流程

2.8 教學過程

環節1情境引入活動主題

本節課的設計靈感取材于電影“少年π的奇幻漂流”和熱門游戲“植物大戰僵尸”，教師設計了一個虛擬人物小P(Probability)，跟著他一起走進概率的神奇世界，開始一段數學的環球之旅，在世界各地感受概率對我們生活的影響.

設計意圖

以學生喜聞樂見的卡通形式引入本次數學項目活動，能有效地抓住學生學習的興奮點，調動學習的積極性.

在學案上羅列了與概率相關知識的結構圖，可以幫助學生理清知識體系脈絡，重溫各個數學概念，為活動的開展打下基礎，從而明確本次數學項目活動的主題——概率.

環節2開始旅行分站突破

第一站：古羅馬

本站內容取自于閱讀與思考材料“概率與密碼”，介紹了凱撒密碼的設計原理，在密碼破譯和反破譯的較量中使用了概率武器：頻率的穩定值近似等于概率!本站點以問題串的形式將整個行程串聯起來，凱撒密碼的擁護者和破譯者之間的交鋒是本環節的主線.教學形式以教師引導為主.

問題1你能用自己的語言描述凱撒密碼的設計方式嗎?

設計意圖通過生動形象的視頻引出這一站的主角——凱撒密碼，引導學生用自己的語言描述凱撒密碼的設計方式，從而讓學生體會單字母替換型密碼設計的原理，為后續破譯密碼作好準備.

師生活動教師播放一個視頻短片，并展示問題1.在學生用自己的語言描述凱撒密碼的設計方式時，教師關注學生是否已經理解設計原理，并進行適當的補充說明.

問題2凱撒密碼的設計確實很精巧，但真的像凱撒自己宣傳得那樣無懈可擊嗎?聰明的你發現它有什么弱點嗎?你有什么辦法破解呢?

設計意圖如果直接讓學生回答這個問題，可能一下子無從下手，因此教師設計了一個現場實踐環節，為學生回答問題搭建臺階.通過完成一次簡單的密碼破譯，讓學生領悟到原始的凱撒密碼最大的弱點在于可用的密碼本是有限的，因此用窮舉法就能破解，從而引發凱撒密碼擁護者和破譯者之間的第1次交鋒.

師生活動教師呈現一個諜報人員破譯密碼的場景，讓學生充當諜報人員，破解一個利用凱撒密碼原理設計的簡單密碼.

現場實踐假如你截獲了一個信息為LCEM，已知是一個潛入我方間諜的名字，請問這個間諜的真實姓名可能是什么?

教師提供移動1位、2位、3位的密碼本，一是方便學生比對，二是為學生尋找破解密碼方式提供線索.

學生破解密碼，教師提問，由學生說出破解的方法.教師再追問，JACK是不是唯一可能的結果?目的是引導學生說出需要得到的25個破譯結果，然后再選出符合邏輯的原文，由此窮舉的破譯方法就一目了然了.

問題3凱撒密碼的擁護者們對凱撒密碼進行了一個簡單的改進：用一個按隨機順序排列的字母表來替代正常順序的字母表.請問通過這種簡單代換方法，共產生了多少種字母表?

設計意圖用簡單的排列組合知識就能解決這個問題，讓學生感受“26!”這個天文數字的龐大，從而得出窮舉法失效的結果，引發凱撒密碼擁護者和破譯者之間的第2次交鋒.

師生活動教師提問，學生動筆計算分析，得出這種改進方案的字母表種數有26!之多，一個小改動帶來大變化.

問題4凱撒密碼的破譯者們也不甘示弱.你有什么辦法能破解凱撒密碼的升級版嗎?

設計意圖這個問題學生沒有知識儲備和經驗，無法直接回答.因此教師安排了一個知識拓展——英語具有統計特性.為了說明英語的統計特性，設計利用word的替換功能統計英文小說《老人與海》中各字母出現的頻數與頻率，使學生在實踐中感受到頻率與頻數、頻率與概率之間的關系.并通過一段視頻生動地講解如何用頻率分析的方法破解凱撒密碼的升級版，從而引發凱撒密碼擁護者和破譯者之間的第3次交鋒.

師生活動教師補充英文具有統計特性的背景材料，并展示《老人與海》的word文檔.

教師提問：學生根據平常對英語字母的直觀感受，估計哪個字母出現得最多或最少?

學生猜一個字母，教師現場用word統計，并將統計的結果登記到excel表格中.

經過幾次猜測后，教師展示事先統計好的全部26個字母的結果，并按照從多到少排序，看與學生猜測的結果是否吻合.

教師播放視頻短片，讓學生感受每個字母出現的相對預期頻率與出現概率之間的關系，并了解凱撒密碼的破譯者們是如何利用概率武器擊敗對手的.

教師提問小結：在破解凱撒密碼升進版的過程中，使用了概率中的哪個知識點呢?由此點評古羅馬站的核心概率內容：概率與頻率的關系，頻率的穩定值近似等于概率.

問題5凱撒密碼的擁護者們為了反破譯絞盡腦汁，也用概率武器給予破譯者以沉重一擊.你知道他們是用什么概率武器來設計凱撒密碼的升級版嗎?

設計意圖這個問題可以用上一個問題中給出的知識拓展來解決，凱撒密碼的擁護者們也是用了概率武器(例如隨機數表法設計凱撒密碼)來進行反擊，從而引發凱撒密碼擁護者和破譯者之間的第4次交鋒.

這個問題在《數學(必修3)》的課本閱讀材料中有詳細說明，留給學生課后作為參考活動完成，一來回歸課本培養學生的閱讀理解能力，二來給學生更大的空間，作更多的拓展.

第二站：澳門

概率起源于賭博，學好概率可以讓學生了解賭博的巨大風險，從而遵紀守法，遠離賭博.本站內容設計了一個游戲環節“誰才是真正的lucky王”，利用“傳遞性骰子”這種道具，設計了師生之間的一場不公平的賭局.本站的教學形式以學生活動為主.

學生活動1在講臺上擺放著4枚骰子，不過奇怪的是，這4枚骰子雖然是均勻的，但每顆骰子的每個面上標注的數字卻是不同的(如圖2).

圖2

游戲規則

(1)學生先選一顆骰子，教師后選;

(2)每局點數大的算贏;

(3)分別投擲21局，贏的局數超過11局就算勝利.

設計意圖通過師生之間的比賽，調動學生的興趣，活躍課堂氣氛.本活動可能有2種結果，一種是教師獲勝(比較容易出現)，那么可以利用學生不甘心的心理，進行2次比賽，通過活動造成似乎教師的運氣特別好的假象，從而說明贏的概率大;一種是學生獲勝，那么可以借此說明概率只是描述可能性的大小，但可能性大不代表必贏，可能性小不代表必輸.

師生活動邀請一位學生和教師進行比賽，另一位學生在黑板上進行記錄.

學生活動2前后4位學生組成小組，其中3位學生各選一個顏色的骰子(如圖3)，兩兩之間互相比賽21次，1位學生負責將比賽結果在記錄紙上記錄下來，大家來看一看誰才是今天真正的Lucky王?

圖3

設計意圖一場比賽的勝負不足以體現概率與頻率之間的關系，因此在師生比賽之后，讓全體學生參與另一組骰子的比賽，并將各組結果記錄下來，增加樣本，從而發現游戲背后的有趣現象.在比賽的過程中要引導學生看出其中的門道，抓住學生活動的興奮點，有效推進古典概型的教學.

師生活動學生之間進行比賽，并統計結果.教師從旁觀察，適當指導.

問題6通過各個小組的統計結果，你發現了什么有趣現象?這是為什么呢?

設計意圖通過統計全部小組的比賽結果，在記錄圖上標明后，學生很容易發現3顆骰子之間勝負大致存在著循環套的關系.利用這個有趣的現象，讓學生討論原因，從而進行古典概型及計算公式的教學.熱鬧之后回歸理性的平靜，透過現象思考背后的本質.

師生活動教師在黑板上統計各個小組的比賽結果，并提問發現了什么有趣的現象以及為什么會有這樣的現象.學生小組討論思考循環套的成因.教師讓學生上黑板板書思考過程，既可以利用古典概型畫表格分析，也可以利用獨立事件的方法列算式分析，由學生自己分析講解.

問題7現在回到剛才的師生比賽，看看4顆骰子之間有什么有趣的現象.

設計意圖利用剛剛學完的古典概型及計算公式解決遺留的問題，從而鞏固古典概型知識的教學效果，加深學生對古典概型的認識和理解.

師生活動每個組計算兩兩骰子之間的勝負概率，從而發現這又是一個勝率均為的循環套，從而點明破解賭局的辦法就是概率中的古典概型.

問題8贏的概率高是不是就必贏呢?

問題9設計什么樣的比賽局制才能保證對自己更有利?

問題10一局比賽自己的勝率是，那么進行21局比賽，贏的局數超過11局算贏，自己的勝率也是嗎?

設計意圖以問題串的形式加深學生對概率的認識.在概率知識的基礎之上，通過設計比賽局制問題來加深對獨立重復試驗、二項分布問題的認識.提出天下沒有必贏的賭局，與莊家賭博十賭九輸的道理，對學生進行遠離賭博的教育.

第三站：巴黎

在前面的2站中學習了2種方法計算隨機事件發生的概率：一是通過做試驗或者用計算機模擬試驗等方法得到事件發生的概率，以此來近似估計概率;二是用古典概型的公式來計算事件發生的概率.在現實生活中，常常會遇到試驗的所有可能結果是無窮多的情況，這時就不能用古典概型來計算事件發生的概率了.

在巴黎站，由學生當導游帶領大家一起實踐蒲豐試驗.

設計意圖數學項目活動課的特點在于給予學生足夠的時間和空間動手實踐.蒲豐投針試驗是幾何概型最經典的一個案例，通過學生小組活動進行真實的試驗，激發學生探究試驗背后的奧秘，從而了解幾何概型的含義，并對蒙特卡羅方法有所了解.本站的活動是后續學生在其他站點活動后成果展示的一個縮影，也為后續學生匯報提供了借鑒.

師生活動學生通過PPT展示加演講的形式，匯報小組活動的成果.內容包括：

(1)從歷史上的那一天介紹蒲豐投針試驗的由來;

(2)小組成員實踐再現蒲豐投針試驗;

(3)介紹蒲豐試驗的原理及計算機模擬;

(4)提出一個類似的使用隨機數處理確定性數學問題的案例供其他學生思考.

教師適當點評，肯定學生的成果，指出幾何概型的基本特征和用處.

環節3分組活動明確模塊

設計意圖數學項目活動選修課是一個系列課程，學生可以自由選擇感興趣的內容分組活動.在活動中學習數學知識，培養數學素養，提高用數學解決實際問題的能力，同時學生的收獲和成果也是完全開放的，展示了許多讓人眼前一亮的作品.

師生活動

第1階段(第1課時)：學生與教師共同探討，確定活動小組成員組成，明確選擇模塊主題.

第2階段(第2課時)：每個小組制定活動計劃，填寫活動計劃書，并按照活動計劃書活動.小組成員要明確自己在分組活動中的角色，合作完成項目.

第3階段(第3～5課時)：活動期間利用網絡、書籍等資源查找相關資料，遇到困難可以向教師和學生求助，采納有效的意見繼續完成項目.

第4階段(第6課時)：利用研究的成果，策劃成果展示.可以是PPT展示，可以是實物展示，也可以制作展板、簡報或視頻，并現場回答其他學生的提問，教師對活動成果將進行打分評比.

教師感悟數學項目活動課是一種特別有生命力的課程，學生既是課程的參與者，也是課程的建設者.每上完一個課程，學生總會奉獻一些教師課前沒有預設的活動內容，并成為下一次課程新的生長點.

環節4多樣評價教師點評

設計意圖數學項目活動中，學生以小組為單位開展合作探究活動.學生個人的評價可以在小組活動的基礎上進行，可以間接地從其對小組活動的整體評價中得出學生個人的評價，或是直接地從其對小組活動的貢獻來評價學生個人.

數學項目活動不僅關注學習結果，還關注這些學習結果得以產生的過程.因此，數學項目活動的評價主要立足于數學項目活動，關注學生在活動過程中的收獲與成長，主要涉及了知識應用、成果質量、情感態度、合作技能等各個方面的學生表現.

3 數學項目活動課給我們的啟發

本節課是一節數學項目活動的選修課，是在當前浙江省新課程改革下選修課開設的一種全新的嘗試.數學項目活動選修課不同于日常教學的一節課，而是一個課程體系，是在多節課中圍繞著一個項目主題開展豐富多彩的數學活動.

3.1 創新教學模式，轉變師生角色

“教師主導，學生主體”的課堂模式已經形成.教師與學生相互平等，互為導游，一起環游世界，領略概率在各個方面的應用.整堂課由教師先行引入，再讓學生自主探究，然后是學生交流呈現，最后是教師提煉.從“課程的設計者”到“咨詢者與指導者”再到“傾聽者與問題發現者”，教師的作用在整個課程中不斷轉變，學生也得到了充分的活動.課堂上既有師生的互動，也有小組的合作，更為可貴的是，這種活動一直延伸到了課外(蒲豐投針)，充分體現了課程標準所倡導“實施多種教學方式，開展獨立而積極的數學活動，讓學生通過動手實踐、自主探索與合作交流來學習數學，獲得廣泛的數學活動經驗，使得學生的學習過程成為教師指導下的再創造”的理念.

3.2 知識脈絡清晰，形式服務內容

本節課形式新穎，設計了3個站點，每一站點解決一個問題，體現了數學的應用廣泛.3個站點內容的安排圍繞《數學(必修3)》概率章節中的核心內容展開，內在的邏輯線索非常清晰.在這些站點及活動中，讓學生體會必然與偶然的關系、整體與部分的聯系等概率所體現出來的基本思想.而這正是概率的教育價值之所在.

3.3 數學好玩有用，關注人文內涵

現行高中數學教學，嚴謹有余，而生動活潑不足.陳省身先生說過：“數學就像一個大花園，在里頭好玩的東西有很多.”本節課好玩的東西很多，既有內容的本身，又有教師的教學活動組織形式，以及教學語言的應用.

其一，教學內容的選擇具有感染力，如凱撒密碼、澳門賭局，看標題就能激起學生的學習熱情.

其二，教師語言極富激情，有感染力，比如“三分之一天注定，要贏還要知識拼”等.讓學生始終處于輕松愉悅的狀態，引導學生“玩轉”數學.

其三，關注數學文化內涵，比如巴黎站的蒲豐投針，學生展示的并不是簡單的史料介紹，而是在他們親身體驗后的一種探究與思索.這表明“玩數學”不是浮于表面的玩，是在玩數學的內涵.

［1］徐斌艷.項目導向的數學教學設計［J］.中學數學教學參考，2005(1)：5-10.

［2］馬萍，張思明.讓課題學習成為發展學生創造能力的舞臺［J］.中學數學雜志，2008(1)：1-4.

［3］朱麗梅.項目教學活動活動的組織與指導［J］.教育導刊，2002(14)：15-16.

［4］徐斌艷，江流.積累“基本數學經驗”的教學案例設計與實施［J］.數學教學，2009(8)：11-12.

［5］詹傳玲.中學數學項目活動的開發［D］.上海：華東師范大學，2007：3-9.

［6］馬茂年.快樂教學改善心育領悟本質——從“教書匠”走向“名教師”［J］.中學教研(數學)，2013(7)：4-7.

［7］馬茂年，俞昕.課堂教學回歸“數學化”的討論和分析——以高中“數學歸納法”的教學為例［J］.數學教育學報，2013(6)：83-84.

在思路引導、拓展延伸上做足準備，不讓課堂成為“一言堂”，這樣我們的學生才會讓激情之流四溢、思維之花閃耀、睿智之言流淌.