由一道向量填空題談解題思維的教學(xué)實踐

●王 耀 (田家炳實驗高級中學(xué) 江蘇蘇州 215006)

由一道向量填空題談解題思維的教學(xué)實踐

●王 耀 (田家炳實驗高級中學(xué) 江蘇蘇州 215006)

與三角形聯(lián)系的平面向量基本運(yùn)算問題是數(shù)學(xué)高考中經(jīng)常出現(xiàn)的一類題型.對這類題型的教學(xué)探究可以開闊學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的分析思維，提高學(xué)生解決問題的能力.本文利用一道數(shù)學(xué)高考模擬試題，從學(xué)生實際出發(fā)進(jìn)行創(chuàng)新教學(xué)思維的嘗試，有效地創(chuàng)設(shè)了學(xué)習(xí)空間，讓師生都能獲取“智慧”，從而尋找到問題解決的策略.

1 試題再現(xiàn)

試題

在面積為1的△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，點P在直線EF上的最小值是＿＿.

2 思維的落實與銜接

這道題短小精悍，個性鮮明，內(nèi)涵豐富，乃整張試卷中的一個亮點.命題者以三角形中量的關(guān)系為背景，將平面向量的數(shù)量積和不等關(guān)系融為一體，具有一定的思維量.因此，首要任務(wù)就是要利用好已知條件，將數(shù)學(xué)語言用圖形語言直觀地表達(dá)出來.此時得到第一個信息：點P在邊BC的中位線上.因此，解決這個問題的切入點就落在表達(dá)式的轉(zhuǎn)化問題上.一般情況下，看到這個表達(dá)式會聯(lián)想到哪些相關(guān)信息呢?

基于上述層層深入的聯(lián)想信息，解題的落實(起)點和銜接(承)處已經(jīng)聯(lián)系自然，可得如下解法：

(1)數(shù)形結(jié)合法：設(shè) A(0，2)，B(cosx，－sinx)，則f(θ)表示AB所在直線的斜率，利用圖像可得

當(dāng)且僅當(dāng)α=30°時，等號成立.

3 思維的轉(zhuǎn)換與整合

眾所周知，向量具有二重性，可以從“代數(shù)運(yùn)算”角度分析，也可以從“幾何圖形”角度去思考，這正是部分學(xué)生試圖建立平面直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化問題的原因.然而，該題只知道△ABC的面積，如何設(shè)坐標(biāo)呢?“那就設(shè)長度!”這是大部分學(xué)生頭腦中立馬會出現(xiàn)的想法.如此思維轉(zhuǎn)換，便可帶來一種新的分析途徑：

學(xué)生發(fā)現(xiàn)PD還是BC的中線，則由PD是中垂線發(fā)現(xiàn)△PBC為等邊三角形.因此，該問題的本質(zhì)是：在面積為定值的三角形中，正三角形邊長的平方和最小.這與著名的“等周定理”相似，等周定理中有一條是：在面積為定值的三角形中，正三角形的周長最小.

既然結(jié)論已經(jīng)明了，那么能否再換個思路：考慮利用三角形3條邊之間的不等式關(guān)系去證明這個結(jié)論?有學(xué)生經(jīng)過化簡變形后得到ab+bc+然后利用Cauchy不等式和Jensen不等式得到如下簡潔解法：

當(dāng)且僅當(dāng)P=B=C時，等號成立.

學(xué)生的興致越來越高，想不到一個小小的填空題竟有如此玄機(jī)，真可謂“題目雖小，其容乃大”啊!令人意外的是，有些學(xué)生提出了異議：上述的解法3用的是數(shù)學(xué)競賽方面的方法，教材中沒有涉及這些著名的不等式，這一異議同時招致了“群眾”的附和.在課前準(zhǔn)備時，筆者沒有想到會出現(xiàn)這種意外的狀況，這出“戲”該如何收場?稍作調(diào)整，筆者只好謙虛地表示很愿意與學(xué)生一起嘗試，于是就有了以下源于教材的解法：

此時下課的鈴聲響了，學(xué)生們?nèi)匀慌d奮不已，筆者偷偷地長舒了一口氣，順勢回憶了這道題的來龍去脈，即從解題思維的起點與走向作了重點回顧，再次與學(xué)生們分享這道高性價比的小題.

4 幾點思考

4.1 數(shù)學(xué)教學(xué)探究環(huán)境應(yīng)構(gòu)建“生態(tài)和諧化”

生態(tài)和諧和生態(tài)平衡是一個已取得全球化共識的當(dāng)代人類主題.筆者認(rèn)為這一理念有必要移植并借用到數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中來，努力追求“生態(tài)和諧”的課堂氛圍.在課堂教學(xué)活動中，教師應(yīng)充分尊重學(xué)生的主體地位，努力營造和諧、民主的課堂教學(xué)情境，實現(xiàn)師生情感的和諧共振.數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重要組成部分，在解題中應(yīng)通過恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法、合理的教學(xué)設(shè)計讓學(xué)生主動參與進(jìn)來.對學(xué)生多一份等待、多一點激勵、多一句鼓舞.只有這樣，才能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生愉悅地學(xué)習(xí)，積極主動地參與教學(xué)活動.

4.2 數(shù)學(xué)解題分析過程應(yīng)推崇“思維自然化”

自然化的數(shù)學(xué)解題思維是樸實的思維.只要按“步”就班地進(jìn)行分析、聯(lián)系、轉(zhuǎn)化，就能解決問題，在解題過程中淡化對解題技巧的依賴.這種措施也能在很大程度上讓學(xué)生避免陷入“題海”戰(zhàn)術(shù).那么，如何培養(yǎng)學(xué)生的思維自然化?筆者認(rèn)為，首先教師自身應(yīng)加強(qiáng)專業(yè)素養(yǎng)，在教學(xué)實踐中更新教育教學(xué)理念和方法.其次，教師在分析問題時，努力從學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和思維層面去研究教法，這樣才能在課堂上構(gòu)建師生思維上的共鳴.本節(jié)課中，筆者將一道題的來龍去脈自然呈現(xiàn)，被學(xué)生自然地理解并內(nèi)化，只有這樣學(xué)生才能逐漸學(xué)會如何進(jìn)行有效而有序的思維.

4.3 數(shù)學(xué)課堂預(yù)設(shè)過程應(yīng)提倡“綜合多元化”

新課改所需要的理想課堂應(yīng)該是“以生為本”的課堂.于是，當(dāng)思維迥異，個性紛呈的學(xué)生聚集在一個教室，教師應(yīng)如何預(yù)設(shè)才能使課堂充滿生成性?筆者認(rèn)為，教師應(yīng)努力做到預(yù)設(shè)過程綜合多元化.首先，預(yù)設(shè)學(xué)生，即從學(xué)情差異、質(zhì)疑困難、思維變換、延伸拓展方面去預(yù)設(shè);在課堂教學(xué)中，還要預(yù)設(shè)教師，雖然教師把自己的思維真實地呈現(xiàn)給學(xué)生，可以讓學(xué)生感受到教師的思維，但是教師要學(xué)會傾聽，給學(xué)生表達(dá)思想、展示解法的機(jī)會.另外，