數學基礎復習課的內容解析初探

●吳增生 (仙居縣教育局教研室 浙江仙居 317300)

數學基礎復習課的內容解析初探

●吳增生 (仙居縣教育局教研室 浙江仙居 317300)

章建躍博士領銜的《中小學數學課程核心內容及其教學的研究》課題為一線教師進行規范系統地教學設計提供了明確的工作流程，其6個環節的教學設計流程可以促進教師深刻地理解數學、理解學生的學習、理解數學教學，在此基礎上進行基于完整問題和任務序列的教學設計，提高課堂教學的針對性、科學性，為教師執教能力的發展提供了有效的途徑.在6個環節的設計流程中，“內容和內容解析”是基礎性的工作，通過“內容和內容解析”，理解相關內容的數學本質及其教育價值，明確教學重點，保證了教學設計方案的針對性，使核心內容的學習得到充分的資源保障，使其教育價值得到充分體現.基礎復習課是一種特殊的課型，具有與新授課不同的教育價值和課堂結構，內容解析也有其自身的特點.

1 基礎復習課的內容特點

復習是一種特殊的學習活動，它既有一般學習的特點又具有其自身的特點.從學習內容角度看，它與一般的數學內容學習的共性在于：都是對數量關系和空間形式的研究，其研究的最基本思想都是抽象概括的思想、推理(計算)的思想、數學模型的思想.復習課中學習內容區別于新授課的特點是：

1.1 結果性

復習課中學習的內容都是學生已經學習過的，在新授課的學習過程中，學生經歷了新知識的探索、發現、證明和應用過程，其知識是帶有更多的過程屬性和單一的結果屬性的綜合體.如在整式概念新課學習中，學生對整式概念的理解更多地帶有運算過程的理解.例如，把3ab看成是3×a×b，而在復習課中，需要引導學生把一個整式看成由一些數(包括具體的數和抽象的字母表示的數)通過代數運算得到的一個數.由于把整式看成運算結果——一個數，因此，整式之間還可以進行運算，從而進一步得到分式、根式等概念，建立整式有關知識之間、整式與其他概念之間的聯系，使更多的符號運算成為可能.

1.2 系統性

復習課中涉及的知識在新授課學習中往往分散在不同的課中，需要在基礎復習課中進行重新加工，建立這些原先分散的知識點之間的聯系，使之成為具有良好結構的知識系統.例如，平行四邊形包括相關概念(平行四邊形、矩形、菱形、正方形等)、性質、判定，這些分散在不同課時中的知識需要在基礎復習課中建立它們之間的相互聯系，形成平行四邊形相關知識的系統.

1.3 整體性

在新授課學習中，對知識的理解更關注細節(如形成過程、應用的經典模型、按照程序進行應用知識的操作等)，而在基礎復習課中則更關注整體知識系統的理解，關注知識之間的聯系，需要用更高的觀點、更廣闊的視野審視知識系統.例如，在新授課教學中，合并同類項、去括號法則的概括、記憶和應用是教學中關注的重點，在應用法則的過程中，是在把法則轉化為操作程序的基礎上對照程序進行運算操作的;而在整式加減的復習課中，則更需要關注用整式表示數量關系和整式的加減運算，需要把合并同類項法則和去括號法則再次概括到分配律水平，使這2個法則統一到更簡單、更本質的原理——數系運算的分配律水平上，建立整式加減的知識系統(如圖1).

圖1

綜上所述，結果性、系統性和整體性是基礎復習課中知識內容最顯著的特征，與此相對應，基礎復習教學中學生認知加工的對象是已經學習過的、分散的、相對孤立的知識;認知加工的方式是建立這些知識之間、這些知識與其他知識以及其典型應用問題之間的關聯，而建立這些知識之間關聯的有效方法是把這些知識概括到新的水平，用更高的觀點、更廣闊的視野進行知識的組織和系統化，這樣，學生對相關知識的理解在相互聯系和更高水平的概括中得到深化［1］，也就是說，認知重構是復習活動的核心.

2 基礎復習課的內容解析解析什么

承上所述，基礎復習課中的知識具有結果性、系統性和整體性，其核心認知活動是對相關知識的認知重構，建立新的、簡約的知識系統.因此，基礎復習課中內容解析的重點是對相關知識的相互聯系、數學本質、地位作用的系統分析和對核心認知活動——知識系統重組、知識系統應用過程中教育價值的分析，從而確定教學重點.

2.1 分析本內容的內部結構

復習活動需要引導學生進行相關知識的系統化組織，這是復習的核心認知活動.由于復習課中涉及到的知識多，需要在回顧和理解相關知識的基礎上進行知識結構的系統組織，把知識組織成簡約的系統，引導學生“把書讀薄”.除了引導學生把知識“壓縮”成結果(用術語、符號等把知識縮略)外，還需要用更高的觀點審視相關知識，建立起相關知識的內部聯系.為了使學生對相關知識關聯達到結構化、簡約化的理解，教師在教學設計時，必須對本內容的內部結構進行高觀點的分析.

2.2 分析本內容蘊含的核心數學思想方法

知識是研究數學的工具和數學研究的結果，思想方法則是怎樣使用知識的思想和方法，是數學研究問題的基本套路.不僅如此，數學思想方法也是一種知識系統化組織的基本線索.分析內容的核心思想方法可以使復習教學具有更高的認知發展價值，使學生更好地理解知識中的靈魂，這對學生的長遠發展是至關重要的.

2.3 分析內容要點與本質

把握內容的要點與本質就是用高觀點理解當前的內容，分析當前內容的數學實質所在，只有把握了內容的要點與本質，才可以使知識之間的聯系變得自然而簡約.例如，整式加減運算的核心是分配律，而運算律是代數學的基石，代數學研究的是抽象符號之間的代數運算組成的系統，運算律是多項式理論、線性代數理論、向量空間理論以及群、環、域等理論的基礎［2］.如果用抽象符號之間的運算來理解整式加減，其本質是字母表示數和運算律(特別是分配律)，這樣，學生甚至不用記憶合并同類項法則和去括號法則，只要在數或字母運算中應用運算律，就可以自如地進行整式的加減運算.

2.4 分析本內容與外部的聯系

要清楚一個內容的要點和本質，深刻理解本內容中的相關知識，需要在更大系統中分析，數學本身具有這樣的特征(數學的不完備性)，這樣，可以避免“身在此山中”而出現“不識此山的真面目”.在一個更大的系統中分析內容，其核心是分析本內容的知識系統與其外部的關聯，主要是與其他內容、與不同的領域、與相關問題之間的聯系.

2.5 分析本內容知識整理和應用過程的核心認知

活動和教育價值

在一個內容的復習活動中，需要學生進行特定的認知加工活動(如感知、表征、抽象概括、推理計算、建立模型、問題解決等活動)，開展這些活動的核心價值是提高認知加工的水平，體會數學思想方法.通過復習活動的認知分析，明確復習中需要發展的核心認知能力，可以為達成高階目標提供正確的方向.例如，在等腰三角形的復習課中，很多教師把教學重點放在用分類討論思想和方程思想解決等腰三角形相關問題上，這暴露出教學設計中對等腰三角形相關知識的核心價值的判斷偏差.事實上，等腰三角形復習的核心價值是建立等腰三角形相關知識內部、等腰三角形和直角三角形、等腰三角形和軸對稱之間的聯系，發展空間觀念、幾何直觀和推理能力.

2.6 確定教學重點

內容解析的主要作用是理解內容的數學本質和相互聯系，在此基礎上明確教學重點，引領教學過程設計.使課堂資源向核心和重點內容傾斜，保證寶貴的課堂時間用到重要的事情上.

3 基礎復習課的內容解析怎樣做

(1)分析本內容的內部結構，既可以采用知識產生、發展的線索，也可以用知識分類的方法，還可以用數學思想方法作為線索進行分析.例如，整式加減一章，用知識分類的方法進行分析如下：本章核心是學習做2件事情：一是列整式表示數量關系;二是整式的加減運算.順著這2點，可以延伸出字母表示數、從數到字母的抽象、整式求值、同類項及其合并、去括號等，采用這種分析方法，可以形成如圖2所示的本章知識結構.如果采用知識形成的線索分析，則是從字母表示數出發，得到列整式表示數量關系的方法，通過對列出式子的運算結構的分析;從對字母運算的類型分析，最簡單的是只對字母的乘法運算(即單項式)，接著是單項式的加減得到多項式，并進一步得到整式，再研究整式的運算，得到合并同類項法則和去括號法則.這樣，可以得到如圖3所示的知識結構.如果分析本章的數學思想方法和認知活動，可以發現本章最核心的思想是從具體數到字母表示的一般數的抽象思想、化整式加減運算為系數加減運算的數學轉化思想;本章的核心認知活動是字母表示數中從具體數到一般數的抽象、合并同類項法則和去括號法則的概括、整式加減運算過程的推理、把合并同類項和去括號統一到分配律的概括.這樣，可以得到如圖4所示的知識結構.

圖2

圖3

圖4

(2)從知識的生成過程和應用過程中挖掘核心數學思想方法.如整式加減一章，在列整式表示數量關系中、在法則形成過程中體現了數學抽象的思想，在法則應用過程中體現了化整式加減為系數加減的轉化思想.

(3)尋找要點，就是尋找能支撐其余知識或后繼學習的知識點，確定本質就是要確定要點在支撐其他知識中存在的關鍵要素，如核心的思想或知識.如在整式加減一章中，列整式表示數量關系支撐著今后的列方程、列函數式等重要認知操作，是本章的要點;去括號和合并同類項是整式運算、分式運算、二次根式運算及解方程的基礎，因此，這也是要點.列整式的關鍵是用字母表示數和運算表示數量關系，合并同類項和去括號的關鍵是運用分配律.因此本章內容的本質是從具體數到字母表示數的抽象，用分配律把整式加減轉化為系數加減，實現整式表示數量關系的簡約化.

(4)分析本內容與外部的聯系，主要從以下3個方面進行：①分析本內容的產生背景，即知識是從哪里來的;②本內容與后繼學習的聯系，即知識到哪里去;③本知識與相關問題的典型聯系，即知識主要有什么用.

例如，整式來自于用字母表示數、用運算表示數量關系，這里有3次概括：第1次的概括是把具體的數一般化并用字母表示;第2次是對用字母表示的數進行乘法運算得到單項式、把單項式進行加減運算得到多項式;第3次則是把多項式和多項式統稱整式(如圖5).

圖5

而類比數的運算，研究整式的運算，還可以研究整式的乘除運算及因式分解、分式、根式運算等，這些運算的核心仍然是字母表示數與運算律.這樣，就把具體數的運算(算術運算)拓展到數學符號的運算(代數運算)，進一步，可以發展到方程和函數理論.另外，用字母表示的數具有一般性，在刻畫數量關系和數學規律中具有重要作用.

(5)從知識形成過程、系統化結構整理過程和應用過程中篩選出對今后學習和生活具有重要作用的認知活動，使教學過程設計中有重點地發展這些核心的認知加工水平.如在用字母表示數、列整式中的抽象、對運算結構的觀察、在合并同類項法則和去括號法則中的概括、整式加減過程中的計算(推理).作為基礎復習課，應對本章學習的這些知識進行系統化組織，并用貫穿本章的核心思想建立知識之間的聯系，提升對符號化和運算律這兩大代數本質的理解.結合前面的分析，就可以確定出本章復習教學的核心教育價值是：學習數學知識系統化組織的方法，優化知識結構，體會從數的運算到符號運算的抽象，學習最簡單的代數符號運算——整式加減，并能用整式加減運算描述與研究簡單的數量規律，體會“化式運算為數運算”的思想;發展數學抽象概括能力和推理計算能力.進一步，可以確定本章復習課的教學重點是：用字母表示數和分配律對本章知識進行系統化組織，用整式表示數量關系和整式的加減運算.

［1］項武義.基礎代數學［M］.北京：人民教育出版社，2011.

［2］吳增生，齊秀華.基礎復習課的核心任務、認知特點與教學策略［J］.中國數學教育：初中，2011(1/2)：86-93.

吳增生，1962出生，浙江仙居人.浙江省特級教師，省基礎教育課程改革初中數學專家組成員，省第六屆義務教育教材審定委員，人民教育出版社新版教科書社外作者、教師教學用書八年級下冊社外主編、教科書培訓專家，臺州市名師工作室主持人.主要從事中學數學教育研究，已出版專著4部，有60多篇論文分別在《數學教育學報》、《數學通報》、《中學數學教學參考》、《中國數學教育》、《中學教研(數學)》等雜志上發表，截止目前有15篇被人大書報資料中心全文轉載，10多篇論文被收錄.