讓“問題解決”成為數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的核心內(nèi)容
——“直棱柱的表面展開圖”教學(xué)實(shí)踐與思考

●傅瑞琦 (金華市教育局教研室 浙江金華 321000) ●胡新穎 (東陽市外國語學(xué)校 浙江東陽 322100)

讓“問題解決”成為數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的核心內(nèi)容
——“直棱柱的表面展開圖”教學(xué)實(shí)踐與思考

●傅瑞琦 (金華市教育局教研室 浙江金華 321000) ●胡新穎 (東陽市外國語學(xué)校 浙江東陽 322100)

“問題解決”是課程目標(biāo)的重要組成部分，其核心是從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)、提出和理解問題，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和技能分析解決問題，引起學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，在問題解決的過程中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.因此，教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，逐步探索，不斷提出問題、解決問題，在問題解決的過程中，讓學(xué)生形成問題解決的策略，體驗(yàn)問題解決的方法，培養(yǎng)用“數(shù)學(xué)”角度去思考和解決問題的習(xí)慣，積累思維的經(jīng)驗(yàn).

基于此，本文結(jié)合浙江省“攜手行動(dòng)”送教(麗水)活動(dòng)中的課例“直棱柱的表面展開圖”，探討如何讓“問題解決”成為教學(xué)活動(dòng)的核心內(nèi)容，設(shè)計(jì)有效問題系列，以問題探究來引導(dǎo)、維持和激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，利用數(shù)學(xué)知識(shí)這個(gè)載體發(fā)展思維，將思維能力的培養(yǎng)貫穿于教學(xué)的全過程.

1 教學(xué)實(shí)錄

1.1 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

在一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為3 m，2 m，2 m的長(zhǎng)方體房間內(nèi)，一蜘蛛在點(diǎn)A處，一蒼蠅在點(diǎn)B處.

(1)如圖1，點(diǎn)A，B是立方體的頂點(diǎn)，試問：蜘蛛為捉住B處的蒼蠅，沿墻面的最近線路如何爬行?

圖1

圖2

(2)世界謎題：如圖2，點(diǎn)A在一面墻的中間，離天花板0.1 m處，點(diǎn)B在對(duì)面墻的中間，離地面0.1 m米處，試問：蜘蛛為捉住B處的蒼蠅，沿墻面的最近線路如何爬行?

讓學(xué)生在紙盒實(shí)物上畫出蜘蛛的爬行線路，與同伴交流，思考：所畫的爬行線路是最短的嗎?

問題(1)的解決，學(xué)生利用“兩點(diǎn)之間線段最短”的原理，得出方法：聯(lián)結(jié)AB，沿線段AB爬行即為最短距離;但對(duì)問題(2)的解決，學(xué)生畫出了圖形(如圖3)，引導(dǎo)學(xué)生思考，所畫的圖形中那一種線路最短?依據(jù)是什么?

圖3

點(diǎn)評(píng)展開數(shù)學(xué)課程的“問題”應(yīng)該是新穎豐富、具有思維含量、密切聯(lián)系生活實(shí)際的.立方體墻面兩點(diǎn)的最近線路問題，自然引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)、數(shù)學(xué)角度思考，并形成解決問題的意識(shí).問題(2)的交流探究過程中，學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)或經(jīng)驗(yàn)不能加以解釋，產(chǎn)生困惑，引起認(rèn)知沖突.聯(lián)系問題(1)，引導(dǎo)學(xué)生思考如何將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，即如何轉(zhuǎn)化為已有知識(shí)來解決問題，感受學(xué)習(xí)展開圖的必要性和重要性，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī).

1.2 引導(dǎo)探究，發(fā)現(xiàn)新知

1.2.1 示范演示

如何剪開立方體?

(1)如圖4，用剪刀剪開棱AB后，接下去可以沿哪條棱剪呢?

圖4

(2)觀察剪出的圖形有什么特點(diǎn)?

教師演示剪開立方體，一方面給出示范，另一方面不同的剪法得到不同的展開圖，自然滲透分類思想.學(xué)生觀察后得出特點(diǎn)：6個(gè)面;沿棱剪開;面相連，并歸納出立方體表面展開圖的概念.

1.2.2 探究歸納

4人小組合作，剪出立方體的展開圖：

(1)你們組剪出的表面展開圖與圖4一樣嗎?如果不一樣，請(qǐng)將你的作品展示到黑板上.

(2)觀察展開圖，你能夠得到哪些結(jié)論?各小正方形的位置與圖4有相似之處嗎?立方體相對(duì)的2個(gè)面，在其展開圖中的位置如何?

(3)各組貼到黑板的展開圖，呈現(xiàn)比較凌亂，你有辦法排排位置嗎?

(4)觀察整理后的展開圖，你發(fā)現(xiàn)了什么?

圖5

生1：我剪得的展開圖5與圖4類似，共有3層：第1層有1個(gè)正方形，第2層有4個(gè)正方形，第3層也是1個(gè)正方形.

師：如果把這一類叫做1-4-1型，你剪得的展開圖是屬于這一類嗎?把這一類的放在一起，說說它們的特點(diǎn)?

生2：我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是：第2層4個(gè)正方形，第1層和第3層是一個(gè)正方形的展開圖可以任意位置擺放(如圖6).

圖6

師：其他的展開圖，你能夠繼續(xù)分類嗎?并說出它們的特點(diǎn)?

生3：第1層有1個(gè)正方形，第2層有3個(gè)正方形，第3層有2個(gè)正方形，稱為1-3-2型(如圖7).

圖7

生4：每一層都是2個(gè)正方形，稱為2-2-2型(如圖8).

圖8

圖9

圖10

師(呈現(xiàn)圖9和圖10追問)：它們會(huì)是立方體的展開圖嗎，你如何判斷?

生5：不是，只要把圖形折回去或者想象中折一下就可以判斷.

師：觀察整理后的展開圖，說說你們的發(fā)現(xiàn).通過思考討論，學(xué)生歸納出如下結(jié)論：

生6：展開圖有6個(gè)面，一共有11種，根據(jù)面的位置可以分為1-4-1型、2-3-1型、2-2-2型.

生7：立方體相對(duì)的2個(gè)面在其展開圖中的位置不相連.

生8：展開圖各面“日”相連，沒有“凹”相連，也沒有“田”相連.

點(diǎn)評(píng)學(xué)生思維的“漸進(jìn)”，需要問題的層層引導(dǎo)來完成.在這一過程中，教師示范展開圖的剪法，為學(xué)生的小組探究指明了方向：“你的表面展開圖與圖4一樣嗎?”引導(dǎo)學(xué)生觀察對(duì)比，尋找共同點(diǎn);面對(duì)雜亂無序的展開圖，提出“你發(fā)現(xiàn)了什么?”增加了問題的探索性，引導(dǎo)學(xué)生分析各展開圖的特點(diǎn)，進(jìn)行分類，抽象概括出同一類展開圖的共同本質(zhì)屬性;判斷一個(gè)圖形是否是立方體展開圖的方法，即通過實(shí)際操作或空間想象，體會(huì)“展開與折疊”之間的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)化關(guān)系;在進(jìn)一步理解展開圖的概念時(shí)作了精致安排，“圖9與圖10是否是立方體的展開圖?”對(duì)展開圖的反例作判斷，讓學(xué)生在任務(wù)驅(qū)動(dòng)下理性思辨展開圖的特點(diǎn)、要素，以便更準(zhǔn)確地把握概念.

1.3 新知應(yīng)用，辨析鞏固

1.3.1 我來找一找

(1)選擇立方體展開圖其中的一面，讓你的同伴找出這一面的對(duì)面.

(2)圖11是一個(gè)正方體紙盒的展開圖，在各正方形中分別填入 －1，7，2，a，b，c，折疊成正方體后相對(duì)面上的2個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，則數(shù)a，b，c為多少?

圖11

圖12

1.3.2 我來添一添

圖12是否是一個(gè)立方體的展開圖?如果不是，你能夠?qū)⑿≌叫渭埰琣添加在合適的位置，使它成為一個(gè)立方體的展開圖嗎?

圖13是學(xué)生得到的結(jié)果.

圖13

1.3.3 我來算一算

牛奶包裝盒如圖14所示.為了生產(chǎn)這種包裝盒，需要先畫出展開圖紙樣.

圖14

(1)如圖14，給出甲、乙、丙3種紙樣，它們會(huì)是包裝盒的展開圖嗎?

圖15

(2)從正確的紙樣中選出一種，標(biāo)注上尺寸.

(3)要生產(chǎn)這個(gè)牛奶包裝盒，你能算出需要多少紙板嗎(不計(jì)接縫材料)?

生1：(1)圖丙錯(cuò)誤;

(2)在圖甲標(biāo)上的數(shù)據(jù)(如圖15);

(3)包裝盒的面積為

師：你能理解這位同學(xué)求包裝盒面積的方法嗎?你還可以用什么方法計(jì)算?

生2：這是求立方體表面積的方法，還可以求展開圖的面積=10.5(4+6+4+6)+6×4×2=258(cm2).

師：解題后，說說你的想法.

生3：在展開圖中標(biāo)上尺寸時(shí)，需要找到對(duì)應(yīng)的面，找到對(duì)應(yīng)的線段.

生4：計(jì)算紙板的面積可以通過計(jì)算展開圖的面積，也可以通過計(jì)算立方體的表面積.

點(diǎn)評(píng)這是新知應(yīng)用的過程，目的是獲得分析問題和解決問題的方法策略，積累問題解決的經(jīng)驗(yàn).“我來添一添”讓學(xué)生動(dòng)手操作，可以添上一個(gè)正方形直接進(jìn)行判斷，也可以利用展開圖的圖形特征來擺放正方形，體現(xiàn)問題解決方法途徑的多樣性、開放性，有效發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí);“我來算一算”中“你能理解這位同學(xué)求包裝盒面積的方法嗎?你還可以用什么方法計(jì)算?”引導(dǎo)學(xué)生傾聽理解他人的思路后提出自己的解題思路，并加以正確表達(dá)，豐富問題解決的思路，關(guān)注求異思維.解題后，讓學(xué)生“說說你的想法”，及時(shí)引導(dǎo)反思，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)，以培養(yǎng)學(xué)生在問題解決中的優(yōu)化意識(shí).

1.4 小結(jié)反思，知識(shí)建構(gòu)

這節(jié)課獲得的概念是什么?說說你對(duì)概念的理解?在解決相關(guān)問題時(shí)有什么方法可以借鑒?

通過學(xué)生的回答歸納如下：

(1)概念：立方體的表面展開圖→長(zhǎng)方體的表面展開圖，體現(xiàn)特殊到一般的思想;

(2)結(jié)論：同一個(gè)幾何體的表面展開圖并不唯一，可以按不同類型分類;

(3)方法：判斷是否是立方體的展開圖，一是空間想象，二是動(dòng)手折疊;

(4)思想：立體圖形→平面圖形，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想.

點(diǎn)評(píng)從概念、結(jié)論、方法和思想這4個(gè)層面對(duì)本節(jié)課總結(jié)與反思，優(yōu)化直棱柱表面展開圖的認(rèn)識(shí)，并在深入思考的過程中，深化對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，為以后的問題解決提供了思路.

1.5 解決問題，拓展提高

呈現(xiàn)引課的世界謎題，請(qǐng)回答下列問題：

(1)圖16是一學(xué)生根據(jù)圖2畫出的展開圖，請(qǐng)你標(biāo)出點(diǎn)A的位置，并說說你的想法.

標(biāo)出圖形中點(diǎn)A的位置后，學(xué)生紛紛表達(dá)了各自的想法.

圖16

生1：點(diǎn)A與點(diǎn)B所在面是長(zhǎng)方體的對(duì)面.

生2：就畫點(diǎn)A的位置，不需要畫出整個(gè)展開圖，只需畫出展開后點(diǎn)A，B所在的面就可以.

生3：有不同的展開方法，AB的距離有可能不同.

(2)小組合作，觀察實(shí)物模型，畫出展開圖后思考：如何畫出需要的展開圖?

圖17

圖18

組1：以點(diǎn)B所在面不動(dòng)，這樣展開有4種情況，圖17 中AB=5;圖18 中，

組2：點(diǎn)A，B所在的面分別以上下前后4個(gè)面為基礎(chǔ)展開，也有4種情況如圖19所示.

圖19

點(diǎn)評(píng)這是一個(gè)利用這節(jié)課所學(xué)知識(shí)來解決謎題的過程，問題解決需要“立體到平面”的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)問題解決的通法.如果直接讓學(xué)生解決謎題，由于展開方法的不同，從不同的爬行路線選擇出最短線路有一定的難度，這就需要設(shè)計(jì)問題(1)作為思維臺(tái)階，先讓學(xué)生在已有的展開圖中找點(diǎn)A的位置，感受在不同的展開圖中AB的距離是不一樣的.在問題(2)的解決過程中，關(guān)注了解決問題的策略、方法和途徑的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知遷移.

2 實(shí)踐思考

2.1 整體設(shè)計(jì)，體現(xiàn)核心內(nèi)容

這節(jié)課的設(shè)計(jì)給出了一個(gè)課題學(xué)習(xí)的過程，整節(jié)課圍繞問題解決來組織，將“問題解決”作為數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)的核心內(nèi)容，緊緊圍繞“實(shí)際問題，抽象成數(shù)學(xué)問題，研究解決方法，解決問題”展開教學(xué)活動(dòng)(如圖20所示).

圖20

問題情境的創(chuàng)設(shè)，形成一種輕松愉快的氣氛和生動(dòng)活潑的環(huán)境.精心設(shè)置的“問題”，關(guān)注學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，引起學(xué)生對(duì)結(jié)論迫切追求的愿望，將學(xué)生置于一種主動(dòng)參與的位置.抽象數(shù)學(xué)問題后，組織學(xué)生對(duì)直棱柱表面展開圖進(jìn)行研究，通過觀察、探究、發(fā)現(xiàn)，逐個(gè)解決系列問題，歸納概括表面展開圖的特征，并內(nèi)化問題解決的數(shù)學(xué)思想方法.通過新知應(yīng)用，辨析鞏固，掌握本節(jié)課的知識(shí)和基本技能，理順問題解決的思維通道，從而順利解決引課中提出的世界謎題.

在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)過程中，由于教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)能夠充分考慮學(xué)生已有知識(shí)，以“問題”貫穿整個(gè)教學(xué)過程.教學(xué)環(huán)節(jié)的自然、流暢，在每一個(gè)環(huán)節(jié)，使學(xué)生在設(shè)問和釋問的過程中萌生自主學(xué)習(xí)的動(dòng)機(jī)和欲望，學(xué)生能夠積極參與其中，很好地實(shí)現(xiàn)了“問題解決”的課程目標(biāo)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考，積累思維經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).

2.2 問題系列，激活數(shù)學(xué)思維

解決問題的過程實(shí)際上是一個(gè)逐步探索、不斷進(jìn)行問題提出、問題解決的過程，這就需要設(shè)置符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的問題系列，在逐步解決的過程中，讓學(xué)生體驗(yàn)、發(fā)現(xiàn)、歸納幾何體與展開圖之間的關(guān)系以及解決問題的思維方法.如為歸納出展開圖的特征，分解成問題序列：學(xué)生剪出的展開圖與教師剪的有什么相似之處?目的是引導(dǎo)分類，得出1-4-1型展開圖;給出圖形判斷是否是立方體的展開圖，得出判斷展開圖的2種方法;提出對(duì)其余展開圖如何分類，歸納得出展開圖的1-3-2型和2-2-2型;對(duì)圖9和圖10是否是展開圖的判斷，從反例中進(jìn)一步辨析展開圖的特征;判斷立方體相對(duì)2個(gè)面在其展開圖中的位置，讓學(xué)生進(jìn)一步總結(jié)展開圖的特征.這樣從最初的猜測(cè)、比較判斷，到分類，到特征歸納，是一個(gè)由易到難、有序遞進(jìn)、動(dòng)態(tài)開放的問題鏈.依據(jù)學(xué)生的活動(dòng)進(jìn)程，解決的問題可以為后繼問題的解決提供思維臺(tái)階，形成一種爬坡式的整體感，最后完成對(duì)立方體展開圖特征的歸納概括.

因此，在問題解決的過程中，經(jīng)歷抽象、推理和建模等數(shù)學(xué)思想的形成和發(fā)展過程，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

2.3 解決問題，有效突破難點(diǎn)

包裝盒面積的計(jì)算、謎題的解決是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，需要將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，并將相關(guān)數(shù)據(jù)在平面圖形中對(duì)應(yīng)標(biāo)出，特別是謎題的解決，需要在不同展開圖的比較中尋找最短線路，學(xué)生還是有困難的.課例安排“我來找一找”、“我來添一添”環(huán)節(jié)的問題引領(lǐng)，突破“我來算一算”例題的難點(diǎn);謎題解決時(shí)安排“問題(1)”的思考，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的動(dòng)手操作和主動(dòng)參與，對(duì)謎題的解決無疑是有效的，讓學(xué)生在觀察、操作、想像、交流等活動(dòng)中認(rèn)識(shí)立體圖形，樹立空間觀念，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).

［1］ 史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

［2］章建躍.探究教學(xué)規(guī)律造就教學(xué)名師［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2011(1/2)：5-10.

［3］許芬英.自主學(xué)習(xí)教材全解［M］.杭州：浙江教育出版社，2012.

［4］弗賴登塔爾.中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)論著譯叢：數(shù)學(xué)教育再探——在中國的講學(xué)［M］.上海：上海教育出版社，1999.