建構自然的概念教學過程
——“任意角”概念的教學及反思

●高洪武 吳勇軍 (溫州市第二十二中學 浙江溫州 325000)

建構自然的概念教學過程
——“任意角”概念的教學及反思

●高洪武 吳勇軍 (溫州市第二十二中學 浙江溫州 325000)

人教A版《數學》主編劉紹學教授說過：“數學概念、數學方法與數學思想的起源與發展都是自然的.”從課堂教學看，概念課是在原有知識系統的基礎上構建新的知識系統，那就應該以類比和歸納的方法，由淺入深地引導學生探究，使概念導出自然、水到渠成，這應該成為概念教學的基本指導思想.

本文以人教A版《數學(必修4)》第1章“任意角”概念教學為例，就“如何建構自然的概念教學過程”作初步探索，敬請廣大同仁指正.

1 教學過程概述

環節1章學習主題引入

教師要求全體學生默讀第1章章頭文本框內文字.

師(PPT呈現)：我們知道，函數是刻畫現實世界變化規律的數學模型，不同的變化規律需要不同的函數模型來刻畫.周而復始(周期性)的變化現象廣泛存在于現實世界中，為了刻畫這種周而復始(周期性)的變化規律，我們引入了“三角函數”.

(教師板書標題.)

師：從標題可以看出，“三角函數”的中心詞是“函數”.本章學習的內容是《數學(必修1)》所學函數部分的延續與深化.為了研究一種特殊的周期變化現象，我們的先人發明了三角函數.同時，不難發現，這一類函數是與“角”相關的.為此，本節課我們首先要學習的內容是：角的概念.

設計說明本課是“三角函數”的“開篇”，教師應發揮“先行組織者”的作用，要充分重視構建新知識系統基本研究思路，不僅作好“開篇”，而且要為整章教學作好準備.教學中，通過展示典型豐富的實例，讓學生看到現實世界中運動變化現象的多樣性，具有“周而復始”變化規律現象的普遍存在性.我們已學過的冪函數、指數函數、對數函數等函數模型不能刻畫這種變化規律，進而產生學習新的函數的愿望.同時，通過對“三角函數”概念的字面意義解讀，有關研究“角”的話題應運而生.

環節2任意角的概念

師：說到“角”，大家對這個概念并不陌生，請同學們回憶一下初中我們學過的“角”的定義.

生：從一點出發的2條射線所組成的圖形稱為角.

(教師在黑板上畫出角的圖形，并復習角的表示方法.)

師：請大家再回憶一下，初中我們都學習了哪些類型的角?

生：銳角、鈍角、直角、平角、周角.

師：什么叫周角?請大家畫出一個周角.

生：由一條射線繞端點旋轉一周形成的.

師：原來角的概念還可以從旋轉這個角度去認識.

師(PPT呈現)：一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫做角.所旋轉射線的端點叫做角的頂點，開始位置的射線叫做角的始邊，終止位置的射線叫做角的終邊.

師：其實，通過旋轉形成角的例子在生活中很多：比如體操和跳水比賽中，我們經常聽到“空中轉體720°(即轉體2周)”這樣的動作名稱，以及鐘表快慢調整時的時針、分針轉動等.

實驗演示：鐘表顯示下午3點整，走快了1小時，該如何調整鐘表?

學生活動：2個學生上前臺演示，通過實驗容易得到：每一次調整方案都對應了一種旋轉方向及轉過的度數，為角的新定義出臺進行充分的“熱身”.

師：從剛才的實驗中，我們發現不僅要知道旋轉量，還要知道旋轉方向.旋轉方向分為順時針方向和逆時針方向.另外，轉動的圈數也往往不止一圈.這樣，角度的范圍需要從初中學的0°～360°拓廣到現在任意大小.因此，本節課我們要研究的是“任意”角的概念.

(教師完善板書：在“角的概念”前面添加“任意”2字.)

師：這樣一來，如果按照旋轉方向不同，角可以劃分為：按順時針方向旋轉形成的角和按逆時針方向旋轉形成的角.在初中，為了清楚地表示支出50元和收入50元，在數字表示上采用什么方式?

生：用正、負數區分.

師：那么我們采用什么方法去區別因旋轉方向不同而形成不同類型的角呢?

(學生很容易聯想到用正、負數來區別.由于順時針方向走過的時間是已經流失的時間，相當于已經被我們支付了.類比過來，順時針方向旋轉形成角自然用負角表示，學生是能理解和接受的.)

師生小結：我們規定按順時針方向旋轉形成的角叫做負角;逆時針方向旋轉形成的角叫做正角;如果一條射線沒有作任何旋轉，稱它形成了一個零角.

(教師板書：角的分類(一).)

設計說明怎樣想到通過旋轉對角下定義呢?盡量給學生創設一個恰當情景，通過師生互動，讓學生自主地發現這一事實，是非常重要的.怎樣從數學角度去區分因旋轉方向不同而形成的不同類型的角呢?通過類比初中正、負數的引入，再通過時鐘調整實驗，學生很自然聯想到用正、負數表示旋轉方向不同的角度.新概念的引入，要充分尊重學生已有的經驗，順應學生的知識基礎和情感基礎，這樣，學生在接受新知識時就不會覺得數學是硬塞給他們的一些“毫無情感的、生硬的、死板的”規則.

環節3直角坐標系下角的研究

問題如圖1所示，已知角α與角β，試比較α與β的大小(假定α，β都是按逆時針方向旋轉而成).

圖1

圖2

學生活動：討論比較角的大小的方法.

方法1先用量角器量出2個角度大小，然后再進行比較.

方法2將2個角一邊重合，看另一邊位置關系，然后判斷大小關系.

方法3由觀察得出猜想：角α為銳角，角β為鈍角，然后作圖驗證，即只需分別過角α與角β的頂點作一條邊的垂線，然后比較另一邊與垂線的位置關系，最后得出角α與角β的大小關系.

師：根據上面的解決方法，我們不難得出：為了更方便、更好地研究角度的大小關系，我們常常將角的始邊重合，這樣角度關系研究就可以轉化為終邊位置關系研究.同時，若一些特殊角的終邊給出，則可以更方便進行角度的研究，這時我們需要給其找到一個恰當的“參照物”.初中階段關于角度的劃分以90°的整數倍為基準，而能夠很好體現90°整數倍的參照物是“平面直角坐標系”.因此，我們常在平面直角坐標下去研究有關角度的一些問題.在平面直角坐標系中研究角，首先要弄清楚如何放置角的問題.這里，我們作統一規定：

(1)角的頂點置于坐標原點;

(2)角的始邊與x軸的非負半軸重合.

師：這樣角的終邊在平面直角坐標系中的位置就分2種：

(1)終邊落在某個象限，我們稱其為象限角;

(2)終邊落在某坐標軸上，我們稱其為軸線角.

(教師板書：角的分類(二).)

設計說明任意角除沿用度數表示外，還可用“形”表示.當然，“度數”還可以有不同的度量單位.這里，用“形”表示是知識的“增長點”，其類比的對象就是用數軸上的點表示實數.以“沒有正負的零角”為“基準”，角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，在這個統一前提下，任意角就只與它的終邊相關.由此可以讓學生理解象限角定義的思想，而且其中滲透了標準化、簡單化、對應等思想.在同一“參照系”下，對角的討論就歸結為終邊的問題，問題得到簡化.

環節4終邊相同角的集合表示

教師按照學生的認知水平，根據“序進原理”，由淺入深地設計了3個層次的問題.問題1是第1層次;問題2～6是第2層次;問題7是第3層次.

問題1已知角的頂點與直角坐標系的原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，畫出下列角，并將相同終邊的角歸為同一類.

學生容易將上面的角按終邊相同歸為3類：

問題2你還能再寫出與90°終邊相同的其他一些角嗎?

問題3你能寫出與90°終邊相同的角(連同90°在內)的集合嗎?

問題4你能再寫出一些與45°終邊相同的角嗎?

問題5你能寫出與45°終邊相同的角(連同45°在內)的集合嗎?

問題6你能寫出與角α(連同α在內)終邊相同的角的集合嗎?

設計說明終邊相同角的集合表示是教學中的難點之一.本環節筆者先讓學生具體感知，教師再啟發提問，最后學生通過歸納推理、自主探究得到.由于整個歸納過程先有具體實驗操作，再按終邊相同進行分類就比較容易.由于已經有了對一些終邊相同的具體角大小關系的感知，再讓學生寫出一些終邊相同的具體角也就比較容易完成.學生在解決問題的同時也在慢慢領悟終邊相同角之間的內在聯系，等到讓學生寫出終邊相同角的集合時，只剩下的最后一層紙，自然“一捅而破”.整個過程，由于設問起點低、步子小，公式的理解與內化就顯得水到渠成，潤物無聲.對“終邊相同角的集合表示”的研究，讓學生體會到角終邊旋轉的“周而復始”性，也為后續三角函數定義學習埋下了伏筆.

(限于篇幅，課堂練習、課后小結等教學環節略去.)

2 設計思路說明

本節課盡力讓學生經歷概念的形成過程，充分體現知識的邏輯順序自然、學生思維過程的自然.設計思路如下：

針對“三角函數的開篇”的內容特點，筆者先通過呈現大量具有“周而復始”運動變化規律的自然現象引入三角函數的話題;然后由對“三角函數”字面意義解讀引出“角”的概念;再通過回憶初中學過的“周角”引入“旋轉”的概念，由體操中的轉體運動及鐘表快慢調節實驗進一步說明從“旋轉”角度定義角的必要性.

通過再次回憶初中角度劃分及角度大小比較的實驗讓學生認識到：引入恰當的參照物將有助于角度的量化與大小比較.于是在平面直角坐標系下研究角度就成了自然而然的事情.

學生在平面直角坐標系中親自動手畫角，通過畫圖，讓學生自發地領悟到某些角度終邊相同的事實.當學生再舉出一些終邊相同角的例子時，終邊相同角的大小關系已經呼之欲出了.最后再給出終邊相同角的集合表示也就是一件水到渠成的事情.

3 幾點反思

3.1 了解學生認知困惑，力保過程自然是概念教

學應尊重的前提

“自然”一詞，在本文的含義為“不做作、不拘束、不呆板、非勉強的”.教育的最高境界是“無痕”.本課所呈現的4個環節，力求過程自然.盡量回答了學生心中可能存在的一些疑慮“為什么要學習本章，學了會有什么用?角的范圍為什么要突破初中的0°～360°的范圍?為什么要在平面直角坐標系內去研究角?”等.每個人心中都會有或多或少的“戀舊情懷”，當新知識的學習需要學生打破原有的認知結構時，他們心中會產生一種“排擠現象”.這個時候，新出臺的概念應盡量顯得自然，讓學生覺得它是數學知識體系向前發展的一種必然，或者是實際問題解決的一種需要等.總之，只有學生內心覺得那些新知識、新概念是必要的、必需的，他們封閉的心扉才會敞開，新知的內化才有可能.

3.2 合理設置認知沖突，問題驅動思考是概念教學不可缺的手段

根據顧泠沅先生倡導的“序進原理”，本課在多個環節的落實上由淺入深地設置了恰時恰點的問題.通過問題驅動，學生能積極進入教師預設的情景中思考.同時，通過營造恰當的認知沖突，讓學生的思維進入一種“憤悱狀態”.在問題的思考和解決過程中，一些新概念便呼之欲出，其內涵也潛移默化地進入了學生的大腦.這些恰時恰點的問題既為新概念的出臺掃清了障礙，也讓學生在思考過程中提升了問題解決能力.

3.3 創設恰當活動情景，實驗促進理解是概念教學可借力的平臺

美國教育家蘇娜丹戴克說：“告訴我，我會忘記;做給我看，我會記住;讓我參加，我就會完全理解.”課堂教學中，可以恰當地創設一些活動情景，讓學生參與進來，學生參與活動的過程其實也是幫助學生體驗概念形成的過程.本課設計了2次重要的活動：一次是讓學生進行時鐘調整的實驗;另一次是在平面直角坐標系中畫角.這2次實驗都是比較容易完成的，但確為學生形成相應的數學概念和原理作了很好鋪墊.

3.4 系統高度俯視新知，承前啟后工作是概念教學可持續的保證

本課站在函數學習的系統高度來實施教學，讓學生認識到新知識的學習是函數知識系統自然擴展的結果.同時角的范圍擴展、在平面直角坐標系下研究角等內容都是站在原有的知識基礎上進行的，這樣能方便學生將新知識納入原有的知識網絡結構.同時新概念講解過程中反復強調了角終邊旋轉的“周而復始性”，這為后面三角函數周期性學習作好鋪墊、埋好伏筆.總之，作好新概念的承前啟后工作，讓學生對數學概念的學習始終處于一個系統中，會讓我們的數學學習愈來愈如“漫江碧透、魚翔淺底”，知識好像在手心里，了若指掌，而不再是那一堆瓦礫，那一片望而生畏的戈壁灘.

(筆者在此特別感謝曹鴻德先生對本文寫作的指導!)

［1］ 高洪武.加強概念教學，關注數學理解［J］.現代中小學教育，2010(9)：31-33.

［2］高洪武.追求數學課堂的自然高效［J］.中學數學雜志，2011(3)：15-17.

［3］高洪武.基于自然高效的任務驅動型復習課設計［J］.數學通訊，2011(7)：15-17.