高效緣于“讓位” 精彩緣于“生動(dòng)”
——以一節(jié)高三數(shù)學(xué)高考備考研討課為例

●劉亞平 高 敏 (睢寧高級中學(xué)南校 江蘇睢寧 221200)

高效緣于“讓位” 精彩緣于“生動(dòng)”
——以一節(jié)高三數(shù)學(xué)高考備考研討課為例

●劉亞平 高 敏 (睢寧高級中學(xué)南校 江蘇睢寧 221200)

最近徐州市中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科名師經(jīng)驗(yàn)交流會暨高考備考專題研討會在睢寧中學(xué)南校召開，受徐州市教育局的安排，筆者所在學(xué)校高敏教師開設(shè)了一節(jié)高考備考專題觀摩研討課——“運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式思想及放縮法證明不等式”.考慮到學(xué)生對數(shù)學(xué)思想及解題技能有了一定的掌握與理解，因此沒有把內(nèi)容設(shè)計(jì)成一堂“雜燴”課，而是希望沿著2個(gè)例題和1個(gè)鏈接講清一類問題，理順一種思想，充分利用學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)，從解題的矛盾沖突中激發(fā)生“動(dòng)”，達(dá)到用思想指導(dǎo)方法的解題習(xí)慣.現(xiàn)將本節(jié)課的教學(xué)過程呈現(xiàn)如下，以供與大家交流.

1 教學(xué)實(shí)錄

教師：在歷年各地的數(shù)學(xué)高考試卷中，與不等式相關(guān)的試題所占的比例更是“居高不下”，低、中、高3檔題目均經(jīng)常與不等式掛鉤;許多把關(guān)試題，特別是體現(xiàn)試卷區(qū)分度的“壓軸題”，常與不等式有關(guān).解答這類問題需要頻繁地運(yùn)用各種基本數(shù)學(xué)思想，對樹立、鞏固、強(qiáng)化與熟練運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想極為有益.例1著重考查運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式思想及放縮法來證明不等式.

例1已知函數(shù)f(x)=lnx.

(1)求函數(shù)g(x)=f(x+1)－x的最大值;

(2)當(dāng)0＜a＜b時(shí)，求證：

給學(xué)生6分鐘時(shí)間思考、討論與交流.第(1)小題：gmax(x)=g(0)=0(解題過程略).對于第(2)小題，由于教師指明了解題的思路，大家躍躍欲試，很快就有學(xué)生1得到的解法.

故原不等式得證.

教師：學(xué)生1很睿智也很堅(jiān)強(qiáng)，說他睿智是因?yàn)樗熬偷厝〔摹钡貥?gòu)造了函數(shù);說他堅(jiān)強(qiáng)是因?yàn)樵谇髲?fù)雜的導(dǎo)函數(shù)H'(x)時(shí)，他沒有被“氣勢洶洶”的復(fù)雜計(jì)算所嚇倒.

(教師的激勵(lì)言語增強(qiáng)了學(xué)生1的信心和成就感，更把課堂氣氛推向高潮.)

學(xué)生2：在不等式中，字母a，b的地位是均等的，既然可以用b作為自變量構(gòu)造函數(shù)，那么也可以用a作為自變量構(gòu)造函數(shù)

應(yīng)該也行得通(解題過程略)!

教師：學(xué)生2的洞察力很強(qiáng)，他巧妙地運(yùn)用輪換思想“克隆”了函數(shù)，可見“克隆”也是一種創(chuàng)造啊!

在總結(jié)此解法時(shí)，一位學(xué)生說：我也是這樣構(gòu)造函數(shù)的，但求導(dǎo)函數(shù)求錯(cuò)了;另一學(xué)生說：我求導(dǎo)函數(shù)求對了，但對導(dǎo)函數(shù)變形時(shí)出錯(cuò)了，沒有判斷出函數(shù)的單調(diào)性，真有點(diǎn)遺憾.

教師：學(xué)生1和學(xué)生2都是從a，b中選定一個(gè)字母的全部位置作為構(gòu)造函數(shù)的自變量位置來構(gòu)造函數(shù)，給求導(dǎo)函數(shù)帶來了困難.能否選定字母的部分位置作為

(教師的提示還沒有說完，學(xué)生的思路瞬間被打開.)

學(xué)生3：從a，b中選定一個(gè)字母的部分位置作為構(gòu)造函數(shù)的自變量位置來構(gòu)造函數(shù)，令

通過討論大家很快認(rèn)識到雖然這4種函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，H(b)與H(a)的大小關(guān)系確定，但由于H(b)與H(a)都不等于0，得不到所要證明的不等式，因此不能只把其中一個(gè)位置上的字母作為自變量來構(gòu)造函數(shù).

教師：直接構(gòu)造函數(shù)像把“雙刃劍”，殺敵一千，自損五百.根源在于我們沒有對原不等式進(jìn)行更好、更優(yōu)地等價(jià)變形，直接法構(gòu)造的函數(shù)形式有點(diǎn)復(fù)雜，導(dǎo)致求導(dǎo)函數(shù)計(jì)算量較大.

(教師的總結(jié)剛結(jié)束，還未平靜的學(xué)生瞬間又興奮起來.)

教師：上述3位學(xué)生都是利用對數(shù)運(yùn)算法則和不等式性質(zhì)對原不等式進(jìn)行等價(jià)變形，可謂穩(wěn)扎穩(wěn)打，很值得大家學(xué)習(xí).但由條件0＜a＜b和要證明的不等式中含有a2+b2，大家想到什么公式?能否先利用此公式把不等式放縮后再構(gòu)造“升級版”的函數(shù)呢?

學(xué)生9：運(yùn)用公式放縮法.要證

再結(jié)合例1第(1)小題的結(jié)論，可證原不等式成立.

教師：已知2個(gè)正數(shù)a，b之和或之積或平方和，那是運(yùn)用基本不等式放縮的一個(gè)“招牌式動(dòng)作”.這3位學(xué)生的解法也告訴我們一個(gè)事實(shí)

學(xué)生：“高風(fēng)險(xiǎn)才有高回報(bào)”啊!

(學(xué)生忍俊不止，在歡聲笑語中對基本不等式放縮的重要性有了深刻認(rèn)識.)

學(xué)生：多么簡潔、精致的一個(gè)函數(shù)!這比運(yùn)用基本不等式放縮更容易想到!

(正當(dāng)大多數(shù)學(xué)生由衷感嘆時(shí)，思維敏捷的學(xué)生13發(fā)現(xiàn)了問題所在.)

教師：學(xué)生12的字母放縮法很精妙，但放縮后構(gòu)造出的函數(shù)沒能如愿發(fā)揮應(yīng)有的作用，這是為什么呢?

學(xué)生：可能是放縮過頭了吧!

教師：是的，學(xué)生12放縮的幅度太大了，以致于放縮后構(gòu)造“最簡單”的函數(shù)失去了應(yīng)有的威力.因此，在利用放縮法時(shí)要時(shí)刻注意放縮的幅度.(學(xué)生茅塞頓開，頻頻點(diǎn)頭)看來大家對放縮法的使用還不能得心應(yīng)手，再看例2.

例2已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=3n－2n.求證：對一切正整數(shù)n，有

(2012年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題第19題改編)

首先教師用多媒體把例2的標(biāo)準(zhǔn)答案(共2種方法)逐一展示出來(略)，讓學(xué)生自主歸納證明這類不等式的通法：通過放縮法把數(shù)列變成一個(gè)能求和的數(shù)列.緊接著又把學(xué)生分成8組，每組6人，教師參與其中引導(dǎo)學(xué)生對2種標(biāo)準(zhǔn)答案進(jìn)行類比、提煉，并提示學(xué)生探索有沒有其他的放縮方法.整個(gè)教學(xué)過程教師本著“關(guān)注學(xué)生所想，激勵(lì)學(xué)生大膽猜想，給學(xué)生嘗試機(jī)會”的教學(xué)策略，取得了意想不到的教學(xué)效果，學(xué)生感受頗深，收獲頗多，得到了五彩繽紛的放縮方法.

最精彩的部分在于能否運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明此不等式.因?yàn)榘鸭僭O(shè)n=k的內(nèi)容直接代入n=k+1的式子無法進(jìn)行，所以一些學(xué)生認(rèn)為不能;而另一些學(xué)生認(rèn)為一定能，但找不到運(yùn)用假設(shè)的切入點(diǎn).最后在教師循循善誘的啟發(fā)下，學(xué)生終于發(fā)現(xiàn)了解題的突破口：因?yàn)樵趎=k+1的式子中除了第1項(xiàng)外，其余的項(xiàng)數(shù)和假設(shè)的項(xiàng)數(shù)相同，所以只要運(yùn)用數(shù)字放縮法即可，如

在其余的項(xiàng)中“提取”出假設(shè)(解題過程略).

2 高考鏈接及課堂小結(jié)(略)

3 專家點(diǎn)評

黃安成(江蘇省數(shù)學(xué)特級教師)：因?yàn)閷W(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，所以開展解題教學(xué)活動(dòng)的根本目的是：培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)思考與主動(dòng)探究能力，實(shí)現(xiàn)學(xué)生對知識系統(tǒng)、方法體系、思想提煉的自主建構(gòu).要突出學(xué)生的主體地位，教師就應(yīng)該充分尊重學(xué)生真實(shí)的解題經(jīng)驗(yàn)，在開展解題教學(xué)過程中，要注意研究學(xué)生的解題經(jīng)驗(yàn)中已有的個(gè)人經(jīng)驗(yàn)和原始觀念，思考學(xué)生經(jīng)驗(yàn)中是否有足夠的理論支撐當(dāng)前的解題，使學(xué)生的解題始于學(xué)生“現(xiàn)有發(fā)展區(qū)”，然后熟練駕馭解決問題的“制高點(diǎn)的思維區(qū)”.

例如在講解例1、例2時(shí)，首先從學(xué)生最初的思維起點(diǎn)——“構(gòu)造函數(shù)法”出發(fā)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽嘗試，當(dāng)學(xué)生思維受阻時(shí)，教師并沒有一語道破“天機(jī)”，而是采用了“點(diǎn)到為止”的教育機(jī)智，讓學(xué)生感受思維受阻的緣由，親身打磨“放縮法”使用的心路歷程.在得到例1的10種“構(gòu)造函數(shù)法”與例2多種“放縮法”的過程中，教師始終以協(xié)作者的角色參與其中，讓學(xué)生說思路、講道理、親實(shí)踐、多反思，沒有搶學(xué)生的“鏡頭”，主導(dǎo)地位發(fā)揮適當(dāng)，教學(xué)效果十分顯著.

袁寶金(江蘇省數(shù)學(xué)特級教師)：通過對“提出問題—分析問題—解決問題—?dú)w納總結(jié)”流程的反復(fù)使用，不但使學(xué)生的知識得以升華，學(xué)習(xí)欲望得到提高，而且培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，通過問題情境的設(shè)置把部分問題的錯(cuò)解與正解進(jìn)行辯證分析，使學(xué)生對這類題型有了更深層的理解，提高了學(xué)生思維的深刻性、嚴(yán)謹(jǐn)性與批判性.雖然例1、例2的證明方法迥然不同，但它們都有相同的關(guān)聯(lián)點(diǎn)——放縮法的使用，順理成章地形成一個(gè)知識體系，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.

難能可貴的是，教師在引領(lǐng)學(xué)生從例2的2種標(biāo)準(zhǔn)答案中把方法提煉出來后，并沒有就此結(jié)束，而是順應(yīng)學(xué)生思維的需求，對“放縮法”使用的技巧給予進(jìn)一步詮釋;對數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用給予完美展示.教學(xué)過程跌宕起伏、峰回路轉(zhuǎn)，令學(xué)生賞心悅目、沁人心脾、拍案叫絕.

魏賢剛(徐州市數(shù)學(xué)教研員)：這是一節(jié)高效的高質(zhì)量的高考備考專題復(fù)習(xí)課，它著重講解了函數(shù)、方程、不等式思想及放縮法等在證明不等式中的應(yīng)用.教師在講解例題前，首先詳細(xì)地介紹了不等式試題的類型、難度與解決策略，為學(xué)生證明不等式營造積極的求知氛圍.緊扣《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》的要求，以“問題教學(xué)法”為主線，收放自如，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和構(gòu)建的過程，通過對“問題鏈”逐個(gè)釋疑，使學(xué)生的解題思想逐趨合理、解題方法漸臻完善.整堂課簡約而不簡單.

4 聽課啟示

這節(jié)課教師只帶領(lǐng)學(xué)生詳細(xì)地解決了2道例題，一個(gè)鏈接，少而精!這與筆者此前所見到的一些教師的教學(xué)過程不同，在當(dāng)前的高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)課中，一個(gè)很普遍現(xiàn)象是課堂容量大、節(jié)奏快，學(xué)生疲于奔命，教師苦不言堪.當(dāng)學(xué)生看到題目后，教師往往只留給學(xué)生很短的思考時(shí)間，就開始滔滔不絕地講解，不敢把時(shí)間還給學(xué)生，生怕完成不了課堂任務(wù);不愿意把機(jī)會讓給學(xué)生，擔(dān)心學(xué)生的思維出“差錯(cuò)”，追問出“岔道”，影響原本預(yù)設(shè)好的教學(xué)軌跡.教師要領(lǐng)悟新課改精神，處處為學(xué)生著想，讓位于學(xué)生，讓學(xué)生成為課堂的真正主人”.當(dāng)然要想讓學(xué)生成為課堂的真正主人，還需要教師具備淵博的專業(yè)知識、先進(jìn)的教學(xué)理念、嫻熟的教學(xué)技能、幽默的教學(xué)語言，只有這樣教師才能感召學(xué)生想動(dòng)、敢動(dòng)、樂動(dòng)，教學(xué)才能真正達(dá)到“放馬于原野之中，牽其于晚霞之時(shí)”的瀟灑境界，演繹多維精彩的高效課堂.

［1］程愛文.讓學(xué)生的心靈去旅行——一堂試卷評課教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通訊，2011(8)：19-23.

［2］吳少然，王克亮.“生動(dòng)”課堂的一種詮釋是生“動(dòng)”——一節(jié)省級公開課“拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程”的課例及啟示［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2011(4)：20-23.

［3］張傳鵬.關(guān)注數(shù)學(xué)思維演繹精彩課堂——習(xí)題課有效性教學(xué)的一點(diǎn)探索［J］.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2013(1/2)：58-60.