解決一類拋物線切線問題的策略與困因分析

●趙銀倉(cāng) (東莞中學(xué) 廣東東莞 523000)

解決一類拋物線切線問題的策略與困因分析

●趙銀倉(cāng) (東莞中學(xué) 廣東東莞 523000)

圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容之一，尤其是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系能綜合體現(xiàn)解析幾何的基本思想，即幾何問題代數(shù)化.用代數(shù)方法來研究幾何問題、用代數(shù)推算代替幾何推理的數(shù)學(xué)思想，特別是直線與拋物線的位置關(guān)系問題，由于可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)去分析相切關(guān)系，形成了許多交匯問題，增強(qiáng)了問題的綜合性，提高了問題的開放度，拓寬了問題探究的思路，因而也成為高考數(shù)學(xué)命題關(guān)注的熱點(diǎn)之一.下面一類問題就是其中的典型示例，均為高考的壓軸問題(后2個(gè)題目)，解決問題的綜合能力要求較高，學(xué)生解決此類問題時(shí)疑惑較多，困難較大.探究此類問題解決的通法策略，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在問題解決中存在的困難，有利于指導(dǎo)學(xué)生解決同類問題.

1 問題展示

例1已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F(0，c)(c＞0)到直線 l：x－y－2=0 的距離為設(shè)P為直線l上的點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的2條切線 PA，PB，其中 A，B 為切點(diǎn).

(1)求拋物線C的方程;

(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0，y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程;

(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求|AF|·|BF|的最小值.

(2013年廣東省數(shù)學(xué)高考理科試題第20題)

圖1

例2如圖1，設(shè)拋物線方程為x2=2py(p＞0)，M 為直線y=－2p上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M引拋物線的2條切線，切點(diǎn)分別為 A，B.

(1)求證：點(diǎn) A，M，B 的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.

(3)是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)D在拋物線x2=2py(p＞0)上，其中點(diǎn)C滿(O 為坐標(biāo)原點(diǎn)).若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由.

(2008年山東省數(shù)學(xué)高考理科試題第22題)

此類問題主要考查直線、拋物線、曲線的切線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí).

2 通法分析

比較這2道高考試題，可以看出它們的共同特征：(1)已知條件相似：給定拋物線C：x2=2py及一條直線l，二者相離;過直線一點(diǎn)引拋物線的2條切線，切點(diǎn)分別為A，B.(2)研究問題相近：與切點(diǎn)弦所在的直線有關(guān).查閱高考試題及有關(guān)高中數(shù)學(xué)資料，可以找到很多相似的問題，研究過圓錐曲線外一點(diǎn)引曲線的2條切線，求切點(diǎn)弦所在直線的方程或探究與2個(gè)切點(diǎn)的弦長(zhǎng)有關(guān)的問題.由于拋物線方程可以看作為函數(shù)的表達(dá)式，因而研究的思路更加寬闊，在高考試題中頻頻出現(xiàn).

求拋物線切點(diǎn)弦所在直線方程的常見通法是：(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義.設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，用導(dǎo)數(shù)表示切線的斜率寫出切線方程，利用已知點(diǎn)在切線上來展開思路.(2)聯(lián)立方程研究位置關(guān)系.利用已知設(shè)出切線方程，聯(lián)立切線方程與拋物線方程，利用判別式為0展開思路.(3)待定所求直線方程，通常用斜截式.聯(lián)立直線方程與拋物線方程，用韋達(dá)定理列出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式消參求出所待定的系數(shù).用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率和聯(lián)立方程研究直線與拋物線的位置關(guān)系均為課標(biāo)的要求，在人教A版教材中的例、習(xí)題中都有相應(yīng)的題目.下面以問題1為例進(jìn)行解題策略探究.

3 解題策略

例1第(1)小題由點(diǎn)到直線的距離公式易得c=1，因而拋物線C的方程為x2=4y.問題的難點(diǎn)在第(2)小題，信息點(diǎn)多，涉及變量多，消參難度大.第(3)小題可以應(yīng)用第(2)小題的結(jié)論，也可獨(dú)立求解.

3.1 探究第(2)小題的解題策略

策略1從導(dǎo)數(shù)的幾何意義入手，用直線與方程的關(guān)系來判斷

圖2

解法 1如圖 2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，因?yàn)?x2=4y，即 y=，從而切線PA的方程為

綜合式(1)和式(2)得，點(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐標(biāo)都滿足方程

因?yàn)榻?jīng)過A，B的直線是唯一的，所以直線AB的方程為 x0x－2y－2y0=0.

評(píng)析解法1利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義并類比推理，快速地求出2條切線方程，由2條切線過同一個(gè)點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，坐標(biāo)適合同一直線方程，用直線與方程的關(guān)系判定可得直線方程.此題對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義、推理能力與直線方程概念的理解要求較高.

策略2從待定切線方程入手，通過聯(lián)立方程來判定位置關(guān)系求解

解法 2設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，切線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則切線方程可統(tǒng)一設(shè)為

評(píng)析待定切線方程，聯(lián)立方程用解的情況來研究也是一種通法，聯(lián)立方程利用相切判別式為0得到切線的斜率所滿足的關(guān)系及方程的唯一解.解法2從根與系數(shù)的關(guān)系入手并結(jié)合直線方程的意義得解;解法3則利用直線的點(diǎn)斜式方程求解，參數(shù)多，運(yùn)算能力要求高.

策略3從待定直線AB的方程入手，利用點(diǎn)A，B處的切線來確定參數(shù)

解法 4設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，由于直線AB的斜率存在，故可設(shè)其方程為

評(píng)析待定直線的斜截式方程，聯(lián)立方程由根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)得到斜率和截距與坐標(biāo)之間的表示式，這也是通法.

評(píng)析用切點(diǎn)坐標(biāo)為參數(shù)來表示直線方程，解法5結(jié)合導(dǎo)數(shù)整體消參得到斜率和截距.而解法6在消參時(shí)得到了切點(diǎn)坐標(biāo)之間的一個(gè)關(guān)系，給下一小題的解決帶來了便利.此題關(guān)系復(fù)雜，要求學(xué)生的推理能力高，對(duì)問題的駕馭能力強(qiáng).

3.2 探究第(3)小題的求解策略

策略1用切點(diǎn)坐標(biāo)為變量，換元構(gòu)造函數(shù)

解法1由第(2)小題的解答過程知

評(píng)析以坐標(biāo)為變量既與前一小題相通，也容易寫出函數(shù)表達(dá)式，利用換元法化為熟悉的二次函數(shù)，避免了聯(lián)立方程使用韋達(dá)定理，符合課標(biāo)的要求.解法2中向量的使用，除去了對(duì)前一小題過程的依賴.

策略2以已知?jiǎng)狱c(diǎn)坐標(biāo)為變量，通過聯(lián)立方程確定函數(shù)

評(píng)析注意到切點(diǎn)A，B由點(diǎn)P所確定，選擇點(diǎn)P的坐標(biāo)為變量，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)可以通過聯(lián)立方程來確定，使用韋達(dá)定理實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求.其中解法3用定義轉(zhuǎn)化，思路簡(jiǎn)明，解法4直接用距離公式化歸，殊途同歸.

策略3以直線AB斜率為變量，利用聯(lián)立方程化歸函數(shù)

評(píng)析考慮到直線AB過定點(diǎn)(2，2)這一事實(shí)，若設(shè)其斜率為變量，則過程更簡(jiǎn)潔.

4 困因分析

例3過點(diǎn)A(2，3)的直線l與拋物線C2：x2=4y交于點(diǎn)B，C，拋物線C2在點(diǎn)B，C處的切線分別為l1，l2，且l1與l2交于點(diǎn)P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.

該題是2013年廣州市數(shù)學(xué)高考模擬考試?yán)砜频?0題的關(guān)鍵部分，顯然例1的第(2)小題是其逆命題，也是這道題的難點(diǎn)，解法基本一致.例3作為診斷性考試的一道試題，旨在了解復(fù)習(xí)備考情況，反饋信息，指導(dǎo)教學(xué).筆者所在東莞市參加了這次考試并組織了統(tǒng)一閱卷，從全市統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)來看，該題的得分率僅為0.23，A類學(xué)校的得分率也只有0.33.答卷中暴露出學(xué)生存在著很多疑惑與困難，在解題中存在著不少問題.

4.1 在具體的問題情境中，不會(huì)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義

導(dǎo)數(shù)是解決函數(shù)問題的重要工具，導(dǎo)數(shù)的幾何意義使得求曲線的切線方程十分便捷.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求切線方程要準(zhǔn)確理解其幾何意義：函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)就是其圖像在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線的斜率.就該題來說，由于題目給出的是拋物線方程，也就是曲線的方程，要將其變?yōu)橄鄳?yīng)的函數(shù)形式才能求導(dǎo);用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率必須設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo).正是由于對(duì)這2點(diǎn)認(rèn)識(shí)不到位，不少學(xué)生不能寫出切線方程.

4.2 對(duì)直線與方程之間關(guān)系本質(zhì)涵義不理解，因而不能從數(shù)學(xué)意義上分析問題

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何問題，需將幾何問題化為代數(shù)問題.但這2個(gè)問題之間必須能建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，就是通過曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的對(duì)應(yīng)使二者結(jié)合起來.由于直線有其特殊性，2個(gè)點(diǎn)確定且只確定一條直線，因此直線上只要有2個(gè)點(diǎn)適合一個(gè)二元一次方程，則此方程必表示該直線的方程.這個(gè)原理雖然并不難理解，但已經(jīng)觸及直線與方程關(guān)系的本質(zhì)涵義，學(xué)生平時(shí)練習(xí)中只重視求直線的方法，重視數(shù)學(xué)推算，很少在推理運(yùn)算過程中，從數(shù)學(xué)意義的角度審視推算、運(yùn)算結(jié)果，把握其本質(zhì).因而在解答該題時(shí)，不能由2條切線方程形式的一致性判斷出切點(diǎn)弦所在直線的方程，在運(yùn)算中徘徊.

4.3 沒有養(yǎng)成用數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)、分析問題的習(xí)慣

這類問題的典型特征是變量參數(shù)多、關(guān)系式復(fù)雜，容易使學(xué)生迷失方向，看到很多式子不知如何推算.而產(chǎn)生這種問題的原因是沒有用數(shù)學(xué)思想去指導(dǎo)分析問題，沒有從整體上對(duì)解題進(jìn)行規(guī)劃，明確解題的方向路線.如在例1的解答中，涉及到6個(gè)以上參變量，如果用整體思想、對(duì)稱思想、方程思想去指導(dǎo)分析，就會(huì)明確設(shè)眾多參數(shù)的目的是溝通切線與切點(diǎn)弦之間的聯(lián)系，但最終目標(biāo)是求出切點(diǎn)弦所在直線方程的系數(shù)，或直接推理得出方程.因而解題思路是圍繞如何選擇有效途徑消參來展開，推算則不再盲目.整體思想與對(duì)稱思想的應(yīng)用使解題過程簡(jiǎn)化.

4.4 運(yùn)算推理能力弱是解題的最大瓶頸

面對(duì)解析幾何問題，學(xué)生感覺最大的困惑是涉及多參的情況下，參數(shù)的處理能力弱，運(yùn)算推理能力不強(qiáng).不少學(xué)生解題思路能夠形成，但是在實(shí)施解題方案的過程中，往往是列出了參量之間的關(guān)系式但不知怎么處理，后續(xù)運(yùn)算難以為繼，因而解題活動(dòng)被迫中斷;還有一種情形是在某一環(huán)節(jié)運(yùn)算出現(xiàn)差錯(cuò)，沒有養(yǎng)成對(duì)過程反思與檢查的習(xí)慣，而是不停地推算，從而離問題解決越來越遠(yuǎn).前者為推理思路不明，后者為運(yùn)算能力不強(qiáng).可見“推算”的功夫不夠是解題的最大瓶頸.如例1的解答中，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)、列出切線方程及切點(diǎn)弦方程后，問題將聚焦在如何消去4個(gè)參數(shù)，用已知點(diǎn)坐標(biāo)將切點(diǎn)弦方程表示出來.由于運(yùn)算能力的制約，面對(duì)眾多的參數(shù)，大多學(xué)生感覺到束手無策.

［1］ 趙銀倉(cāng).解析幾何中一類典型錯(cuò)解的分析［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育：高中版.2012(9)：34-36.

［2］趙銀倉(cāng).從高考答卷的錯(cuò)誤反思教學(xué)的缺失［J］.數(shù)學(xué)通訊：教師.2013(7)：46-50.

［3］ 曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社.2006：186-195.