基于流場函數的變剛度層合板鋪放設計①

牛雪娟，楊 濤，杜 宇

(1.天津工業大學機械工程學院，天津 300387;2.天津市現代機電裝備重點實驗室，天津 300387)

基于流場函數的變剛度層合板鋪放設計①

牛雪娟1，楊 濤1，杜 宇2

(1.天津工業大學機械工程學院，天津 300387;2.天津市現代機電裝備重點實驗室，天津 300387)

文章提出了一種新的變剛度鋪層軌跡設計方法，即采用一對互相共軛的標量場函數實現復合材料變剛度鋪層的軌跡定義和鋪層設計。最后，通過有限元建模和算例對比方法，對直線鋪放層合板和變剛度鋪放層合板進行壓縮特征值屈曲分析和非線性屈曲分析，得出變剛度鋪放層合板的屈曲特性比直線鋪放層合構件提高約23.62%，y方向的屈曲變形位移減小為直線鋪層構件的59.47%，大幅度提高了構件的抗壓縮屈曲特性，同時也驗證了該設計方法的可行性和實用價值。

變剛度鋪放;標量場函數;正交鋪層;壓縮屈曲分析

0 引言

作為飛機結構基本構件的復合材料層合板承受著各種載荷，只有對其進行合理的鋪層設計，才能保證構件在各種規定載荷下的強度和剛度要求。傳統的復合材料層合板多采用平行順直纖維鋪放成型，且為了簡化設計和施工的工作量，工程中經常采用0°、90°和±45°鋪層方向。此類層合板在承受面內壓縮、剪切作用時，容易發生失穩破壞［1］。鋪層內纖維取向的連續變化的鋪放方法，可改變載荷在鋪層平面內的分布，造成層合板上不同空間位置的剛度不同。這種變剛度的鋪層方法可能會導致局部強度和剛度的降低，但可有效地提高層合板的整體結構性能，如屈曲載荷和破壞強度［2］。另外，變角度的鋪放方法可通過調整內在載荷分布，避免應力集中［3］。

Hyer［4］最早提出用曲線鋪放來增強層合板力學性能，采用分段連續軌跡，鋪放角度為主應力方向。Negendra等［5］最早提出在整個薄板上構建完整的3次NURBS鋪放軌跡，并采用有限元分析的方法，驗證了Hyer［4］的說法。Gürdal等［6］采用先進的鋪放設備實現了變剛度復合材料的首次制備，并提出了變剛度復合材料的概念，采用角度沿幾何軸線性變化的曲線來定義鋪放參考軌跡，并利用鋪放頭鋪放出了變剛度層合板［7］，通過實驗測試證明了變剛度層合板的承載能力明顯優于傳統的直線鋪放層合板［8］。后來 Lopes［9］和Groh［10］等對變剛度層合板的剪切特性和失效特性進行研究，證明變剛度鋪放成型的層合板的彎曲強度比直線鋪放的層合板提高了56%。

國內對于變剛度鋪放的研究相對較少，但已開始起步。秦永利［11］對纖維曲線鋪放的變剛度復合材料層合板的研究進展進行具體的介紹。馬永前［12］和赫曉東［13］用ABAQUS對Gürdal提出的變剛度復合材料層合板進行建模計算，驗證在面內受力情況下，變剛度層合板的屈曲載荷比直線鋪層結構提高14%。富宏亞等［14］根據零件外形數據信息，實現了非可展回轉外殼類零件的變角度軌跡規劃。楊濤等［15－16］對復合材料的變剛度鋪放進行長時間的研究，并發表多篇相關論文。

本文采用傳統直線鋪放得到的準各向同性層合板作為基準板，與基于流函數的變剛度鋪放的層合板的壓縮屈曲特性進行對比。由于基準板每鋪層的纖維角度與變剛度層合板在相應鋪層上的纖維取向主方向一致，且基準板和變剛度板等厚，二者具有可比性，所得的對比結果具有可信的參考價值。

1 基于流場函數的曲線鋪放軌跡表示方法

1.1 有勢流動的標量場函數

由于流場的流函數與勢函數是一對共軛函數，知道其中一個，另一個便可確定。這為本文所提的用流線簇和勢線簇來規劃一對正交鋪層的軌跡提供了很大便利。

1.2 有勢流動的標量場函數

通過離散流函數和勢函數，可在流場中繪制等勢線蔟和流線簇構成的流網。其中，流場中的流線簇可表達為

式中 N為流場中流值為正的流線簇的數目;Di為實常數，表示第i條等流線對應的流函數值。

由于流函數和勢函數相對于原點均對稱的，進行軌跡規劃時，只需規劃出流值為正的流線即可。相鄰流線數值差δi=Di+1－Di，過原點的粗實線即為流值為0的流線。可通過改變式(6)中系數k的取值改變等流線的外形;通過改變相鄰等流線流值差δi的取值，改變相鄰等流線間距。

同樣，流場中的勢線簇可表達為

1.3 流線簇和等勢線簇表示的正交鋪層表示方法

根據有勢流動理論，在任何一個網格點上流線和勢線是正交的。基于這一性質，本文提出通過合理離散流場的流函數得到一組流線簇作為一個鋪層(流線簇鋪層)的鋪放軌跡;通過合理離散流場的勢函數得到一組勢線簇作為另一鋪層(勢線簇鋪層)的鋪放軌跡。這兩個鋪層在力學上是相互平衡的，可構成一對正交鋪層。通過改變相鄰等流線流值差δi或相鄰等勢線勢值差的取值改變同一鋪層中相鄰鋪放軌跡間距，進而控制相鄰軌跡的重疊率。在同一個鋪層中，不同相鄰流線間的流線差值可不同。

為了方便表示，這里將流場表示的一對互相正交的一對鋪層(流線簇鋪層和勢線簇鋪層)組合表示為⊥＜θ0，k＞。這里θ0為組成流場的直線均勻流的方向與流場x軸(即層合板長軸)的夾角;k為組成流場的點渦強度。

2 變剛度鋪放軌跡的參數計算

2.1 纖維角度的計算

通過對式(9)所示的流線簇鋪層軌跡方程兩邊求微分，可得到軌跡線上每個點位的切線方向，即鋪放軌跡在該點位的纖維角度。同理，對式(10)所示的勢線簇鋪層軌跡方程兩邊求微分，可得到勢線簇鋪層上每個點位的纖維角度。

式(9)是平面流線的隱函數方程，根據隱函數的求導公式，可得出等流線ψι的切線矢量→Vψ的表達式如下:

2.2 相鄰軌跡間距

流場中任一點位的梯度指向標量場增長最快的方向，且梯度模值為函數在該點的最大變化率。這一性質可用來求解平面標量場中兩條等值線間的最小距離。對于變剛度鋪層，利用梯度可求出相鄰兩鋪放軌跡間的距離。由于流函數的梯度與勢函數的梯度是正交的，流函數的梯度矢量方向為該點處等勢線的切線方向，即流線簇鋪層在該點處的梯度方向。同理，勢函數的梯度矢量方向為該點處流線的切線方向，即勢線簇鋪層在該點處的梯度方向。

根據標量場中梯度的定義，流函數ψ的梯度矢量的表達式如下:

流線簇鋪層中第i+1條鋪帶與第i條鋪帶間的距離di可表達為

其中，δi為沿著第i+1條流線的與第i條軌跡間的流值差。同理，勢線簇鋪層中第j+1條軌跡與第j條軌跡間的距離dj為沿著第j條等勢線的梯度方向位移的距離，即

流場函數鋪層設計方法充分發揮變剛度鋪放的優勢，通過添加最小距離約束的形式來對相鄰軌跡間距進行限制。最小距離約束如式(23)所示:

式中 γ為鋪放用的預浸帶或纖維束寬度;ε1和ε2為寬度的容限率。

如果鋪層中不允許出現間隙，則需設置ε1≥0。對鋪層內各條軌跡線對應的流函數值進行設定，δj取‖▽ψj‖max·γ。采用這種方法可用盡可能少的軌跡數目鋪放出變剛度層合板，從而提高了鋪放效率和材料的利用率。

3 基于流標量場函數的變剛度層合板有限元分析

3.1 算例設計

試樣的名義尺寸為508 mm×381 mm×3.81 mm(長×寬×厚)，共20層，每鋪層的標準厚度為0.139 7 mm。鋪放用纖維帶寬度為4 mm。材料選用 AS4/9773，材料的工程常數如表1所示。

表1 AS4/9773炭纖維/環氧樹脂基材料屬性Table 1 AS4/9773 material system properties

為了與直線鋪放方法和直線鋪放方法進行對比，本文設計了兩個算例:

直線鋪放構件算例Z1:

Q1中除最外部2層為直線鋪層外，其余鋪層均為變剛度鋪層。考慮到鋪層厚度變化會引起力學性能的變化，為了與直線鋪放方法進行有效對比，Q1中的變剛度鋪層均采用無重疊方法進行鋪放，即對相鄰鋪帶間有重疊的區域的鋪帶進行剪裁，使得到的鋪層為均勻等厚鋪層。

3.2 基于流標量場函數的構件鋪層軌跡設計

依照前面所述的有勢流動的標量場函數構建方法，根據式(7)，針對每個奇數鋪層(i=3，5，7…，17)構建流標量場函數:

根據式(8)，對每個偶數鋪層(i=4，6，8…，18)構建勢標量場函數:

Q1中變剛度鋪層⊥〈30，80〉中流線簇鋪層和勢線簇鋪層如圖1所示。圖中橫線為流線簇鋪層軌跡，豎線為勢線簇鋪層軌跡。由圖1可清晰看出，在任一交點處等流線和等勢線均正交。

圖1 流線簇和勢線簇構成的變剛度鋪帶軌跡Fig.1 Tape paths built by the streamlines

根據纖維角度的計算方法，得出如圖2(a)所示的⊥〈30，80〉的流線簇鋪層中零流線對應的鋪疊軌跡上纖維角度隨x坐標變化而變化的情況。最小值為17.71°，最大值為 29.50°。要計算相鄰軌跡間距離需要先確定流場在軌跡的各個點位上梯度模值‖▽ψ‖。⊥〈30，80〉的流線簇鋪層中零流線對應的鋪疊軌跡上各點位的梯度模值為隨x軸的變化曲線如圖2(b)所示。

下面對Q1算例相鄰軌跡間距離添加約束。這里設置ε2=0，即軌跡間最小距離為預浸帶的寬度，即相鄰軌跡間不會有間隙產生。為了將重疊率控制在25%以下，ε1數值取為 0.25。由式(23)知，相鄰軌跡間距離有如下約束:

算例中鋪放用的預浸帶寬度γ=25.4 mm。利用該約束依次確定每條鋪放軌跡對應流值。

由于流線簇與勢線簇是完全共軛正交的，這里僅以流線簇鋪層為例對鋪層上各鋪帶的設計方法進行說明。零流值流線對應的鋪帶軌跡，這里定義為軌跡0。軌跡0與軌跡1間的距離d0為

要滿足如上所述的最小距離約束，ψ1應滿足如下2個條件:

由于‖▽ψ0‖最小值為 1.31，最大值為 1.64，為了盡可能提高材料的利用率，這里取‖▽ψ1‖為梯度模值的最大值1.64，此時ψ0=31.24。流場內流值最大值為 359.17。Q1中⊥＜30，80＞鋪層采用共需 19 條鋪放軌跡。由于流場中ψj是完全對稱的，表2僅給出j≥0的流線簇對應的流值。

圖2 ⊥＜30，80＞中零流線上鋪帶角度和梯度模值變化圖Fig.2 Fiber angle and gradient magnitude distribution on the zero streamline of⊥〈30，80〉

圖3給出了正交變剛度鋪層⊥〈30，80〉中的流線簇鋪層上的19條鋪放軌跡的分布。圖3中的棕色線條為軌跡0。軌跡1～9和軌跡－1～－9分別分布在軌跡0的兩側，且關于原點對稱。

3.3 壓縮屈曲特性分析

3.3.1 變剛度鋪放對屈曲載荷優化機理分析

不同鋪放曲線軌跡的變剛度鋪層對屈曲載荷的優化機理是不同的。通過分析，可將變剛度鋪放軌跡分為S形軌跡和反S形軌跡。S形軌跡指邊界處的纖維角度大于中部的纖維角度;而反S形軌跡指邊界處的纖維角度小于中部的纖維角度。

對于S形鋪層，其對屈曲載荷的優化機理在于其對載荷的重新分配。具體分析如下:

層合板沿x軸方向應力合力可表達為

對于S形鋪層，在層合板中部纖維取向與x軸正向間的夾角較大，Ex(y)較小，因而Nx(y)較小;在層合板邊界處，纖維取向與x軸正向間的夾角較小，Ex(y)較大，因而Nx(y)較大。因此，變剛度的曲線鋪放路徑使得在x方向上施加的壓縮載荷被在面內進行了重新分布，大部分載荷是由靠近邊界的部分承受的，只有少部分集中在Y軸中部。正是由于將大部分載荷被轉向層合板的橫向邊界，如圖4所示，使得層合板的面外位移顯著減小，從而使層合板的屈曲載荷得到提高。

表2 流線簇鋪層上各條軌跡對應的流函數值ψjTable 2 Stream function values ψjon stream-layer

圖3 流線簇鋪層上各條鋪帶的分布Fig.3 Tapes distribution on the streamline layup

圖4 一致壓縮位移u0時縱向邊界上Nx的分布［6］Fig.4 Distribution of Nxalong the y coordinate under uniform end shortening u0

對于反S形變剛度鋪層，由于x方向中部的泊松比小于橫向兩側的泊松比，在x方向施加壓縮載荷時，在層合板中部形成局部橫向拉應力。這種拉應力將與壓縮屈曲載荷形成平衡，所以提高了層合板的整體屈曲載荷。

因此，無論是S形變剛度鋪層還是反S形變剛度鋪層，相較于直線鋪層，屈曲強度都有所優化。3.3.2 復合材料構件有限元模型建立

網格類型為 S4R，網格單元大小為 5.08 mm×5.08 mm，網格數目為75×100，共 7 500個單元。模型的幾何尺寸和邊界約束情況如圖5所示。下邊界所有單元的6個自由度全部限制。上邊界所有單元限制除y方向移動外的5個自由度。左邊界和右邊界的z方向位移和繞x軸的回轉自由度被約束。

圖5 層合板幾何尺寸及邊界約束情況Fig.5 Geometric dimension and boundary condition

3.3.3 特征值屈曲分析

特征值屈曲分析又稱線彈性失穩分析，指結構在外載荷作用下，在原來的平衡狀態之外，出現了第二個平衡狀態。特征值屈曲分析問題可用式(27)進行描述:

式中 ［K］為剛度矩陣;［s］為應力剛度矩陣;λi為第i階特征值;{ψ}i為第i階位移特征矢量。

特征屈曲分析的目的是為了得到屈曲特征值λi和屈曲模態{ψ}i。將屈曲分析得到的第i階屈曲載荷系數λi乘以外加載荷F，可得到第i階屈曲極限載荷。

通過對直線鋪層算例Z1和變剛度鋪層Q1進行特征值屈曲分析，得出Z1和Q1的1～4階屈曲的臨界載荷如表3所示。表3中，各階臨界載荷的單位均為kN。由表3可知，當施加14.024 kN的壓縮作用力時，直線鋪放層合板發生屈曲失穩，而施加的17.337 kN的載荷時，變剛度鋪放層合板才發生屈曲失穩。因此，Q1的一階屈曲臨界載荷比Z1的一階臨界載荷提高23.62%。

表3 Z1和Q1屈曲的臨界載荷Table 3 the critical buckling loads of Z1＆Q1 kN

3.3.4 非線性屈曲分析

為了對帶缺陷構件進行整體失穩性能進行分析，本文引入特征值屈曲模態作為初始幾何缺陷進行非線性壓縮屈曲分析。在非線性分析中，考慮到大變形效應，復雜應力狀態下的破壞狀態采用Von-Mises屈服準則來判別。非線性壓縮屈曲分析中設定的初始缺陷與特征值模態間的關系如式(28)所示:

模型中施加的壓縮載荷大小為20 kN。在該載荷作用下，Z1將進入二階屈曲模態，而Q1仍處于一階屈曲模態。面內各點位形變幅值如圖6所示。

圖6 20 kN壓縮載荷下Z1和Q1的屈曲模態對比Fig.6 Buckling modes of Z1and Q1under 20 kN force

兩層合板模型的非線性壓縮屈曲分析結果如7所示。圖7中，各個子圖的橫坐標x軸和縱坐標y軸分別為層合板的長度方向和寬度方向，單位均為mm;圖7中，不同顏色表達的是給定方向上的不同位移值，單位為mm。

圖7 算例Z1和算例Q1的非線性屈曲分析結果對比Fig.7 Nonlinear buckling analysis of Z1and Q1

在20 kN壓縮載荷作用下，Z1和Q1上的各主方向位移的大小對比，如表4所示。由表4可知，通過本文所提方法改變纖維鋪放角度，實現了y方向屈曲變形位移的大幅度改善。Q1的y方向的最大位移是Z1的59.47%，大幅度提高了復合材料層合構件的抗壓縮屈曲特性。

表4 Z1和Q1在20 kN壓縮載荷作用下變形情況對比Table 4 Deformation of Z1＆Q1under 20kN force

4 結論

(1)基于流標量場函數實現變剛度正交鋪層定義，不同于Güdal方法中通過計算參考軌跡平移曲線或平行曲線來獲得其他軌跡，而是利用一個流場函數來計算整個鋪層內所有軌跡進行規劃設計，該方法有助于后續的軌跡優化工作。

(2)本文采用有勢流場來構造一對互相共軛的流函數和勢函數，通過合理離散這兩個標量場函數獲得互相正交的一組流線簇和勢線簇，分別用來作為2個正交鋪層的鋪帶軌跡，這2個鋪層在力學上可實現平衡互補。

(3)根據流場函數利用解析法求解出相鄰軌跡間的間距、鋪層內任一點位上的纖維角度和鋪層厚度，且可通過添加約束，對相鄰軌跡間的距離進行控制。

(4)通過構建算例，采用有限元建模，將本文所提的變剛度鋪放軌跡規劃方法得到的等厚度變剛度層合板與傳統的直線鋪放層合板進行抗彎曲性能的對比，得出基于流場函數的變剛度層合板的抗彎曲性能比傳統層合板提高了23.62%，y方向的屈曲變形比傳統層合板減少了約40%。

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(編輯:薛永利)

Path planning of variable stiffness laminates based on the flow field function

NIU Xue-juan1，YANG Tao1，DU Yu2
(1.School of Mechanical Engineering，Tianjin Polytechnic University，Tianjin 300387，China;2.Advanced Mechatronics Equipment Technology Tianjin Area Major Laboratory，Tianjin 300387，China)

The variable stiffness layup method was put forward to optimize the component mechanical characteristics and failure resistance.A new variable stiffness path planning method was designed.A pair of scalar field functions，which are orthotropic at every intersect point，were used to define and plan the layup of laminate.Finally，the eigen value buckling analysis and nonlinear buckling analysis were conducted by means of FEM method，and the comparison between the straight fiber method and the variable stiffness method was done.The simulation results show that the buckling property can be improved by 23.62%，and the deformations in y-axis decrease to 59.47%of the original one.The capacity of anti-buckling of the specimen is greatly improved.The feasibility of the design method and practical value are verified.

variable stiffness tow-placing;scalar field function;orthogonal layup;compression buckling analysis

V254

A

1006-2793(2014)06-0848-08

10.7673/j.issn.1006-2793.2014.06.021

2014-09-01;

2014-09-16。

國家自然科學基金(11372220)。

牛雪娟(1977—)，女，博士，研究方向為復合材料工藝及制備。E-mail:niuxuejuan@tipu.edu.cn