固體發動機中軸對稱界面端應力奇異性研究①

顧志旭，鄭 堅，彭 威，殷軍輝

(軍械工程學院火炮工程系，石家莊 050003)

固體發動機中軸對稱界面端應力奇異性研究①

顧志旭，鄭 堅，彭 威，殷軍輝

(軍械工程學院火炮工程系，石家莊 050003)

從界面防護的角度出發，研究了溫度載荷下固體發動機中彈性-粘彈性軸對稱界面端的奇異應力場。依據對應原理，由彈性-彈性界面端的特征方程獲得了彈性-粘彈性界面端的應力奇異性指數。根據應變匹配模型，推導了溫度載荷下軸對稱界面端中的常應力項。針對現有的應力釋放罩/推進劑界面端，分析了材料參數和結合角對其應力奇異性指數的影響規律，在不改變裝藥量的前提下，提出了弱奇異性或無奇異性界面端的設計。結果表明，自由邊呈平角時界面端至多存在-0.1的弱奇異性，界面端應力集中水平顯著降低。

固體發動機;軸對稱界面端;奇異應力場;常應力項

0 引言

固體發動機燃燒室內通常存在著殼體/絕熱層、絕熱層/包覆層、包覆層/推進劑等多個界面。界面失效是發動機結構完整性破壞的主要形式之一。從固體力學的角度而言，粘結強度和應力水平是影響界面粘結質量的兩大決定性因素，當界面應力超過界面的粘結強度時，界面發生破壞。界面的粘結強度依賴于結合材料的理化性能和工藝條件，而界面應力主要取決于結構部件的構型和負載工況。結合材料成型后，不考慮老化損傷時，界面的失效主要取決于界面的應力水平。

針對固體發動機中界面脫粘問題，國內學者從界面應力的角度出發，開展了一系列的研究。史宏斌等［1］分析了內聚空洞對推進劑/襯層界面應力的影響。楊月誠等［2］討論了發動機充氣內壓對藥柱/殼體界面應力的影響。鄭曉亞等［3］研究了固體裝藥在掛飛工況下，殼體/絕熱層界面應力的分布規律。上述研究主要關注了應力在整個界面上的分布，而忽視了界面端應力場的奇異性。大量研究表明，界面端的奇異應力場是誘發界面破壞的主要因素［4-5］。

本文針對發動機中的應力釋放罩/推進劑(彈性/粘彈性)軸對稱界面端，分析了界面端奇異應力場隨材料性能和結合角的變化規律，進一步提出了弱奇異性或無奇異性界面端的設計，所得結論可為發動機界面設計提供一定參考。

1 界面端奇異應力場

1.1 固體發動機中的界面端

某型固體發動機主要有殼體、絕熱層、包覆層、推進劑及應力釋放罩組成，如圖1所示。

圖1 固體發動機結構Fig.1 Structure of solid motor

應力釋放罩一般由包覆層材料成型，與推進劑因發生組分遷移和水解反應而較易脫粘［6］。若將包覆層視為彈性材料，則應力釋放罩/推進劑界面端為典型的彈性-粘彈性軸對稱界面端。

1.2 彈性-彈性界面端

當兩相彈性材料形成圖2所示的平面界面端時，O點附近的應力場具有以下分布特征［7］:

式中 r，θ為以 o點為原點的極坐標;Km為與結合角θ1和 θ2、材料常數及外載有關的應力強度系數;ωm和(θ)為應力奇異性指數和應力角分布函數;σ 為熱0載荷作用時附加的常應力項;N為奇異性指數的數目。

圖2 平面界面端Fig.2 Plane joint

式(1)中，應力強度系數K和應力奇異性指數ω是決定應力場應力水平的主要參數。應力強度系數K不能解析表達，一般由數值結果擬合獲得。應力奇異性指數ω僅與材料參數和結合角有關，一般由特征函數展開法［7］、Mellin 變換法［8］或復應力函數法［4］建立的如下特征方程解得22

式中 λ為方程的特征值;α和β為Dundurs參數;κ在平面應力時為(3-4ν)/(1+ν)，平面應變時為 3-4ν;Γ為剪切模量μ2/μ1之比;ν為泊松比;下標表示材料1、2，下同。

通常，特征方程(2)存在著多個特征根，當且僅當0＜Re(λm)＜1時(Re表示取實部)，界面端的應力場才具有奇異性，此時有

若特征方程只具有一個奇異特征值，對式(1)取對數，有

可見，在雙對數坐標下，應力與極徑呈線性關系，且應力奇異性指數為擬合直線的斜率。

1.3 彈性-粘彈性界面端

粘彈性材料的性能與時間相關，由其組成的界面端的應力奇異性指數ω必然也與時間相關。在理論上，求取應力奇異性指數時，需要借助于特征方程，而基于彈性-粘彈性對應原理，可直接由彈性-彈性界面端的特征方程變換獲得彈性-粘彈性界面端的特征方程。

為便于實施變換，將粘彈性材料的松弛模量簡化為

式中 μ2(0)、μ2(∞)分別為初始模量和持久模量;1/φ為松弛時間。

假定粘彈性材料的泊松比為常數，由對應原理可得［9］

1.4 軸對稱界面端的常應力項

研究表明，軸對稱界面端和對應平面應變界面端具有相同的應力奇異性指數［10］，但常應力項σ0不同。Munz［7］指出常應力項對奇異應力場的分布具有重要的影響，并給出了平面問題下的解析表達式。然而，對于圖3所示的軸對稱界面端，尚未查閱到有關常應力項的報道。

圖3 軸對稱界面模型Fig.3 Axisymmetric interface model

Blanchard和 Ghoniem［11］在研究平面界面端的奇異熱應力場時，提出了應變匹配模型，即奇異點處的應變在熱應力和常應力項的共同作用下相互匹配。可驗證，基于此模型可便捷地推導獲得文獻［7］中的常應力項［12］。因此，本文假定軸對稱界面端也符合應變匹配模型，在求得常應力項后，用數值方法進行驗證。

對于圖3中的軸對稱界面端，應變匹配模型假定，兩相材料在界面處光滑接觸，同時在內外表面受壓力P的作用。在溫度ΔT和壓力P的共同作用下，奇異點O′處徑向應變相等，且此時的壓力P就為界面端在溫度載荷作用時的常應力項。

依據彈性理論，軸對稱應力具有以下分布特征

式中 A、C為待定參數。

由應力邊界條件得

對圖3中的模型，取表1中的材料組合，分析其在ΔT=-103℃下O′點處徑向應力的分布。其中，ra、rb和 rc分別為 100、200、300 mm。

邊界修正的基本思路是對聚類邊界的稀疏網格單元做進一步劃分，考察其子單元是否滿足一定條件，將滿足條件的子單元合并到相鄰的稠密單元，補全聚類邊界。該方法針對CLIQUE算法采用固定寬度劃分的缺點，對所有位于聚類邊界的稀疏網格單元進行處理，將它們等分為2n個子單元，統計每個子單元中數據點的數量，判斷這些子單元的密度是否大于或等于給定的密度閾值且緊鄰于某一個稠密單元，如果條件成立，則將子單元合并到鄰近的稠密單元，否則不作處理。具體步驟如下：

表1 材料組合Table 1 Material combination

由特征方程求得的應力奇異性指數ω=-0.08，式(13)解得的常應力項σ0=-0.034 MPa。依據式(4)作圖4，圖中離散點為對數應力值，實線為擬合直線，下同。

圖4 界面應力分布Fig.4 Interfacial stress distribution

圖4給出了考慮和不考慮常應力項σ0時的應力分布曲線。由圖4可知，無σ0時擬合直線的斜率為-0.36，含 σ0時為-0.06，而理論值為-0.08?？梢?，考慮常應力項σ0時，式(1)能較好地表征界面端應力場的奇異特性，同時也說明，基于應變匹配模型獲得的軸對稱常應力項具有一定的準確度。

在彈性-粘彈性軸對稱界面端中，溫度載荷下的常應力項可依據對應性原理由式(13)求得，拉氏逆變換時，可采用近似的方法處理［13］。

2 應力釋放罩/推進劑界面端奇異指數研究

材料參數和結合角是影響界面端應力奇異性指數的兩大決定性因素，降低應力奇異性指數(應力集中程度)，需要從以上2個因素予以考慮。

2.1 材料參數的影響

應力釋放罩/推進劑界面端的初始結合角為84°/141°(見圖1)，此時奇異特征值的分布見圖5。

圖5 奇異特征值分布Fig.5 Singular eigenvalue distribution

由圖5可見，結合角為84°/141°時，在大部分材料組合下界面端應力存在著奇異性，且當α＜0.5時，奇異特征值隨β的增大而減小，應力奇異性增強，當α＞0.9時，奇異特征值隨著β的增大而減小。只有當α接近0.54時，奇異特征值約為0.99，應力奇異性基本消失，此時的材料組合為最佳組合。

根據廠家提供的材料數據以及應力釋放罩材料性能與推進劑相近的原則［14］，給出應力釋放罩/推進劑界面可能的材料組合范圍:?！蕖?0.1，10)且ν1∈(0.45，0.5)。其中，Γ0/?！?5，Γ0=μ2(0)/μ1，?！?μ2(∞)/μ1。此時，由式(6)和式(7)確定的 Dundurs參數的分布如圖6所示。

圖6 Dundurs參數的分布Fig.6 Dundurs parameters distribution

在圖6中，曲線的左右端點分別對應初始時刻t0與持久時刻 t∞。由圖6可知，當 Γ∞∈(0.1，10)時，α∈(-1，1)且 β∈(-0.09，0.003)，同時 α 和 β 均隨時間的增加而增大。泊松比ν1增大時，β絕對值有所增加，但即使 ν1=0.5 時，β 也不大于 0.004。因此，在應力釋放罩/推進劑界面可能的材料組合范圍內有α∈(-1，1)，且 β∈(-0.09，0.004)。此時，奇異特征值的分布見圖7。

圖7 應力釋放罩/推進劑界面端特征值的分布Fig.7 Eigenvalue distribution of cover/propellant joint

由圖7可見，在可能的組合范圍內(圖中陰影區域)，界面端在大部分材料組合下具有-0.35～-0.3的奇異性，少數組合下(α≈0.54)無奇異性或只有弱奇異性(弱奇異性指λ＞0.9)?？紤]到奇異性指數的時間相關性，可知84°/141°的界面端難以長久保持無奇異或弱奇異的應力狀態，應力集中的現象難以徹底消除，界面破壞的幾率依然較高。

2.2 結合角的影響

在應力釋放罩/推進劑界面端中，改變結合角θ2會影響發動機的裝藥量，故只調整結合角θ1。θ1增大時界面端趨于界面裂紋，應力奇異性增強，趨近于-0.5，θ1減小時，奇異特征值的變化見圖 8。

圖8 界面端奇異特征值分布Fig.8 Singular eigenvalue distribution of joint

圖8給出了結合角θ1為54°和39°時，奇異特征值的分布圖。由圖8可見，奇異特征值隨著θ1的減小而整體向第一象限移動。當θ1減小為39°時，第三象限無實特征值，第四象限的特征值幾乎不小于0.9。此時，復奇異特征值的分布如圖9所示。

圖9 39°/141°界面端特征值的分布Fig.9 Eigenvalue distribution of 39°/141°joint

由圖9可見，實特征值的分布與圖8(b)吻合，復特征值僅分布在第一象限。結合圖7知，在不改變發動機裝藥量的前提下，當θ1減小為39°，界面端自由邊呈平角時，在可能的材料組合下，界面端應力場在任意時刻至多具有-0.1的弱奇異性。當材料組合滿足α＜0時，界面端無奇異性。θ1繼續減小時，第四象限內的特征值繼續增大，應力奇異性繼續消除。但此時奇異性的微小變化對應力值的影響甚微。因此，認定平角界面端為最佳設計。

2.3 數值驗證

為了驗證上述結論，下文計算低溫-45℃環境中，84°/141°和 39°/141°設計下，應力釋放罩/推進劑界面端的奇異應力場。計算時采用子模型法，以獲取較為精確的應力值。在非直角軸對稱界面端模型中，采用應變匹配模型，求取溫度載荷下的常應力項存著困難，此處仍采用圖3中的模型對常應力項作近似處理。

相關幾何尺寸見表2，低溫-45℃下材料參數見表3。

表2 幾何參數Table 2 Geometry parameters

表3 材料參數Table 3 Material parameters

限于篇幅，文中僅給出t=3 000 s時，極坐標下界面前段正應力的分布，見圖10。

圖10 界面正應力分布Fig.10 Normal stress distribution on interface

由圖10可見，θ1分別為84°和39°時，界面端的最大拉應力分別為 0.31 MPa 和 0.1 MPa，84°界面端應力集中的程度明顯強于39°的界面端。此外，雖然在1＜L/H＜7(H=5mm)段，39°界面端的應力值高于 84°的界面端，但因奇異點(L=0)的應力在界面的破壞中占主要地位，39°界面端的設計仍優于84°的設計。

雙對數坐標下界面正應力的分布如圖11所示。

圖11 界面正應力分布Fig.11 Normal stress distribution on interface

由圖11可知，當結合角由84°減小為39°時，應力奇異性指數由-0.37 減小為-0.02，而理論值由-0.4減小為0，變化規律基本符合圖8。注意到在lg(L/H)=0處兩擬合直線相交，這表明結合角由84°減小為39°時，應力強度系數并未增大。此外，從圖10和圖11可看出，距界面奇異點約35 mm處，不同結合角下應力分布曲線相互重合，這說明結合角的變化對界面端以外區域(L≥35 mm)的應力場幾乎無影響。因此，有必要將應力釋放罩/推進劑的界面端設計為平角形式，而不必考慮其對遠場的不利影響。

3 結論

(1)基于應變匹配模型推導的常應力項具有一定的準確度，可用來描述溫度載荷下軸對稱界面端的奇異應力場。

(2)當應力釋放罩與推進劑材料相近時，界面端Dundurs參數 α∈(-1，1)，且 β∈(-0.09，0.003)。在84°/141°的原始設計下，界面端應力場存在著-0.3～-0.35 的奇異性。

(3)應力釋放罩的結合角減小至39°時，界面端應力場在任意時刻至多存在-0.1的弱奇異性，界面端應力集中的現象得以消除，界面應力破壞的幾率降低。

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(編輯:崔賢彬)

Study of singular stress fields around axisymmetric joints in solid motor

GU Zhi-xu，ZHENG Jian，PENG Wei，YIN Jun-hui
(Department of Artillery Engineering，Ordnance Engineering College，Shijiazhuang 050003，China)

Singular stress fields around axisymmetric elastic-viscoelastic joint under temperature loading in solid motor were studied for the purpose of interface protection.The singular exponent of elastic-viscoelastic axisymmetric joint was obtained from the eigenvalue equation of elastic-elastic joint based on the elastic-viscoelastic correspondence principle.The regular stress term of axisymmetric joint under temperature loading was deduced on the basis of the strain match model.Aimed at the original design of stress release cover/propellant joint，the effects of bonded material parameters and bonded angular on stress singular exponent were analyzed，and the weak singularity or without singularity design of joint was put forward on the condition that the charge will not be changed.Results show that there is one about-0.1 week singularity at most when the free edges of joint form a straight angle，the stress concentration level will be declined obviously.

solid motor;axisymmetric joint;singular stress fields;regular stress term

V438

A

1006-2793(2014)04-0510-06

10.7673/j.issn.1006-2793.2014.04.015

2013-09-29;

2013-10-22。

顧志旭(1988—)，男，碩士，研究方向為固體發動機結構完整性分析。E-mail:lemberry@163.com