一種埋入型PZT的三維等效機電阻抗模型
——第一部分:理論

左春愿，馮 新，周 晶

(大連理工大學 建設工程學部，遼寧 大連 116024)

機電阻抗(EMI)技術是近年來出現的一種智能結構健康監測技術，其基本原理是:結構固有屬性的改變引起結構機械阻抗變化，通過對結構機械阻抗的監測即可實現對結構固有屬性改變的探測。然而，結構機械阻抗往往難以直接獲得。EMI技術利用壓電材料的機電耦合效應，給埋入或粘貼于結構上的壓電陶瓷(PZT)施加高頻激勵，使結構產生高頻局部機械振動，這一振動通過壓電效應在PZT內產生電信號，然后通過測量分析PZT與結構耦合電阻抗來獲得結構的機械阻抗，實現對結構固有屬性的分析研究。EMI技術因對結構微小變化敏感、可隔離環境或遠程荷載、成本低等特點在結構健康監測和損傷探測中得到了越來越多的關注［1］。近年來，該技術被廣泛應用于各種類型結構的在線監測。Park等［2］利用EMI技術監測到砌體構件中的初始裂縫。Park等［3］采用EMI技術對管道結構進行損傷識別。Soh等［4］運用EMI技術對一個鋼筋混凝土橋梁進行監測，驗證了EMI技術能夠監測混凝土結構中初始損傷及損傷的發展情況。

PZT傳感元件與結構間的相互作用，是實現機電阻抗測量的基礎，也是傳感器設計以及測量信號分析的關鍵，因此PZT－結構的相互作用分析模型研究具有重要意義。目前，對智能結構體系進行動態響應分析的方法主要有三種，分別為靜力等效法、動力有限元法以及阻抗建模法。靜力等效法假定PZT與基體結構之間的相互作用是位于PZT端部的集中力，其與激勵頻率無關。通過PZT與結構的位移協調方程和靜力平衡方程求解該力，然后用該力求解結構的靜動力響應。對于PZT質量與剛度敏感的結構而言，該方法不能求得可靠的結果［5］。動力有限元法是數值求解中應用較為廣泛的一種，是結構動態響應分析的有效手段。但是其存在不足之處，例如，沒有反映PZT與結構相互作用的物理本質;為了滿足收斂性，在PZT周圍需要很精細的網格劃分，導致計算效率較低［5］。

阻抗模型分析法是PZT與結構相互作用分析研究中一類重要的方法，它具有物理意義明確、可獲得分析解答、計算效率高等特點，而成為當前國內外的研究熱點之一。阻抗模型分析法的基本原理為:PZT與基體結構相互作用是由PZT動態輸出特性Za(PZT的機械阻抗)與結構的動態特性Zs(結構的機械阻抗)決定的，其反映出PZT與基體結構相互作用的物理本質［5］。Liang等［6－7］首先從理論上建立了PZT與結構系統構成的單自由度彈簧－質量－阻尼系統(SMD)模型，推導出PZT與一維SMD系統的耦合電導納表達式，分析了結構機械阻抗的變化對耦合電導納的影響，并以懸臂梁為例進行了驗證。Zhou等［8］在PZT與一維SMD系統阻抗模型基礎上，建立了二維PZT與基體結構耦合的阻抗模型，得到了相應的耦合電導納表達式。Bhalla等［9－11］將 PZT 看作是無限小的，可忽略質量和剛度的有效驅動點，有效驅動點的阻抗稱為等效機械阻抗。等效機械阻抗的引入，簡化了PZT與基體結構的相互作用模型，并以此推導出了耦合電導納表達式。隨后利用該方法對一個航空結構構件的試驗模型進行了損傷診斷，證實了該方法的有效性。

對于大型混凝土結構，其內部情況復雜卻無法得知。因此，通過埋入混凝土結構內部的PZT傳感器來反映混凝土結構的動態響應，達到對混凝土結構內部變化的監測。由于一維與二維模型忽略了PZT縱向振動對相互作用的影響，不符合埋入型PZT傳感器的振動模態，因此建立三維PZT與結構耦合分析模型具有重要意義。Annamdas等［12－13］在同時考慮 PZT的縱向振動和橫向振動基礎上，建立了三維機電阻抗模型，并分析得到了總電導納方程。但是，所得到的方程式很復雜，無法明確體現PZT機械阻抗及結構機械阻抗對耦合電導納的影響，不便于實際應用，且在研究過程中忽略了壓電材料的各向異性。因此，本文在考慮壓電材料各向異性的基礎上，利用等效機械阻抗原理，建立了一種PZT傳感器與結構相互作用的三維等效機電阻抗模型，推導出三維PZT驅動系統的耦合電導納方程，這一方程明確體現了PZT等效機械阻抗Za，eff與結構等效機械阻抗Zs，eff對耦合電導納的貢獻。由此耦合電導納方程，得到自由PZT電導納理論值，并進行了自由狀態PZT的分析驗證。

1 結構的機械阻抗

一個穩定的線性振動系統，在簡諧交變力F(t)作用下所產生的穩態響應x(t)(位移、速度或加速度)，必定是同頻率的諧振動。但一般來說，響應總要滯后于激勵。結構機械阻抗定義為簡諧激勵與其所引起的穩態響應是復數比，其倒數稱為機械導納［14］。

按照機電比擬，機械量(力和速度)與電量(電壓和電流)可以相比擬，則一般所說的機械阻抗和機械導納，指的是速度阻抗和速度導納，即結構產生的穩態響應以速度形式來表示。

假設結構所受到的激振力為:

式中，Fo為激振力的幅值，ω為激振力的圓頻率。由此產生的穩態響應為:

式中，u·o速度響應的振幅，φ為速度響應的初相角。則該結構的機械阻抗Z，可以表示為:

式中，機械阻抗幅值為|Z|=Fo/u·o，相位角為 φ。

圖1 圓形PZT片幾何圖Fig.1 The geometry of the circular PZT patch

2 三維等效機電阻抗模型

在已有的機電阻抗模型分析中，一般假定PZT的振動是一維或二維的，對 PZT厚度有很大限制，并且忽略了縱向振動對結構動力響應的影響。因此，更準確的三維機電阻抗模型的建立具有重要意義。

2.1 圓形PZT片的基本方程

圖1所示為一圓形片狀壓電陶瓷，R、2h分別為其徑向半徑和軸向高度，極化方向沿其高度即Z軸方向，電極面垂直Z軸。在研究中，圓形PZT的幾何尺寸不加任何限制，關注徑向振動模式與縱向振動模式的耦合振動。考慮壓電材料的各向異性，存在以下關系式圓形PZT在柱面坐標中的壓電方程為［15－16］:

式中，λ =1 －ν12－ν13+n(ν33－2ν13)。

求解PZT運動方程，可以得到PZT徑向位移為:

同理，可以得到PZT縱向位移為:

對于有限尺寸壓電陶瓷圓片的耦合振動，在多模振動以及自由邊界條件下，可得其厚度及徑向的耦合振動頻率方程為［19］:

式中，R(j)為式(9)的根，它是 ν12的函數;i，j是正整數，對應PZT的各次振動模式。將波數κ1，κ2代入式(10)、(11)可以得到

根據式(12)、(13)可以消去與頻率相關項ω2，并結合 λ =1－ν12－ν13+n(ν33－2ν13)得到機械耦合系數n的方程式:

2.2 等效機械阻抗的定義

傳統阻抗模型將PZT與基體結構之間的連接看作一個特殊點，這一特殊點就是PZT的端點。然而，實際中PZT與基體結構的相互作用并不局限于該點上，而是遍布在PZT表面上。考慮到這一點，Bhalla等［10］提出了等效機械阻抗概念，即將PZT看作是無限小的，可忽略質量和剛度的有效驅動點，有效驅動點的阻抗稱為等效機械阻抗。并將其應用于分析二維等效阻抗模型。將其進行進一步擴展，可以得到三維等效阻抗模型。

圖2 埋入未知結構的PZT片的示意圖Fig.2 Host structure with embedded PZT patch

將有限大小的圓形PZT埋入基體結構中，如圖2所示。給PZT一個空間均勻的電場激勵，則PZT產生簡諧振動。PZT的半徑為R，厚度為2 h。PZT與結構之間的相互作用表現為邊界面上每平方f的牽引力，平面力在PZT中產生了位移。假定PZT與主體結構之間的相互作用力是沿整個邊界面傳遞的，同時PZT與主體結構相比是無限小的圓片，可以忽略其質量和剛度，可以得到有效驅動點的機械阻抗為:

2.3 基于等效阻抗的耦合電導納方程

埋入結構中PZT圓片受力情況如圖3所示，其半徑及厚度分別為R和2 h，上下端面涂滿電極，沿著其厚度方向極化，電場沿厚度方向施加。極化方向與所加電場的方向平行，那么，PZT的振動主要為伸縮振動，可以忽略剪切振動。得到PZT的速度和應變的關系為:

圖3 埋入型PZT圓片受力情況Fig.3 Force situation of embedded circular PZT patch

上式對時間求導，可以得到PZT片的等效速度表達式為:

由于PZT處于多維耦合振動狀態，那么在任何瞬間，PZT在徑向膨脹的同時在Z軸方向是收縮的。反之，其在徑向收縮那么在Z軸方向膨脹。為了簡化計算，假定存在以下關系:

將式(6)，(7)代入式(22)可以得到以下關系式:

通過式(15)可以計算得到PZT的等效機械阻抗為:

主體結構有效驅動點的等效力F可以通過下式表示:

式中，負號表示積極等效位移在PZT上產生了壓力。將式(16)，(17)，(18)，(19)以及 Ez=(Vo/2h)ejωt代入上式可以得到:

瞬時電流可以表示為通過某一截面的電量Q(t)對時間t的導數，則可以表示為:

將式(4)，(5)，(26)代入上式，并進行積分，r方向積分范圍為0到R，θ方向積分范圍為0到2π，電導納由電流與電壓的比值表示為:

這一方程明確體現了PZT等效機械阻抗Za，eff與結構等效機械阻抗Zs，eff對耦合電導納的影響。因此，由式(28)可以推導出結構等效機械阻抗Zs，eff，這使得從所測得的耦合電導納中提取結構機械阻抗成為可能。PZT與基體結構所組成的耦合結構體系中，PZT材料參數不變，則 Za，eff不變。那么基體結構等效機械阻抗Zs，eff的變化直接引起耦合電導納的變化。反之，耦合電導納的變化反映出基體結構的固有屬性發生了改變。

3 自由PZT電導納分析

前文基于等效阻抗的概念，得到了圓形PZT與結構耦合的電導納方程式。由式(28)可知，實測的耦合電導納包含了結構等效機械阻抗和PZT等效機械阻抗的貢獻。當已知PZT的幾何尺寸和基本參數時，耦合電導納只依賴于結構等效機械阻抗和PZT等效機械阻抗，因此PZT等效機械阻抗的精度直接影響結構等效機械阻抗的估計精度。但PZT等效機械阻抗無法通過實際測量得到，只能在已知PZT的幾何尺寸和材料參數情況下，通過式(24)進行計算。為精確地估計PZT的等效機械阻抗，PZT基本參數的精度是需要驗證的。

表1 PZT的基本參數Tab.1 Properties of PZT patch

已知PZT的基本參數，通過式(31)可以計算得到自由狀態下PZT的電導Gf和電納Bf。文中所采用的圓片狀PZT直徑為20 mm，厚度為2 mm，基本參數如表1所示。根據式(31)，可以得到頻率范圍為0－350 kHz時自由PZT電導曲線和電納曲線，如圖4所示。另外，自由PZT的電導納信號可以利用Agilent4294A精密阻抗分析儀來直接測得。圖4中所示的電導G與電納B即為實際測量的頻率范圍為0－350 kHz時自由PZT電導納信號。

圖4 自由PZT電導納信號實測值與理論值Fig.4 Comparison between experimental and theoretical signals of PZT patch in free－free condition

圖4 中描述的是，頻率范圍為0－350 kHz時自由PZT電導納信號實測值(G，B)與理論值(Gf，Bf)的對比。通過對比可以看出，自由PZT電導納理論值與實測值曲線形狀相似。理論上的共振頻率和實測值很接近，理論值大于實測值，第一個共振頻率點比第二個共振頻率點吻合性更好。總體來說，自由PZT電導納理論分析值與實測值具有較好的一致性。研究發現理論值與實測值存在一定誤差。這說明了受生產工藝以及PZT與導線焊接過程中高溫的影響，生產廠家提供的部分PZT參數并不可靠。因此，需要利用實測的耦合電導納信號，通過自由PZT電導納方程式，來計算出更精確的PZT相關參數值，并用計算的參數來估計PZT等效機械阻抗。最終，利用式(28)得到較為精確的結構等效機械阻抗。

4 結論

本文第一部分首先基于PZT三維耦合振動的原理，建立了埋入型PZT傳感器與結構相互作用的三維等效機電阻抗模型。然后通過引入等效機械阻抗的概念，得到PZT與結構耦合電導納方程，該方程描述了耦合電導納與結構機械阻抗的關系。利用耦合電導納方程，得到自由PZT電導納理論值，并進行了自由狀態PZT的分析驗證。三維等效機電阻抗模型的提出，使PZT厚度不受限制，提高了試驗的成功率;并且考慮PZT的多維耦合振動對結構動力響應的影響，使分析更加貼近實際。同時，PZT不再局限粘貼于結構表面，結構內部的變化也能得到監測，擴大了EMI技術的使用范圍。本文第二部分提出應用EMI技術監測結構固有屬性的改進方法。該方法通過耦合電導納方程，提取結構機械導納。利用得到的結構機械導納，來監測結構固有屬性。

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