基于相關原理的相位差測量改進算法及應用

沈廷鰲，涂亞慶，李 明，張海濤

(后勤工程學院 信息工程系，重慶 401311)

相位差的測量在故障診斷、測試控制、電力電子、導航定位、通訊、雷達等領域有著重要且廣泛的應用。例如，在高精度的雷達精密定位上，依賴于對同頻信號相位差的高精度測量［1］;電網電能計量中功率因素的確定，涉及到相應電壓與電流間相位差的準確測量［2］;在高精度流量測量領域得到廣泛應用的科氏流量計，相位差的測量精度直接影響流體質量測量精度［3］。因此，實現對相位差的高精度測量顯得尤其重要。

目前，相位差的測量方法很多，其中頻譜分析法［4－6］和相關分析法［7－11］是應用和研究較多的兩種方法。頻譜分析法是利用傅里葉變換將時域信號變換到頻域再進行處理，算法要求同步采樣，在非同步采樣的條件下，為提高測量精度，通常采用加窗或插值的辦法來減小頻譜泄露的影響，算法計算量較大，不適用于對測量實時性要求較高的場合。相關分析法有著良好的噪聲抑制能力，在整周期采樣條件下可實現相位差的準確測量，但在非整周期采樣條件下測量精度還有待提高。為提高相位差的測量精度，相繼出現了多種基于相關原理的相位差測量新算法或改進算法［8－9］。例如，采用插值法修正相關函數的積分區間將非整周期采樣轉化為整周期采樣;采用多重互相關的方法等。這些方法存在計算量較大，不利于動態相位測量，且無法完全消除非整周期采樣對測量結果帶來誤差的影響。

文獻［10］提出了一種雙相關法，利用一路輸入信號產生具有90°相移的參考信號，然后將這兩路信號分別與另一路輸入信號進行相關運算，從而可計算得到原兩路輸入信號的相位差。然而，雙相關法并未消除非整周期采樣對相位差測量精度的影響。受其思想的啟發，本文從相關法的基本原理出發，通過引入與原兩路同頻輸入信號具有90°相移的兩路參考信號，提出了一種與采樣是否整周期無關的相位差測量改進算法，打破了相位測量中相關長度的選取受整周期條件的限制。給出了算法原理及實現步驟，并對相關法、雙相關法和本文算法在不同信噪比和不同信號長度的條件下，分別進行了仿真比較和實驗驗證，以說明本文算法的有效性。

1 相關原理分析

1.1 測量原理

設兩路同頻信號分別為

式(1)中，A、B、θ1、θ2分別為兩路信號的幅值和初相位;N1(t)、N2(t)分別為疊加在兩路信號上的噪聲。根據相關函數的定義，由于信號與噪聲、噪聲與噪聲之間互不相關，對兩路信號進行相關運算可得

式(3)即為相關法的相位差計算公式。

1.2 誤差分析

前述相關法計算相位差的討論都是基于積分區間為整周期的前提下進行的，然而實際中該條件不一定成立。當積分區間不為整周期時，相位差的計算存在誤差。假定積分區間為(0，kT+ΔT)，進行相關運算可得

推導過程中利用了信號與噪聲、噪聲與噪聲之間互不相關的特性，利用了三角和差公式以及kT為周期的特性。由式(4)可以看出，相關計算的積分區間不為整周期時，存在誤差項為

由式(5)可以看出，ΔT決定著信號的振幅，相關計算的積分區間為整周期時，即ΔT=0時，才不存在誤差項 ε(ΔT)。

對應數字化信號的相關計算，離散表示為

由式(9)－(11)可以看出，當相關長度N為整周期時，式(9)－(11)中的后一部分均為0，代入相關法的相位差計算公式(3)可準確得到相位差;當相關長度N不為整周期時，式(9)－(11)中的后一部分均不為0，即存在誤差，代入相關法的相位差計算公式(3)會產生較大誤差，進而說明在非整周期采樣情況下，相關法存在測量精度較差的問題。

2 改進算法

2.1 基本思想

相關法計算相位的誤差主要取決于相關長度的選取，算法要求相關長度與信號的整周期相匹配，如果相關長度偏離整周期，就會造成一定的誤差;另外，一般用相關法計算相位時，用總采樣點數作為相關長度來計算信號的相位差，相關長度取得過大，就無法用于動態相位的檢測。為提高相關法在非整周期采樣情況下的相位差測量精度，打破相位測量中相關計算長度需與整周期相匹配這一限制條件，使算法在任意相關長度都具有較高的測量精度，以增強算法的動態特性、魯棒性和普適性，本文利用相關原理對原有算法進行了改進。該算法利用原兩路同頻信號產生具有90°相移的兩個參考信號，然后將四路信號經過零相位濾波器以增強信噪比，再將原兩路信號分別與兩個參考信號進行相關計算，并利用相關和正弦函數的一些性質，即可求得原兩路信號的相位差，其原理框圖如圖1所示。

“我們的策略就是熬，有風險的產品不敢碰，高投入的行業都不做?！睆埲A說，公司處于半停半開的狀態，有了流動資金才敢考慮開工投入下一批項目。

圖1 本文算法的原理框圖Fig.1 The principle chart of the proposed algorithm

2.2 實現步驟

根據上述算法基本思想及原理框圖，算法的具體實現過程如下。

設離散后的原兩路同頻信號為

將四路信號分別通過零相位濾波器FRR或RRF。FRR的濾波方法是:先將輸入序列按順序濾波(forward filter)，然后將所得結果逆轉后反向通過濾波器(reverse filter)，再將所得結果逆轉后輸出(reverse output)，即可得精確零相位失真的輸出序列;RRF的濾波方法是:先將輸入信號序列反轉后通過濾波器(reverse filter)，然后將所得結果逆轉后再次通過濾波器(reverse filter)，這樣所得結果(forward output)即為精確零相位失真的輸出序列，具體設計可參考文獻［12－13］。采用零相位濾波器，避免了常規濾波器引起的相位失真問題，同時也提高了信噪比，增強了抗噪性。

對濾波后的 x(n)、y(n)、x'(n)、y'(n)分別進行相關運算，得

需要指出的是，文獻［10］中所提雙相關法的相位差計算公式為

由式(15)－(16)可以看出，雙相關法并未消除非整周期采樣對相位差測量精度的影響。

根據式(15)－(18)可得

式(22)即為本文所提改進算法的相位差計算公式。與傳統相關法相比，本文算法無需計算信號的幅度值A和B，從而避免了計算幅度值所引入的誤差，進而提高了相關算法的測量精度。同時，本文算法充分利用了原兩路信號與兩路參考信號的相關關系，所得的結果是無偏的，且不受選取相關長度N的影響，使算法更具魯棒性、動態性和普適性。此外，由相位差計算公式(22)可以看出，本文算法具有無需預先知道信號頻率的特點。

需要指出的是，對于兩路參考信號的獲取，若信號頻率已知，準確實現90°的相移比較簡單(可參考文獻［14］)，從而可較易得到兩路參考信號;若信號頻率未知，可先通過陷波器或者離散頻譜校正的方法獲取信號頻率，再實現90°的相移來得到兩路參考信號，也可先對信號進行濾波，再進行希爾伯特變換實現90°的相移來得到兩路參考信號。無論頻率已知或者未知，均可準確得到兩路參考信號，再運用本文所提算法即可實現相位差的高精度測量。

3 實驗驗證及分析

為驗證本文所提算法的有效性，利用Matlab軟件分別對相關法、雙相關法、本文算法進行了比較分析。假設兩正弦信號序列為

其中，信號頻率為100 Hz，采樣頻率為1 500 Hz。

3.1 在不同信噪比條件下的對比實驗

為比較相關法、雙相關法和本文算法在不同信噪比條件下的相位差測量精度，分別對三種算法在相關長度為非整周期(N=10)和相關長度為整周期(N=30)兩種情況下進行了100次獨立仿真實驗，每次實驗所包含的噪聲均為隨機的加性高斯白噪聲，信噪比SNR在0 dB到50 dB之間變化，仿真結果如圖2所示。

從圖2可以看出，三種算法的相位差均方根誤差隨信噪比的增大，呈現出逐漸減小的趨勢，且在25 dB之后性能趨于平穩，說明三種算法均具有一定的抗噪能力。相關法和雙相關法在相關長度為整周期時，算法測量精度接近本文算法測量精度，但在相關長度為非整周期時，其測量誤差較大。與相關法和雙相關法相比，本文算法不受相關長度是否整周期的影響，均保持著較高的測量精度，且具有比相關法和雙相關法更好的抗噪性能。

3.2 在不同相關長度N條件下的對比實驗

在采樣頻率不變的情況下，如果信號頻率波動就不能保證采樣頻率一直是信號頻率的整數倍關系，從而無法滿足整周期采樣條件，相關長度也無法始終保持與整周期相匹配，進而影響相位差測量精度。由此可以得出，相關長度N直接影響到相位差的測量精度。為便于比較分析，分別在信噪比為5 dB和信噪比為30 dB兩種情況下進行了100次獨立仿真實驗，每次實驗所包含的噪聲均為隨機的加性高斯白噪聲，相關長度N在10到40之間變化，仿真結果如圖3所示。

圖3 不同相關長度條件下相位差均方根誤差的比較Fig.3 RMSE comparison with different signal length

從圖3可以看出，在信噪比較低條件下，增加相關長度N可改善相位差測量精度，本文算法始終保持著比相關法和雙相關法更高的測量精度。在信噪比較高條件下，相關法和雙相關法的相位差均方根誤差曲線呈現震蕩趨勢，說明與相關長度的選取有關，兩種算法要求相關長度與信號整周期相匹配;而本文算法的均方根誤差趨為一條直線，說明本文算法在整周期采樣和非整周期采樣情況下都具有較高的測量精度。本文算法提高了非整周期采樣情況下的相位差測量精度，打破原有算法相位測量中相關長度需與整周期相匹配這一限制條件，本文算法更具魯棒性和普適性。由于本文算法不受相關長度條件的制約，因此可選取較小的相關長度實現動態相位的測量。需特別指出的是，經多次仿真實驗證實，本文算法在較高信噪比條件下，相關長度N選取兩到五之間任意點數就可實現相位差的準確測量，從而解決了傳統相關算法不利于動態相位測量和動態相位測量精度較差的問題。

3.3 工程應用

為進一步驗證本文所提算法的有效性，利用圖4所示的科氏流量計實驗平臺進行實驗驗證。對科氏流量計的信號進行處理，關鍵在于能夠準確地測量出兩個傳感器輸出信號的頻率和相位差。通過頻率和相位差計算出時間差，進而計算出質量流量，如式(23)所示。

其中，k=Ks/8r2為流量系數，由測量管結構與材料確定;時間差Δt可由信號頻率和相位差計算得到。由上式可以看出，時間差(相位差)測量的準確性直接影響流量測量精度。

圖4 科氏流量計實驗平臺示意圖Fig.4 Experimental platform of Coriolis mass flowmeter

實際應用中因流體特性和流量狀態不同，科氏流量計信號頻率呈現出時變特性，首先采用自適應陷波器對信號頻率進行實時跟蹤估計，然后采用本文算法測量相位差，進而計算出時間差。流量計振動信號的頻率約為146 Hz，采樣頻率為10 kHz，由于現有技術條件的限制，無法得到每點的實際相位差和時間差值，本文通過分析質量流量與時間差的相關性來驗證算法的有效性。

表1 不同流量下的頻率、相位差和時間差估計值Tab.1 The estimated frequency，phase and time delays under different flowrates

圖5 時間差與質量流量的關系Fig.5 The relation of the time delays and the massflowrates

表1為6種不同平穩流量情況下采用本文算法估計得到的頻率、相位差和時間差估計均值。將所求得的時間差和質量流量數值輸入計算機，采用Excel繪制圖形并求出線性回歸方程如圖5所示。由圖5可以看出，質量流量與時間差相關性顯著，從而驗證本文算法在工程應用中是實用有效的，同時，也說明本文算法在頻率波動情況下也可準確實現動態相位的測量。

4 結論

針對相關法存在非整周期采樣情況下測量精度較差、不利于動態相位測量等問題，本文從相關法的基本原理出發，提出了一種與采樣是否整周期無關的相位差測量改進算法，給出了算法的基本思想和實現步驟，并進行了仿真比較和實驗驗證。結果表明:本文算法測量精度更高、抗噪性能更強;相位差測量過程中相關長度的選取不受整周期條件的限制，選取較小的相關長度也可準確求得相位差，可用于動態相位的測量;算法無需預知信號頻率，普適性更好;實際工程應用也證實了本文算法的有效性。

［1］吳靜，趙偉.適用于非同步采樣的相位差準確測量方法［J］.電網技術，2006，30(7):73－76.WU Jing，ZHAO Wei.A new accurate measuring method of phase difference suitable for asynchronous sampling［J］.Power System Technology，2006，30(7):73－76.

［2］鄭勝峰，陳素明，狄金海，等.一種基于多重互相關的相位差測量新方法［J］.宇航計測技術，2012，32(1):34－40.ZHENG Sheng-feng，CHEN Su-ming，DI Jin-hai，et al.Phase diference measurement of sinusoidal signal based on multi-layer cross-correlation ［J］.Journal of Astronautic Metrology and Measurement，2012，32(1):34 －40.

［3］張海濤，涂亞慶.基于DTFT的一種低頻振動信號相位差測量新方法［J］.振動工程學報，2007，20(2):180－184.ZHANG Hai-tao， TU Ya-qing. A new phase difference measurement method for low-frequency vibration signals based on DTFT［J］.Journal of Vibration Engineering，2007，20(2):180－184.

［4］江亞群，何怡剛.基于加窗DFT的相位差高精度測量算法［J］.電路與系統學報，2005，10(2):112－116.JIANG Ya-qun， HE Yi-gang. New algorithm for highaccuracy phase difference measurement based on windowed DFT［J］.Journal of Circuits and Systems，2005，10(2):112－116.

［5］陳孔陽.一種基于改進DFT算法的相位差測量研究［J］.微計算機信息，2012，28(4):142－144.CHEN Kong-yang.A research on phase difference measurement based on improved DFT algorithm ［J］.Microcomputer Information，2012，28(4):142－144.

［6］張海濤，涂亞慶.計及負頻率影響的科里奧利質量流量計信號處理方法［J］.儀器儀表學報，2007，28(3):539－544.ZHANG Hai-tao，TU Ya-qing.New signal processing method with negative frequency contribution for Coriolis mass flowmeter［J］.Chinese Journal of Scientific Instrument，2007，28(3):539－544.

［7］劉燦濤，趙偉，袁俊.基于數字相關原理的相位差測量新方法［J］.計量學報，2002，23(3):219－223.LIU Can-tao，ZHAO Wei，YUAN Jun.A new method for phase difference measurement based on digital correlation theory［J］.Acta Metrologica Sinica，2002，23(3):219－223.

［8］楊艾兵，張錫恩，郭利.相關原理在測試領域的應用分析［J］.科學技術與工程，2007，7(13):3249－3251.YANG Ai-bing， ZHANG Xi-en， GUO Li. Analysis of correlation theory applied in testing area［J］.Science Technology and Engineering，2007，7(13):3249 －3251.

［9］楊俊，武奇生，孫宏琦.基于相關法的相位差檢測方法在科氏質量流量計中的應用研究［J］.傳感技術學報，2007，20(1):138－145.YANG Jun，WU Qi-sheng，SUN Hong-qi.Study on using correlation to detect phase difference in coriolis flow meter［J］.Chinese Journal of Sensors and Actuators，2007，20(1):138－145.

［10］李建民，趙鵬，侯文，等.基于相關理論的相位差算法的誤差研究［J］.中北大學學報(自然科學版)，2009，30(6):616－619.LI Jian-ming，ZHAO Peng，HOU Wen，et al.Research on error of phase difference algorithm based on correlation theory［J］.Journal of North University of China(Natural Science Edition)，2009，30(6):616－619.

［11］肖樹妹，梅海平，錢仙妹，等.大氣湍流隨機相位差的相關解調算法研究［J］.光學學報，2011，31(2):11－15.XIAO Shu-mei， MEI Hai-ping， QIAN Xian-mei， et al.Atmospheric turbulence random phase difference with the demodulating algorithm of correlation［J］.Acta Optica Sinica，2011，31(2):11－15.

［12］紀躍波，秦樹人，湯寶平.零相位數字濾波器［J］.重慶大學學報(自然科學版)，2000，23(6):4－7.JI Yue-bo，QIN Shu-ren，TANG Bao-ping.Digital filtering with zero phase error［J］.Journal of Chongqing University(Natural Science Edition)，2000，23(6):4－7.

［13］吳國喬，王兆華.基于全相位的零相位數字濾波器的設計方法［J］.電子與信息學報，2007，29(3):574－577.WU Guo-qiao，WANG Zhao-hua.Design method of digital filter with zero-phase based on all phase［J］.Journal of Electronics＆ Information Technology，2007，29(3):574－577.

［14］ Maskell D L，Woods G S.The discrete-time quadrature subsample estimation of delay［J］.IEEE Transaction on Instrumentation and Measurement， 2002， 51(1):133－137.