邊界阻尼力對(duì)復(fù)合材料層合板主參激共振的影響

蘭向軍，馮志華，朱曉東

(蘇州大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，蘇州 215021)

復(fù)合材料所具有的優(yōu)越性，使得對(duì)其非線性動(dòng)力行為的研究，無論是理論深入還是實(shí)際應(yīng)用，都具有非常重要的意義。

早期主要針對(duì)簡(jiǎn)支矩形層合板的動(dòng)力穩(wěn)定性進(jìn)行研究，通過分析Mathieu方程確定失穩(wěn)臨界條件［1］或采用樣條有限元方法確定不穩(wěn)定區(qū)域［2］，雖處理方便，但方程以線性形式出現(xiàn)，沒有涉及橫向剪切及各種非線性因素的影響，因此，橫向剪切等因素在分析中不可忽略［3］。Zhou 等［4－7］對(duì)作為線彈性復(fù)合材料結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行了系統(tǒng)的參數(shù)共振研究。周承倜等［8］從基本方程表現(xiàn)形式、大撓度和材料非線性、慣性力、耦合效應(yīng)、橫向剪切效應(yīng)、幾何初始缺陷等著手，討論了這些因素對(duì)復(fù)合材料層合板非線性穩(wěn)定性理論的影響。從內(nèi)容延伸看，王列東等［9］考慮了初始缺陷和拉－彎耦合效應(yīng)，對(duì)層合板的非線性動(dòng)力穩(wěn)定性進(jìn)行了研究;黃再興等［10］考慮剪切非線性因素，討論了1/2亞諧共振時(shí)層合板的各種可能的分岔行為。Cederbaum等［11－12］考慮了包含物理非線性時(shí)，對(duì)稱十字鋪設(shè)矩形層合板的參數(shù)共振問題，且具體分別采用CPT、FSDT、HSDT三種理論進(jìn)行了分析，并分析了系統(tǒng)的失穩(wěn)條件。Aditi等［13］采用高階剪切理論，在考慮剪切及轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)因素下，結(jié)合有限元法，就固有頻率及臨界屈曲載荷與FSDT進(jìn)行了比較，并用一階、二階近似法獲得了不穩(wěn)定區(qū)域。類似地，Ganapathi等［14］也采用精確高階理論，結(jié)合板單元法，對(duì)厚層合板的非線性動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了分析與比較。高美娟等［15］將研究對(duì)象延伸到了壓電復(fù)合材料層合矩形板，研究了壓電復(fù)合材料層合板在面內(nèi)載荷、橫向載荷、壓電激勵(lì)的聯(lián)合作用下的高維混沌動(dòng)力學(xué)問題。葉敏等［16－17］對(duì)正交對(duì)稱鋪設(shè)的復(fù)合材料層合板在參數(shù)激勵(lì)作用下的非線性振動(dòng)和混沌運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了較深入的研究。彭凡等［18］研究了對(duì)稱正交粘彈性層合板殼的動(dòng)力穩(wěn)定性問題。馮世寧等［19］則基于高階剪切理論，對(duì)層合板非線性動(dòng)力穩(wěn)定性進(jìn)行了深入研究。郭祥鷹等［20］基于高階剪切理論，研究了四邊簡(jiǎn)支復(fù)合材料層合板在主參數(shù)共振與1∶1內(nèi)共振聯(lián)合作用下系統(tǒng)的混沌運(yùn)動(dòng)。王戰(zhàn)璽等［21］則將特征向量定位法應(yīng)用到復(fù)合材料的顫振與模態(tài)交叉分析上，實(shí)現(xiàn)了模態(tài)的實(shí)時(shí)跟蹤。

在電子貼片、電子封裝、線路板檢測(cè)等現(xiàn)代電子制造、測(cè)試裝備中，大量存在著多層材料組成的電(線)路板在流水線上由液壓/氣動(dòng)元件夾持或(輔助)定位，形成了板式結(jié)構(gòu)邊界含彈簧、質(zhì)量、阻尼、摩擦等多參數(shù)的復(fù)雜邊界條件。作為初步研究，本文僅考慮邊界阻尼的存在，基于文獻(xiàn)［16－17］建模思路，較詳細(xì)地研究了邊界阻尼力對(duì)確定性激勵(lì)/窄帶隨機(jī)激勵(lì)下參激共振時(shí)四邊鉸支同材質(zhì)的單層對(duì)稱鋪設(shè)正交各向異性矩形層合薄板動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。

1 動(dòng)力學(xué)模型建立與確定性激勵(lì)

考慮等同材質(zhì)的單層對(duì)稱鋪設(shè)正交各向異性矩形層合板，板層數(shù)為n，長(zhǎng)、寬、厚分別為a，b及h，材料主方向與矩形板軸向一致，面內(nèi)受載荷作用如圖1所示。u，v，w 分別代表板中面點(diǎn)沿 x，y，z方向位移，參考文獻(xiàn)［16－17］，設(shè)在x=a處沿y向分布激勵(lì)力N=－(N0+N1cosΩτ)，其中 N0、N1分別為靜態(tài)及簡(jiǎn)諧力幅值，并僅考慮x=a處沿y方向存在均勻分布的非線性阻尼力Tx。

根據(jù)經(jīng)典層合薄板理論，其位移場(chǎng)為

式中()分別代表板內(nèi)任意點(diǎn)沿x、y、z方向位移。根據(jù)von Kármán非線性形變理論，板中面某點(diǎn)應(yīng)變分量(εxx，εyy，γxy)及(χxx，χyy，χxy)為

圖1 正交鋪設(shè)對(duì)稱復(fù)合材料層合板受力模型Fig.1 Configuration of a simply supported rectangular symmetric cross－ply laminated composite plate

板內(nèi)力－彎矩－曲率關(guān)系為

式中 Nxx、Nyy、Nxy為法向及切向應(yīng)力分量，Mxx、Myy、Mxy為彎(扭)矩分量，Aij、Dij為拉伸、彎曲剛度。而第 k(k=1，2，…n)層板拉伸、彎曲剛度系數(shù)為

上述層合板面內(nèi)、面外非線性動(dòng)力學(xué)方程可用下式表達(dá)為

式中ρ為板密度，ξ為線性黏性阻尼。

類似文［16－17］，設(shè)邊界x=a處存在沿y方向均布的阻尼系數(shù)為k的阻尼力Tx，其對(duì)應(yīng)的耗散函數(shù)D為

則阻尼力Tx可表達(dá)為

式中q為速度。上述板的邊界條件可用下式表達(dá)為

在x=0處:

為分析橫向振動(dòng)響應(yīng)，取線性振動(dòng)的振型函數(shù)作為基函數(shù)，形成下列表達(dá)式為

式中m，n分別為沿x，y方向所取模態(tài)數(shù)。

現(xiàn)研究?jī)H限單模態(tài)主參激共振響應(yīng)，如第(m，n)階模態(tài)，且假設(shè)系統(tǒng)任意兩模態(tài)間不存在內(nèi)共振，故在上述w表達(dá)式中所呈現(xiàn)的其它模態(tài)既無直接激勵(lì)(主參激共振)，又無間接激勵(lì)(內(nèi)共振)。由于阻尼的存在，這些模態(tài)最終將對(duì)系統(tǒng)橫向振動(dòng)的長(zhǎng)期動(dòng)力學(xué)行為不起作用。因此，橫向振動(dòng)的最終近似表達(dá)形式形如

式中T0=t體現(xiàn)快時(shí)變特征，T1=εt呈現(xiàn)慢時(shí)變特點(diǎn)。

記 D0=/T0及 D1=/T1，則式(24)的常微分形式可以不同時(shí)間尺度的偏微分形式表示為

引入頻率調(diào)諧因子σ以表征主參激共振的頻率接近程度，有

將式(25～27)代入式(24)，并令方程兩邊ε的各冪次項(xiàng)系數(shù)相等，有

表1顯示當(dāng)N0=0時(shí)層合薄板的前幾階固有頻率fmn值。

表1 層合薄板前幾階模態(tài)固有頻率f mn/(Hz)Tab.1 Natural frequencies f mn(Hz)of the composite plate

為了進(jìn)一步研究非線性系數(shù)εβ(與阻尼系數(shù)k成線性關(guān)系)對(duì)幅頻特性的影響，以第(2，1)階模態(tài)為分析對(duì)象，在其它參數(shù)不變情況下，改變系數(shù)k的數(shù)值，獲得的結(jié)果見圖2所示。從圖2可以看出，針對(duì)不同的阻尼系數(shù)k，對(duì)應(yīng)的幅頻特性曲線中的平凡響應(yīng)不穩(wěn)定區(qū)間的帶寬始終不變，這也從另一個(gè)角度說明帶寬只與線性阻尼ζε及激勵(lì)幅值εf有關(guān)，與非線性系數(shù)εβ無關(guān)。隨著k的不斷增大，同等激勵(lì)幅值下非平凡響應(yīng)參激主共振區(qū)間不斷變窄，幅值也不斷減小。

圖2 第(2，1)階模態(tài)主參激共振幅頻特性隨阻尼系數(shù)k變化曲線Fig.2 Frenquency-amplitude response variations of the(2，1)th model of the plate with the damping coefficient k

2 窄帶隨機(jī)激勵(lì)

事實(shí)上，純確定性激勵(lì)的激勵(lì)源在技術(shù)上的保障并非易事，即使是振動(dòng)臺(tái)所產(chǎn)生的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，由于受設(shè)備軟、硬器件性能、電源參數(shù)、環(huán)境等因素影響，振動(dòng)臺(tái)面靜態(tài)位置、激勵(lì)頻率、激勵(lì)幅值等也會(huì)出現(xiàn)微弱變化，形成激勵(lì)的隨機(jī)性。因此，現(xiàn)以具有隨機(jī)頻率與相位的簡(jiǎn)諧激勵(lì)－有界噪聲［25］作為本文的窄帶隨機(jī)激勵(lì)源，用于研究受窄帶隨機(jī)激勵(lì)層合板的非線性動(dòng)力行為。有界噪聲的表達(dá)形式為

式中a與B為幅值與中心頻率，γ≥0為一強(qiáng)度值，代表隨機(jī)激勵(lì)的帶寬，W(τ)為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程，φ為在［0，2π］均布隨機(jī)數(shù)。φ的加入使ξ(τ)成為一平穩(wěn)隨機(jī)過程，當(dāng)γ為大值時(shí)，ξ(τ)為寬帶隨機(jī)噪聲，而當(dāng)γ為小值時(shí)，ξ(τ)為窄帶隨機(jī)噪聲。

類似文獻(xiàn)［24］，將式(35)代入式(24)并采用多尺度法，同時(shí)考慮到單位Wiener過程W(t)特性E［W(t)］=0 及 E［W2(t)］=t，有

由于式(37b)包含耦合項(xiàng)aD1η，由式(37)直接導(dǎo)出的It和FPK方程將難于包含平穩(wěn)平凡響應(yīng)。為了克服隨機(jī)跳躍與分岔在平穩(wěn)的平凡與非平凡解間變化的問題，采用如下直角坐標(biāo)變換形式

并代入式(37)，有

式(40)表述一二維擴(kuò)散過程。對(duì)于式(40)的It方程，要計(jì)算其響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性，較為便利的方法即為計(jì)算與其相對(duì)應(yīng)的FPK方程，通過系統(tǒng)參量概率密度的變化，得出系統(tǒng)擴(kuò)散過程的轉(zhuǎn)遷特性。根據(jù)文獻(xiàn)［25］，與式(40)一致的FPK方程為

式中 p=p(x，y，T1|x0，y0)為兩位維參量 x、y(直接反映響應(yīng)幅值參量a)的轉(zhuǎn)遷概率密度。

式(41)代表的FPK方程初始條件為

圖3為N1=1 300 N/m激勵(lì)幅值所對(duì)應(yīng)不同帶寬下窄帶隨機(jī)噪聲ξ(τ)的功率譜密度函數(shù)，從圖中可以發(fā)現(xiàn)，即使帶寬值γ=0.05，隨機(jī)噪聲ξ(τ)還是呈現(xiàn)非常窄的窄帶隨機(jī)特性。

圖4為圖2基礎(chǔ)上對(duì)阻尼系數(shù)k從0到300間小值變化所得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅頻特性曲線，從圖4(a)中可見幾組曲線重疊，表明k的小值變化幾乎不影響確定性激勵(lì)下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，圖4(b)為圖4(a)在B=2.019、a21=0.279 4鄰域的局部放大圖，也可發(fā)現(xiàn)k的小值變化對(duì)a21值改變極小。但當(dāng)激勵(lì)為窄帶隨機(jī)時(shí)，情況就大不一樣。

圖3 第(2，1)階模態(tài)隨機(jī)激勵(lì)ξ(t)的功率譜密度函數(shù)Fig.3 Power spectral density of the(2，1)th modal random excitationξ(t)

圖4 阻尼系數(shù)k小值變化下第(2，1)階模態(tài)主參激共振幅－頻特性Fig.4 Frenquency-amplitude response variations of the(2，1)th model of the plate with the damping coefficient k

圖5 為依式(41)進(jìn)行有限差分法當(dāng)B=2.019、γ=0.010時(shí)所得響應(yīng)幅值穩(wěn)態(tài)概率密度變化圖(數(shù)值分析觀察表明，網(wǎng)格數(shù)達(dá)55×55已趨于收斂，兼顧精度、計(jì)算容量與計(jì)算速度，本文計(jì)算網(wǎng)格劃分為60×60)，圖中中心火山口峰代表系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)圍繞a21=0(平凡解支)的概率分布，而外圍扇形峰則顯示系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)圍繞a21=0.279 4鄰域(非平凡解支)的概率強(qiáng)弱。當(dāng)k=0時(shí)，從圖5(a)可發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)主體分兩部分，一部分繞非平凡解支運(yùn)動(dòng)，另一部分繞平凡解支運(yùn)動(dòng);當(dāng)k增加至10時(shí)，圖5(b)顯示外圍扇形峰稍有減小，表示系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)繞非平凡解支的運(yùn)動(dòng)減弱，而跳向繞平凡解支運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)度略有增加;k的進(jìn)一步小幅增加(見圖5(c)、(d))顯示這種從非平凡解支跳向平凡解支運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)更加明顯;當(dāng)k=300時(shí)，雖然其增量很小，但圖5(e)表示此時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幾乎都是圍繞平凡解支進(jìn)行，表明系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)完成了從一個(gè)響應(yīng)狀態(tài)向另一個(gè)響應(yīng)狀態(tài)的跳躍，此時(shí)系統(tǒng)的共振響應(yīng)幅值已被基本遏制。Fang等［26］已進(jìn)行了類似式(41)所得結(jié)果與直接數(shù)值仿真間的檢驗(yàn)驗(yàn)證，兩者間取得了較好的一致性。

圖5 第(2，1)階模態(tài)平穩(wěn)聯(lián)合概率密度隨阻尼系數(shù)k變化情況，B=2.019，γ=0.010。Fig.5 Stationary joint PDF variation of the(2，1)th model with the damping coefficient k

3 結(jié)論

本文在復(fù)合材料層合薄板非線性動(dòng)力學(xué)模型建立基礎(chǔ)上，主要研究了邊界阻力對(duì)系統(tǒng)主參激共振響應(yīng)的影響，以第(2，1)階模態(tài)為例，首先開展了確定性激勵(lì)下系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性的研究，結(jié)果表明，一旦線性阻尼及激勵(lì)幅值確定，系統(tǒng)平凡響應(yīng)的不穩(wěn)定區(qū)間帶寬不變，期望主參激共振時(shí)非平凡響應(yīng)的幅值大幅降低及共振頻率范圍的有效縮小，需大幅增加邊界阻尼力。隨后的確定性激勵(lì)擴(kuò)展為窄帶隨機(jī)激勵(lì)的研究結(jié)果卻說明，微小的邊界阻尼力增量，將導(dǎo)致系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)從非平凡解支跳向平凡解支，換言之，在窄帶隨機(jī)激勵(lì)下，很小的邊界阻尼力就可有效遏制系統(tǒng)的共振響應(yīng)幅值。上述研究成果，也可為電子貼片、電子封裝、線路板檢測(cè)等設(shè)備中含阻尼邊界條件的多層材料組成的電(線)路板結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)提供一定的理論參考。

［1］Biman V.Dynamic stability of unsymmetrically laminated rectangular plates［J］.Mechanics Research Communications，1985，12(2):81－86.

［2］ Srinivasan R S， Chellapandi P. Dynamic stability of rectangular laminated composite plates［J］.Comput.Struct.1986，24(1):233－238.

［3］Bert C W，Biman V.Dynamic stability of shear deformable antisymmetric angle-ply plates［J］.Int.Solids Struct.1987，23(7):1053－1061.

［4］Zhou CT.Theory of nonlinear dynamic stability for composite laminated plates［J］.Appl.Math.Mech.1991，12(2):113－120.

［5］Chen L W，Yang J Y.Dynamic stability of laminated composite plates by the finite element method［J］.Comput.Struct.1990，36(5):845 －851.

［6］ Mao R J，Li J，Ling F H.A study of the dynamic stability of anisotropic thin-walled beams［J］.Thin-walled Struct.1992，13(3):197－215.

［7］Cederbaum G.On the parametric instability of laminated plates modeled with in a high-order shear deformation theory［J］.Acta Mechanica，1992，91(3－4):179－191.

［8］周承倜，王列東，劉正寧.復(fù)合材料疊層板非線性動(dòng)力穩(wěn)定性理論的幾個(gè)基本問題［J］.大連大學(xué)學(xué)報(bào)，1999，20(6):1－8.ZHOU Cheng-ti，WANG Lie-dong，LIU Zheng-ning.Some basic problems in the nonlinear theory of dynamic stability for composite laminated plates［J］.Journal of Dalian University，1999，20(6):1－8.

［9］王列東，劉正寧，周承倜.初始缺陷和拉－彎耦合對(duì)于疊層板的振動(dòng)、屈曲和非線性動(dòng)力穩(wěn)定性的影響［J］.應(yīng)用力學(xué)和數(shù)學(xué)，1999，20(5):477－485.WANG Lie-dong， LIU Zheng-ning， ZHOU Cheng-ti.Influence of initial imperfection and coupling between bending and extension on vibration，buckling and nonlinear dynamic stability of laminated plates［J］.Applied Mathematics and Mechanics，1999，20(5):477 －485.

［10］黃再興，朱金福.面內(nèi)剪切非線性對(duì)復(fù)合材料層合板參數(shù)共振的影響［J］.固體力學(xué)學(xué)報(bào)，1999，20(2):135－142.HUANG Zai-xing ZHU Jin-fu.The influence of inplane shear nonlinearity on parametric resonance of laminated composite plates［J］.Acta Mechanica Solida Sinica.1999，20(2):135－142.

［11］ Cederbaum G.Dynamic stability of laminated plates with physical non-linearity［J］.Composite Structures，1993，23(2):121－129.

［12］Zeng B T，Lin PD，Chen L W.Dynamic stability of bimodulus thick plates［J］.Computers＆ Structures，1992，45(4):745－753.

［13］Aditi C，Adrian G R.Dynamic instability of composite laminates using a higher order theory［J］.Computers ＆ Structures，2000，77(5):453 －460.

［14］Ganapathi M，Patel B P，Makhecha D P.Nonlinear dynamic analysis of thick composite/sandwich laminates using an accurate higher-order theory［J］.Composites Part B:Engineering，2004，35(4):345 －355.

［15］高美娟，張偉，姚明輝，等.壓電復(fù)合材料層合板的混沌動(dòng)力學(xué)研究［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28(6):82－85.GAO Mei-juan，ZHANGWei，YAOMing-hui，et al.Chaotic dynamics for laminated composite piezoelectric rectangular plates［J］.Journal of Vibration and Shock.2009，28(6):82－85.

［16］葉敏，呂敬，丁千，等.復(fù)合材料層合板1:1參數(shù)共振的分岔研究［J］.力學(xué)學(xué)報(bào)，2004，36(1):64－71.YE Min，L Jing，DING Qian，et al.The bifurcation analysis on the laminated composite plate with 1:1 parametrically resonance［J］.Acta Mechanica Sinica，2004，36(1):64－71.

［17］ Ye Min，Lu Jing，Zhang Wei，et al.Local and global nonlinear dynamics of a parametrically excited rectangular symmetric cross-ply laminated composite plate［J］.Chaos，Solitons and Fractals，2005，26(1):195 －213.

［18］彭凡，向紅，傅衣銘.粘彈性復(fù)合材料層合板殼的動(dòng)力穩(wěn)定性分析［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2006，19(4):459－464.PENG Fan，XIANG Hong，F(xiàn)U Yi-ming.Dynamic instability of viscoelastic cross-ply laminated plates and circular cylindrical shells［J］.Journal of Vibration Engineering，2006，19(4):459－464.

［19］馮世寧，陳浩然.基于高階剪切理論的層合板非線性動(dòng)力穩(wěn)定性［J］.大連理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，46(1):1－6.FENGShi-ning，CHEN Hao-ran Analysis of nonlinear dynamic stability of composite laminates based on higher order shear deformation theory［J］.Journal of Dalian University of Technology，2006，46(1):1－6.

［20］郭翔鷹，張偉，姚明輝，等.復(fù)合材料層合板的混沌運(yùn)動(dòng)分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2009，28(6):140－144.GUO Xiang-ying，ZHANG Wei，YAO Ming-hui，et al.Nonlinear dynamics and chaotic oscillations of composite laminated thin plate［J］.Journal of Vibration and Shock.2009，28(6):140－144.

［21］王戰(zhàn)璽，秦現(xiàn)生，白晶，等.復(fù)合材料層合板的顫振預(yù)測(cè)和模態(tài)交叉分析［J］.振動(dòng)與沖擊，2012，31(20):7－11.WANG Zhan-xi，QIN Xian-sheng，BAI Jing，et al.Flutter prediction and modal coupling analysis of a composite laminated plate［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(20):7－11.

［22］胡海巖.機(jī)械振動(dòng)與沖擊［M］.北京:航空工業(yè)出版社，1998.

［23］ Amabili M，F(xiàn)arhadi S.Shear deformable versus classical theories for nonlinear vibrations of rectangular istropic and laminated composit plates［J］.Journal of Sound and Vibration，2009，320(3):649－667.

［24］馮志華，朱曉東，蘭向軍，等.窄帶隨機(jī)激勵(lì)帶集中質(zhì)量梁的主參激共振［J］.振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2012，25(1):74－78.FENG Zhi-hua，ZHU Xiao-dong，LAN Xiang-jun，et al.Principal parametric resonance of a slender beam carrying a lumped mass under narrow-band random excitation［J］.Journal of Vibration Engineering，2012，25(1):74－78.

［25］朱位秋.隨機(jī)振動(dòng)［M］.北京:科學(xué)出版社，1998.

［26］Feng Z H，Zhu X D，Lan X J.Stochastic jump and bifurcation of a slender cantilever beam carrying a lumped mass under narrow-band principal parametric excitation［J］.International Journal of Non-Linear Mechanics，2011，46(10):1330－1340.