高中數學建模教學分析

張亞

摘 要當前，我國正在教育改革之路上邁著前進的步伐。在教育改革背景下，如何提升教學質量、培養應用型創新型人才，成為當前教育界面臨的一個重要問題。高中數學的改革，無疑是教育改革的一個重要部分。數學是很多學科和專業的基礎，對于培養學生的嚴謹思維、數學精神以及創新能力具有重要的意義。對此，新課標也指出，要在數學教學中開展數學建模的學習活動。

關鍵詞新課改 數學 建模

一、數學模型的分類情況

數學模型在人類歷史上可謂是源遠流長，并且發揮了巨大的作用。從人類使用文字開始，就逐漸建立數學模型并利用它處理問題。可以說，數學模型作為一種數學工具，它的建立對于解決實際問題起到了巨大的作用。在當前，數學理論主要有四大類，它們為人們解決數學中的難題指明了方向，提供了很好的解題方法，從而人們能夠利用這些數學工具來將實際問題轉化成數學問題加以解決。基于此，我們將數學模型分為以下幾類。

1.與必然現象有關的模型

通常情況下，我們用與必然現象有關的模型來表述那些必然現象，這也是比較容易見到的一類數學模型，通常用經典數學的各種方程式來表示。

2.與或然現象有關的模型

當我們來表述那些或然現象的各種可能結果的分布規律時，一般來說，可以用概率論和數理統計等方法建立數學模型。

3.與突變現象有關的模型

我們描述那些突變現象時，用到的是與突變現象有關的模型，從而來解釋其中發生突變和漸變的原因以及事物如何發生變化。

4.與模糊現象有關的模型

當我們描述那些不確定的各種現象或信息時，通常建立與模糊現象有關的模型來解決這一問題。

以下是關于必然現象的數學模型和或然現象的數學模型的例子。

（1）指數函數模型——細菌增長

在養分充足的情況下，細菌的數量會以指數函數的方式成長。假設細菌A的數量每兩小時可以成長為原來的2倍，細菌B的數量每5小時可以成長為原來的4倍。現在若養分充足且一開始兩種細菌的數量相等，則經過多少小時后，細菌A的數量是細菌B的數量的兩倍？

說明：開始數量為A，時間為T。A乘2的2分之T次方=2乘A乘4的5分之T，變為2的2分之T次方=2的5分之2T加1次方，就是2分之T=5分之2T+1T=10。所以是經過10小時。

（2）幾何概率模型

設在400ml自來水中有一個大腸桿菌，今從中隨機取出20ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發現大腸桿菌的概率是多少？這道題應該這樣理解：大腸桿菌生存在自來水中任一地方是可能的，生存在20ml水中也是可能的，并且生活在400ml水中的任意處的概率只與這部分的容積有關，所以說，在此題中，發現大腸桿菌的概率是：p=20/400=1/20

很多情況下，假設試驗的總的基本事件有N個，通常情況下我們用某些字母來表示其總和。例如：我們可以表示為N，假設實驗中的隨機事件A所包含的基本事件數為n，則隨機事件A的概率定義如下：P=n/N。

例：兩人相約在18∶00至19∶00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去。如果兩人出發是各自獨立的，在18∶00至19∶00各時刻相見的可能性相等，求兩人在約定的時間內相見的概率。

解：設兩人分別在x時和y時到達約見地點，要使兩人能在約定的時間范圍內相見，當且僅當|x-y|≤2/3在陰影部分的范圍內兩人能在約定的時間內相見，所以兩人在約定的時間內相遇的概率是8/9。

二、數學建模的過程

建立模型對于解決數學難題是十分有幫助的，它能夠把那些抽象難懂的問題很形象地表示出來，是用數學語言描述實際現象的過程。而且，從不同的角度、不同的側面去考察問題，就會得到不同的數學模型，所以數學建模的過程又具有藝術性。從本質上講，自然界中凡是能用定量的術語來描述的現實情形，都能通過建立模型使它服從解析的規律。

盡管問題不同，數學建模也不盡相同，但建模的思想和方法基本是一致的。通常來說，完整的數學模型通常需要對問題進行分析推理并考慮實際問題，最后應用到實際中。那么，如何建模才是合理的呢？建模方法又是什么呢？筆者認為，具體說可分為以下幾步。

第一，我們要仔細分析所要研究的問題所具有的性質，根據研究結果確定使用哪種數學模型以及使用何種數學方法來解決問題。

第二，分辨出所要研究的問題的重點與次重點，確定量與量之間的關系的主次性，當然，必要的情況下還要作出假設來輔助解決問題。

第三，根據這些量之間的關系建立相應的模型，用數學中常用的數學符號對實際系統進行簡化，找出重點，簡化到能夠進行數學描述的程度。

第四，根據分析列出相應表達式并建立相應數學模型，求出結果。

第五，對模型進行反復檢驗。方法是將最后得出的結果代入到原型中進行檢驗，如果模型基本符合原型，那它就是一個成功的模型，反之則要再次進行研究探索，找出問題之所在，根據出現的問題予以糾正，然后再重新建立模型。

第六，模型的建立就是為了將其應用到實際當中，用于解決實際問題，而模型的建立需要一定的過程，假如在檢驗時驗證出模型是對的、可行的，那么就可以將其應用到實際當中，如果模型是不可行的，那么就需要對其進行分析，找出不合理的地方，然后對其進行修，再重新建立數學模型，一直到結果正確為止。

由上可知，數學建模是一個過程，是由實際問題開始，對之進行抽象、簡化，然后建立數學模型，利用此數學模型解析這個實際問題，再解釋、反復驗證和修改，直到通過才能投入使用的過程。

三、數學模型的建立與實際教學應用

教師在日常教學中，應該經常將比較容易的數學應用和數學建模的問題滲透到課堂中，聯系教材內容，讓學生在課堂上更多的掌握這種方法，逐步培養起這種數學思維能力和創新能力。而具體的求解過程，則應更多地留在課外讓學生完成。讓學生感受到數學課是充滿探索意義的而非枯燥灌輸的。

例如，某污水處理廠打算建造一座地面是矩形并且面積是35平方米的污水處理池，已知處理池的深度是4米，池深建造單價是50元每平方米，池底建造單價是60元每平方米，水池厚度不計，求當污水處理池的長和寬各為多少時，使得花費的錢最少，并求出最少時多少。

解，由問題知，假設污水處理池的寬為x米，則長為35/x米。

則總造價f（x）=35*60+2*50*4x+2*50*4*35/x

=2100+400x+14000/x

≥2100+240=2340（元）

當且僅當x=5.9時取等號

∴當長為5.9米，寬為5.9米時總造價最低，最低總造價為2340元。

對于數學應用和數學模型，教師需要結合所教內容在課堂中合理切入、啟迪學生。這樣才能實現真正意義上的教學改革，為祖國培養一批批真正的杰出人才。

綜上所述，在新課改背景下的高中數學教學中的建模學習方法的應用是一個長期的過程。在以后的教學中，要注意解決好這幾個問題：首先要正確地分析出現的問題，其次要選取正確的方法去解決問題，最后要檢驗問題是否真正地解決與是否真正起到了預期的作用。只有這樣，才可真正地適應新課改的需要，提高我國數學教學質量水平。

參考文獻

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【責任編輯 鄭雪凌】