編隊構型最優開關控制策略研究

陳祥, 廖鶴, 童慶為, 宋濤

(上海衛星工程研究所 研發中心, 上海 200240)

0 引言

衛星編隊可以形成大的口徑或測量基線,在電子偵察、立體成像、精確定位、氣象測量等方面具有很大的優勢,是當前航天領域的重要研究方向[1]。衛星編隊長期在軌運行中要求進行構型保持或重構,以滿足任務需求。根據任務要求,一般可以分為時間最短控制和燃料最省控制。

目前編隊構型的控制研究主要集中于燃料最省策略研究,控制方式按照推進方式可以分為脈沖控制和連續推力控制。德國TanDEM-X衛星任務采用面內雙脈沖、面外單脈沖的簡單控制策略,該策略并不是最優的,會造成編隊構型速度方向漂移,從而導致控制頻繁,構型容易發散[2]。四脈沖控制策略作為經典的最優編隊構型控制策略,具有求解簡單的優點,與雙脈沖策略相比,速度方向不發散,且燃料消耗也相對較優[3]。還有一些學者針對脈沖編隊構型控制問題,設計了LQR控制策略和基于Lyapunov方法[4]的控制策略,但燃料消耗較前兩種策略更多?；谟邢尥屏蜻B續推力方法進行編隊構型控制研究的思路是:基于Hill方程進行最優控制建模后通過優化算法求解得到最優控制問題的解。該思路經典直觀,但是存在計算量大,不易求解等缺陷[5-6]。

本文針對編隊飛行的連續小推力最優控制問題,根據編隊飛行的運動特點,采用最優控制理論和極小值原理設計了僅需要求解非線性方程組的編隊構型的最短時間和最省燃料開關控制策略,并進行數值仿真,驗證了控制策略的正確性和優越性。

1 動力學模型

首先定義目標軌道坐標系:Oe為地心,坐標原點O位于目標星的質心,Ox軸沿目標星地心距矢量方向,Oy軸指向速度方向,Oz軸與Ox軸和Oy軸組成右手坐標系。目標軌道坐標系如圖1所示。

圖1 目標星軌道坐標系Fig.1 Target satellite orbital coordinate system

在目標軌道坐標系中滿足目標軌道為圓軌道和近距離假設條件時,編隊飛行的跟隨航天器相對目標航天器的運動可表示為Hill方程[7],即編隊構型控制狀態方程:

(1)

將式(1)改寫為狀態轉移矩陣形式如下:

(2)

x(t)=Φ(t)x(0)+Γ(t)u

(3)

式中,Φ(t)為狀態轉移矩陣;Γ(t)為控制響應矩陣。為得到全局最優解,Hill方程改寫為[2]:

(4)

式中,R為相對運動在軌道平面內分運動的短半軸;S為平面外簡諧振動的振幅;nt為t時刻目標星的平緯度幅角;θ0為跟隨航天器在目標軌道平面內運動的初始相位;φ0為簡諧振動的初始相位。

2 最優構型控制策略

由于編隊飛行相對運動在目標星軌道平面內和軌道平面外的運動是解耦的,因此,分別進行編隊飛行的軌道面內控制和面外控制,再通過約束條件將兩項運動結合,即可得到控制問題的解。

2.1 時間最短開關控制策略

根據最優控制原理,式(2)線性定常系統的最短時間機動問題即為終端時間自由的狀態轉移問題,最優控制為Bang-Bang控制[8],控制切換流程如圖2所示。圖中,t1,t2,t3,tf,tz1和tzf為待優化變量。

圖2 時間最短控制切換流程Fig.2 Switching sequence for minimum-time control

時間最短控制的性能指標為:

(5)

哈密爾頓函數為:

Htime(t)=1+λT(t)[Ax(t)+Bu(t)]

(6)

協態方程為:

(7)

極值條件為:

H[x*(t),u*(t),λ(t),t]=

(8)

根據最優控制原理,定常系統時間最短控制的哈密爾頓函數須保持為0,并滿足式(8)極值條件。根據最優控制原理,式(8)等價為:

λT(ti)B=0,?ti

(9)

式中,λT(ti)B定義為切換函數;ti為Bang-Bang控制切換的時刻。根據圖2可知,在初始和終端構型條件已知時,式(3)可以轉化為式(10)和式(11)。求解式(10)和式(11)即可得到時間最短控制對應的控制切換時刻和終端時間。

(10)

(11)

式中,uy0為Oy軸方向輸入的控制加速度;uz0為Oz軸方向輸入的控制加速度。

2.2 燃料最省開關控制策略

根據線性定常系統燃料最省控制原理[9],最省燃料控制問題為終端時刻固定的狀態轉移問題,且在狀態轉移過程中存在滑行段,控制流程見圖3。

圖3 燃料最省控制切換流程Fig.3 Switching sequence for minimum-fuel control

燃料最省控制的性能指標為:

(12)

哈密爾頓函數為:

Hfuel(t)=|u(t)|+λT(t)[Ax(t)+Bu(t)]

(13)

根據最優控制原理,燃料最省控制的哈密爾頓函數沿最優軌線保持為常值。結合式(12)和式(13),極值條件可改寫為:

λT(ti)B=-sgn[u(ti)],?ti

(14)

當λTB<-1時,輸入+|u|;當λTB>1時,輸入-|u|;當-1≤λTB≤1時,航天器自由滑行。

根據式(3)以及圖3可以得到非線性方程組式(15)和式(16)。

(15)

式(15)非滿秩,雖然可以通過一些算法求解,但魯棒性差,甚至得到錯誤解。因此,需要將協態變量狀態轉移方程和狀態轉移方程結合求解,得到控制切換時刻和協態變量初值,然后通過燃料最省的哈密爾頓函數特性和極值條件驗證控制最優性。

(16)

3 數值仿真及分析

3.1 仿真條件

衛星質量為100 kg,采用連續電推進方式進行編隊構型控制,航天器的切向和法向安裝電推力器,推力大小為8 mN。目標軌道根數為:a=6 887.135 km,e=0.0011,i=97.43°,Ω=283.67°,ω=90°。初始編隊構型參數和目標構型參數如表1所示。由于電推進比沖很高,因此忽略控制過程中航天器的質量變化。

表1 初始構型和目標構型參數Table 1 Parameters of initial and target configuration

3.2 仿真結果及分析

燃料最省構型控制所耗費的時間大于時間最短編隊構型控制,因此參考時間最短控制所耗費的時間,最終選取終端時間7 200 s作為燃料最省控制的時間歷程。經計算,控制結束后的構型參數如表1所示。最優控制的切換時刻和消耗速度增量見表2和表3,最優控制驗證曲線如圖4～圖7所示。

表2 平面內最優構型控制解Table 2 Solution of in-plane optimal control

表3 平面外最優構型控制解Table 3 Solution of out-plane optimal control

圖4 時間最短面內控制驗證曲線Fig.4 Validating graph of in-plane minimum-time control

圖5 燃料最省面內控制驗證曲線Fig.5 Validating graph of in-plane minimum-fuel control

圖6 時間最短面外控制驗證曲線Fig.6 Validating graph of out-plane minimum-time control

圖7 燃料最省面外控制驗證曲線Fig.7 Validating graph of out-plane minimum-fuel control

由表1的數據可以看出,時間最短和燃料最省控制結束后編隊的構型均達到控制目的,誤差較小。由圖4～圖7可以看出,切換控制律分別滿足時間最短和燃料最省極值條件的約束,計算過程中哈密爾頓函數均滿足最優性要求,證明所設計的線性定常系統燃料最省和時間最短控制律是正確、可行的。

4 結束語

本文設計了編隊構型最優開關控制策略,仿真結果證明了該策略的正確性和可靠性。與其他求解連續推力編隊控制問題相比,該方法充分利用編隊飛行的動力學特性,不需要求解復雜的兩點邊界值問題,通過求解描述運動狀態轉移的非線性方程組即可以得到最優控制策略,大大減少了計算量。結合目前衛星推力器安裝方式和電推進技術的研究現狀,該方法非常適合編隊構型控制的工程應用。

在本文研究過程中發現,求解最優控制策略對應的非線性方程組需要采用數值方法進行迭代求解,對初值選取仍較為敏感,且控制時序仍然需要根據迭代結果和最優控制的性質來進行人工判斷。此外,燃料最省控制策略的響應速度往往太慢,達不到任務要求。因此,后續可針對高魯棒性的控制策略求解方法以及控制時間、燃料的綜合最優控制問題進行研究。

參考文獻：

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