高超聲速飛行器曲線擬合建模方法

崔建峰, 張科, 呂梅柏

(1.西北工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院, 陜西 西安 710072;2.航天飛行動力學(xué)國家重點實驗室, 陜西 西安 710072)

0 引言

機體/發(fā)動機一體化的設(shè)計理念及輕質(zhì)材料的應(yīng)用,使得吸氣式高超聲速飛行器的動力學(xué)特性十分復(fù)雜,存在著較為顯著的氣動-熱-彈性-推進耦合現(xiàn)象。構(gòu)建一個合理綜合上述交叉耦合因素的動力學(xué)模型成為研究吸氣式高超聲速飛行器控制系統(tǒng)的基礎(chǔ)。目前,吸氣式高超聲速飛行器控制系統(tǒng)研究廣泛應(yīng)用的動力學(xué)模型之一,是由Bolender等人提出的基于斜基波-膨脹波理論建立的二維高超聲速飛行器動力學(xué)模型[1-2]。國內(nèi)一些學(xué)者也借鑒此種解析建模方法構(gòu)建了相應(yīng)的吸氣式高超聲速飛行器二維動力學(xué)模型[3-5]。

上述模型所提供的氣動數(shù)據(jù)離散,不便于進行非線性控制系統(tǒng)綜合設(shè)計。因此,文獻[6-8]在解析模型的基礎(chǔ)上對氣動數(shù)據(jù)進行曲線擬合,得到面向控制的曲線擬合模型(Curve-Fitted Model,CFM)。氣動數(shù)據(jù)曲線擬合是一個較為耗費時間與計算機資源的過程。例如,為得到對應(yīng)于7個自變量、每個自變量10個水平值的氣動數(shù)據(jù),需要消耗將近80 GB的計算機存儲容量,如果每次計算需要5 ms,則獲取上述數(shù)據(jù)需要計算將近14 h[7]。所以,擬合前需要依據(jù)可供使用的計算機資源選取適當簡化形式的模型,這將限制擬合模型的可信度及其與原始物理模型之間的一致程度。因此,建立一種快速、可靠的曲線擬合建模方法是十分必要的。

本文將在現(xiàn)有彈性高超聲速飛行器動力學(xué)模型的基礎(chǔ)上,借助均勻設(shè)計、逐步回歸等統(tǒng)計學(xué)方法快速高效地獲取飛行器的CFM模型,最后仿真驗證模型的可靠性,并與現(xiàn)有CMF模型進行對比分析。

1 曲線擬合建模

1.1 原始物理模型

本文以文獻[1-2]中給出的高超聲速飛行器動力學(xué)模型為曲線擬合參考對象。該飛行器的幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示,外形參數(shù)及其他詳細信息可參見文獻[2,6-8]。

圖1 高超聲速飛行器模型幾何結(jié)構(gòu)Fig.1 Geometry of the hypersonic vehicle model

該模型主要采用理論分析方法構(gòu)建,飛行器表面壓強分布及氣流參數(shù)利用空氣動力學(xué)中的斜基波-膨脹波理論,分別在高超聲速飛行器前體斜坡、發(fā)動機燃燒室、后體膨脹面以及控制舵面處進行計算,飛行器超燃沖壓發(fā)動機的推力則通過瑞利流模型進行估算。該飛行器模型還考慮到彈性效應(yīng)。模型的結(jié)構(gòu)彈性模態(tài)基于單根歐拉-伯努利自由梁,通過假設(shè)模態(tài)法求解,并利用一階活塞理論計算由剛體模態(tài)及彈性模態(tài)引起的非定常氣動力。另外,模型的飛行力學(xué)方程主要在穩(wěn)定軸坐標系下,利用拉格朗日方程推導(dǎo)得出,具體如式(1)所示。

(1)

1.2 曲線擬合模型數(shù)據(jù)生成

傳統(tǒng)的曲線擬合模型求解方法需要獲取大量的擬合數(shù)據(jù)集和驗證數(shù)據(jù)集,這個過程較為耗費時間與計算機資源，且因數(shù)據(jù)集龐大,給后期模型擬合帶來不便。因此,本文將使用均勻試驗設(shè)計來簡化數(shù)據(jù)生成的過程。

均勻試驗設(shè)計是應(yīng)對探索性試驗獲取近似模型要求而產(chǎn)生的近似試驗設(shè)計方法,也是計算機試驗設(shè)計的主要方法之一[9]。借助均勻設(shè)計方法,可以在需要進行多水平試驗的情況下,極大地減少待試驗次數(shù)。利用均勻設(shè)計方法,首先要確定試驗因素及試驗設(shè)計空間。

表1 狀態(tài)變量工作范圍Table 1 Parameter ranges for curve fitting

在確定試驗因素及試驗設(shè)計空間后,一般情況下,當試驗因素s≤7時,可以直接選用文獻[9]及其他相關(guān)文獻中提供的均勻設(shè)計表開始進行仿真試驗。由于本文試驗因素有12個,因此需要根據(jù)均勻設(shè)計的原理和方法構(gòu)造指定試驗因素的均勻設(shè)計表。

常用的均勻設(shè)計表構(gòu)造方法有好格子點法、方冪好格子點法及在其基礎(chǔ)上改進的修正法與切割法[9]。本文中的試驗因素均為連續(xù)變量,對變量水平?jīng)]有嚴格限制,故本文使用方冪好格子點法及其修正方法構(gòu)建均勻設(shè)計表。詳細的方法與步驟如下:

(1)給定試驗次數(shù)n,尋找比n小的整數(shù)h,且使n和h的最大公約數(shù)為1。符合這些條件的正整數(shù)組成一個數(shù)組h=(h1,h2,…,hm)。其中m由歐拉函數(shù)決定。

(2)設(shè)計表的第j列利用下式生成:

uij=ihj[modn]

(2)

這里[modn]表示同余運算,若ihj超過n,則用它減去n的一個適當倍數(shù),使差落在[1,n]之中。uij可以遞推來生成:

(3)

用上述方法生成的設(shè)計表記為U(nm),如果劃去Un+1表的最后一行,則獲得修正的設(shè)計表

U*(nm);

(3)均勻設(shè)計表應(yīng)用需要使用表,方冪好格子點法利用整數(shù)的同余冪生成使用表。

令a為小于n的整數(shù),且a,a2,…,at在[modn]的意義下互不相同,若at+1[modn]=1,則稱a對n的次數(shù)為t。若a對n的次數(shù)大于或等于s-1,則可用式(4)作為生成向量。

(a0,a,…,as-1)[modn]

(4)

在一切可能的a(最多n-1個)中去比較相應(yīng)生成表的均勻性,均勻性最優(yōu)的一組生成向量即為使用表。于是,給定n和s,便可以獲得均勻性最佳的設(shè)計表,此時記為U(n,ns),如是修正的均勻設(shè)計,則記為U*(n,ns)。

均勻設(shè)計表的構(gòu)造過程中,需要在不同生成表間進行尋優(yōu)。比較兩個均勻設(shè)計表的好壞等價于比較它們所對應(yīng)兩組點集的均勻性。常用的均勻性測度有Lp-星偏差、中心化L2-偏差(CD2)、可卷L2-偏差(WD2)等[9]。根據(jù)上述均勻性測度的準確性及計算復(fù)雜程度,本文選用中心化L2-偏差作為均勻設(shè)計表的均勻性測度,其計算公式為:

(5)

本文以CD2(P)≤0.12為評價標準,最終獲取的均勻設(shè)計表為U*(240,24012),其中星號表示由修正方法生成,該表的中心化L2-偏差CD2(P)=0.1172。

1.3 曲線擬合模型求解

利用上節(jié)獲取的均勻設(shè)計表U*(240,24012)進行仿真試驗,生成相應(yīng)的氣動力、推力及廣義力數(shù)據(jù)。在這些數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上,為獲取各變量間的相互關(guān)系,需要進行回歸分析。根據(jù)理論及實際計算結(jié)果分析可知,各力與試驗因素間并非簡單的線性關(guān)系,需要考慮到各因素之間的交互作用及因素高次項的影響。但將如此多的因素全部引入到擬合模型中,勢必過于復(fù)雜,且可能形成“過擬合”。因此,需要從這些眾多相關(guān)因素中挑選出對結(jié)果有顯著影響的部分因素,剔除一些不顯著因子,故可以使用逐步回歸分析法。

逐步回歸的基本步驟是:從一個因素開始,視因素對結(jié)果作用的顯著程度,從大到小逐步引入回歸方程;在引入每個新因素的同時,要對已引入因素進行顯著性判斷,當原引入因素由于后面因素的引入變得不再顯著時,將其剔除;該過程反復(fù)進行,直至既無不顯著因素從回歸方程中剔除,又無顯著因素選入回歸方程時為止。對因素的顯著性判斷是通過針對偏回歸平方和的假設(shè)檢驗實現(xiàn)的[9]。

通過觀察單變量對結(jié)果的影響及參考文獻[6-8]的擬合形式,最終獲取的CFM模型為:

(6a)

(6b)

式中,角度單位為rad;空氣密度則根據(jù)美國1976年標準大氣表計算得到。

阻力系數(shù)及推力系數(shù)因受剛體參數(shù)影響更為顯著,因此,在逐步回歸過程中,有關(guān)的彈性氣動導(dǎo)數(shù)項作為非顯著因子被剔除。這與文獻[6-8]中的擬合結(jié)果不一致。文獻[6-8]因采用最小二乘法進行擬合,受資源限制提前選取了特定形式的模型,從而在擬合結(jié)果中將非顯著因子引入,處理簡單劃一,夸大了非顯著因子的作用,使擬合得到的CFM模型可靠性下降。而逐步回歸法以偏回歸平方和的假設(shè)檢驗為依據(jù),動態(tài)引入顯著因子,使擬合結(jié)果更為可靠,這些可通過后續(xù)的模型驗證與對比分析體現(xiàn)出來。

2 CFM模型驗證與對比分析

2.1 CFM模型驗證

在獲取CFM模型后,需要對模型進行驗證。一般可以通過復(fù)相關(guān)系數(shù)R與殘余標準偏差S來檢驗回歸方程的顯著性與精度。這兩個統(tǒng)計量的定義為:

(7)

對于驗證數(shù)據(jù)集的生成,同樣可以使用均勻設(shè)計表來獲取。借助前述均勻設(shè)計表構(gòu)造方法,獲取的驗證用均勻設(shè)計表為U*(1034,103412),該表的中心化L2-偏差CD2(P)=0.055。

在獲取驗證數(shù)據(jù)集后,本文CFM模型各統(tǒng)計量數(shù)值如表2所示。

表2 CFM模型統(tǒng)計量Table 2 Statistics of curve-fitted model

從表2中可以看出,飛行器各力回歸方程的復(fù)相關(guān)系數(shù)均接近于1,說明CFM模型與原物理模型的一致程度較高。

2.2 CFM模型對比分析

對于已有的CFM模型,文獻[8]在吸氣式高超聲速飛行器幾何外形與配置上與本文一致。本文以升力、阻力、推力及俯仰力矩為對象對比擬合效果。相比于原始物理模型,計算所得的統(tǒng)計量數(shù)值如表3所示,各自的殘差如圖2所示(橫坐標P為驗證數(shù)據(jù)點的序號)。為了更直觀地查看擬合效果,在圖3中還給出了使用真實物理模型、本文CFM模型、文獻CFM模型計算得到氣動力和力矩隨速度和迎角的變化圖。

從表3、圖2和圖3中可以看出,本文借用均勻設(shè)計和逐步回歸法所獲取的CFM模型與真實物理模型更為一致,模型精度也更好,但用于擬合及驗證的數(shù)據(jù)點卻不到2000個,建模過程耗費的時間與計算機資源大為減少。

表3 兩種CFM模型統(tǒng)計量對比Table 3 Comparison of statistics between two types of CFM

圖2 CFM模型殘差圖Fig.2 Residual chart of curve-fitted model

圖3 氣動力和力矩擬合對比Fig.3 Comparison of curve-fitting results

3 結(jié)束語

本文提出了一種借助均勻設(shè)計、逐步回歸等統(tǒng)計學(xué)理論建立、評價及檢驗彈性高超聲速飛行器CFM模型的方法。通過與現(xiàn)有CFM模型的各項數(shù)據(jù)對比分析表明,基于均勻設(shè)計和逐步回歸方法進行高超聲速飛行器曲線擬合建模是一種高效、可靠的方法,其所建立的CFM模型與原始物理模型的一致程度優(yōu)于現(xiàn)有CFM模型,而所消耗的時間與計算機資源遠小于現(xiàn)有擬合方法。

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