怎樣解這類數學題

向紅梅 王波

摘 要：學完勾股定理之后。資料之中出現了這類求最短距離的題：1、如圖，某地要在河邊修建一個泵站，分別向A、B兩村送水灌溉農田，已知A村，B村分別距離河邊2千米和7千米，且A、B兩村相距13千米，水泵站應修建在什么地方可使所用的水管最短？請在圖中設計出水泵的位置。2、如圖所示，A﹑B兩村在河CD的同側，A﹑B兩村到河的距離分別為AC=1km，BD=3km，CD=3km。現要在河邊建一水廠向A﹑B兩村輸送自來水，鋪設水管的費用為2萬元/千米，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設水管的費用最低，并求出總費用。

關鍵詞：怎樣解這類數學題；反考；研究

中圖分類號：G622 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）16-210-01

學完勾股定理之后。資料之中出現了這類求最短距離的題：

如圖，某地要在河邊修建一個泵站，分別向A、B兩村送水灌溉農田，已知A村，B村分別距離河邊2千米和7千米，且A、B兩村相距13千米，水泵站應修建在什么地方可使所用的水管最短？請在圖中設計出水泵的位置。

看到這道題后，按傳統的方法：

解：（1）以河邊為對稱軸，作B點的對稱 B′。連接AB1交河邊于O點。O點就水泵站的位置。

（2）過A點分別做河邊與BB′的垂線，交河邊、BB′于D、E

AD=EC=2千米

BE=BC-EC=7-2=5千米

∵ AE⊥BB′

∴ △AEB、△A B′E為直角三角形

AE2=AB2-BE2

AE=12千米

B′E= B′C+C E

又∵ B′C=BC

B′E=9千米

A B′2=AE2+ B′E2

A B′=15千米

∵ 河垂直平分B B′

∴ OB=O B′

∴ AO+OB=A0+O B′

=A B′

∴ 水泵管最短為15千米

做完這個題后，假想一下，如果水泵站建在D點會怎么樣呢？AD=2千米 AB=13千米，這剛好是15千米嗎？

如圖所示，A﹑B兩村在河CD的同側，A﹑B兩村到河的距離分別為AC=1km，BD=3km，CD=3km。現要在河邊建一水廠向A﹑B兩村輸送自來水，鋪設水管的費用為2萬元/千米，請你在CD上選擇水廠位置O，使鋪設水管的費用最低，并求出總費用。

這一道題，根據傳統的方法：

解：（1）以CD為對稱軸作B點的對稱點B，連接AB′交C D于O，O點就是水廠位置。

（2） A B′=5km（過程略）

∴ 最短距離為5km

最少費用：5×2=10萬元

假想：將水廠就建在C點會怎樣？

解：連接AB

AB2=AE2+（BD-DE）2

AB2=32+（3-1）2

AB=√13km≈3.61

最短距離：AC+AB=1+3.61=4.61km

傳統方法是不是錯了？我們可以多舉一些數字試一試便知：探究方法也有漏洞。這類題該如何來解呢？值得我們去反考、研究。