多目標(biāo)模型在求解投資組合最優(yōu)解中的應(yīng)用

湖南大學(xué)++王淑燕+++馮昌黎+++鄭燦暢++++蔣卓征

摘要：建立一個(gè)投資組合首先需要求解其中各項(xiàng)資產(chǎn)的最優(yōu)比例，馬科維茨的均值-方差理論已經(jīng)成為了此類規(guī)劃問題的經(jīng)典解法，但是其鎖定風(fēng)險(xiǎn)或收益其一求解另一者的方法需要人為設(shè)定約束條件的數(shù)值，因而可能不是理論上的最優(yōu)解。本文試圖將多目標(biāo)模型運(yùn)用到投資組合中求解風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的占比，再在考慮居民風(fēng)險(xiǎn)收益偏好的基礎(chǔ)上探索在組合中加入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，從而為家庭資產(chǎn)的投資組合與運(yùn)用提出建議。

關(guān)鍵詞：投資組合 多目標(biāo) 最優(yōu)解 規(guī)劃求解

一、引言

無論是居民家庭還是機(jī)構(gòu)的投資組合，都統(tǒng)籌會考慮風(fēng)險(xiǎn)與收益兩者之間的協(xié)調(diào)。一般來說，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的占比反映了投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好，可以通過調(diào)查和計(jì)算了解到具體數(shù)值，作為風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的分配依據(jù)。進(jìn)而在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)內(nèi)部，一般是通過規(guī)劃求解得出風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)占比，在具體的求解方法上，我們有均值-方差理論、單因素模型以及多因素模型以及多目標(biāo)即規(guī)劃投資組合選擇理論。但是在實(shí)際運(yùn)用中，馬科維茨的均值-方差理論最為常見。

馬科維茨（H.Markowitz）（1952）首先運(yùn)用數(shù)學(xué)中概率論知識研究在不確定條件下把模型最優(yōu)化處理的投資行為，即固定期望收益率求風(fēng)險(xiǎn)最小化時(shí)的資產(chǎn)，或固定風(fēng)險(xiǎn)損失率，求期望收益率最大化時(shí)的資產(chǎn)。隨后，Sharpe和Ross等人提出了市場處于均衡狀態(tài)下的CAMP模型、市場處于不均衡狀態(tài)下的特征曲線，單因素模型以及多因素模型等用以估計(jì)資產(chǎn)收益。對于投資組合工具，F(xiàn)ouad Ben Abdelaziz等人構(gòu)建了一個(gè)機(jī)會約束妥協(xié)規(guī)劃模型，研究了多目標(biāo)即規(guī)劃投資組合選擇。

二、符號說明及模型假設(shè)

（一）符號說明

n ：投資組合中證券的個(gè)數(shù)；

[R=（R1，R2，...，Rn）T]：證券預(yù)期收益率的期望值向量；

[σ2]：證券組合投資收益率方差；

[F=（1，1，...，1）T]：n維單位列向量；

[W=（W1，W2，...，Wn）T]：證券投資比例系數(shù)向量；

[E=（σi，j）n×n]：[n]種證券收益率的協(xié)方差矩陣；

[R0]：證券組合投資的預(yù)期收值；

[α]：根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)求出的居民風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)；

（二）模型假設(shè)

假設(shè)一：我們對風(fēng)險(xiǎn)評價(jià)的兩個(gè)指標(biāo)是投資收益率均值R和收益率的方差[σ2]。

假設(shè)二：理性的投資者會在固定的風(fēng)險(xiǎn)水平下，要求更高收益；在固定收益的水平下，要求更小風(fēng)險(xiǎn)。

假設(shè)三：證券投資比率系數(shù)為正，賣空在中國市場上很難實(shí)現(xiàn)。

假設(shè)四：證券市場是有效的，信息透明。

三、多目標(biāo)組合投資模型的建立與求解

（一）模型建立

在經(jīng)典的馬科維茨投資組合模型中，確定資產(chǎn)組合單個(gè)資產(chǎn)收益與風(fēng)險(xiǎn)間的相互關(guān)系，在此基礎(chǔ)上，按照理性投資者的投資理念求解出最小方差的投資組合.馬科維茨關(guān)于組合投資模型在資產(chǎn)完全不相關(guān)的情況下，資產(chǎn)組合的風(fēng)險(xiǎn)會隨著資產(chǎn)數(shù)量的增加而消失。馬科維茨組合投資模型是在單目標(biāo)情況下考究最優(yōu)投資組合，而在現(xiàn)實(shí)生活中，這樣做是不全面的，所以在這里，將建立多目標(biāo)投資組合模型進(jìn)行探究。

1、傳統(tǒng)的馬科維茨組合投資模型

（1）約束收益，使風(fēng)險(xiǎn)最小。模型一是在一定收益水平下使風(fēng)險(xiǎn)最小，即目標(biāo)函數(shù)為風(fēng)險(xiǎn)[σ2]，約束條件為收益[R0]，如下：

[Minσ2=WTEW]

[stWT?R=R0WT?F=1W≥0]

（2）約束風(fēng)險(xiǎn)，使收益最大。模型二是在一定風(fēng)險(xiǎn)水平下使收益最大，即目標(biāo)函數(shù)為收益，約束條件為風(fēng)險(xiǎn)A，如下：

[Maxf=i=1nWiRi]

[stWTEW=AWT?F=1W≥0]

2、多目標(biāo)投資組合模型

模型三同時(shí)考慮風(fēng)險(xiǎn)與收益，使風(fēng)險(xiǎn)最小的同時(shí)收益最大，即構(gòu)建新的目標(biāo)函數(shù)[g=WTEWi=1nWiRi]，如下：

[Ming=WTEWi=1nWiRi]

[stWT?F=1W≥0]

（二）模型求解

1、約束收益，使風(fēng)險(xiǎn)最小

模型一目標(biāo)函數(shù)為線性約束條件下的二次函數(shù)，作為二次規(guī)劃問題，可用拉格朗日函數(shù)求解。

首先，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

[L（W，λ1，λ2）=WTEW+λ1（WT?R-R0）+λ2（WT?F-1）]

根據(jù)矩陣代數(shù)理論分別對[W，λ1，λ2]求偏導(dǎo)得：

[?L（W，λ1，λ2）?W=2EW-λ1?R-λ2?F]

[?L（W，λ1，λ2）?λ1=WT?R-R0]

[?L（W，λ1，λ2）?λ2=WT?F-1]

令 [?L（W，λ1，λ2）?W]=0，[?L（W，λ1，λ2）?λ1]=0，[?L（W，λ1，λ2）?λ2]=0 ，可求出：

[λ1=2R0RTE-1F-2RTE-1RFTE-1RRTE-1F-FTE-1FRTE-1R]

[λ2=2R0FE-1F-2FTE-1RRTE-1RFRTE-1F-RTE-1FFTE-1R]

[X=R0RTE-1F-RTE-1RFTE-1RRTE-1F-FTE-1FRTE-1R?E-1R+R0FE-1F-FTE-1RRTE-1RFTE-1F-RTE-1FFTE-1R?E-1F]

2、約束風(fēng)險(xiǎn)，使收益最大

模型二是非線性約束條件的規(guī)劃問題，可使用迭代算法在Matlab中編程求解。

3、風(fēng)險(xiǎn)與收益的比值最小

模型三是線性約束條件下和非線性目標(biāo)下的規(guī)劃問題，可使用模型一構(gòu)造的拉格朗日函數(shù)求解。但在實(shí)際中一般通過Matlab編程求解。endprint

四、投資組合實(shí)例分析

假設(shè)有5種證券（或股票）可供投資，已知上一年月收益率如表1：

表1 5種可投資證券（或股票）的上一年月收益率（%）

[＼&1月＼&2月＼&3月＼&4月＼&5月＼&6月＼&7月＼&8月＼&9月＼&10月＼&11月＼&12月＼&A＼&9.2＼&10.0＼&9.8＼&9.7＼&10.7＼&10.3＼&9.9＼&9.8＼&10.1＼&10.2＼&9.9＼&10.4＼&B＼&7.4＼&7.4＼&7.5＼&7.6＼&7.3＼&7.0＼&7.3＼&7.2＼&7.4＼&7.3＼&7.1＼&7.4＼&C＼&10.0＼&11.0＼&12.0＼&12.8＼&13.1＼&13.0＼&13.5＼&13.8＼&12.5＼&14.0＼&15.0＼&15.2＼&D＼&7.8＼&7.9＼&8.7＼&8.4＼&7.4＼&8.3＼&8.2＼&8.1＼&8.1＼&7.7＼&8.0＼&7.9＼&E＼&9.0＼&17.4＼&12.0＼&17.0＼&13.0＼&13.6＼&12.8＼&14.4＼&13.2＼&13.8＼&13.0＼&13.5＼&]

由此得出5種證券（或股票）的月平均收益率：[R=（10.0，7.3，13.0，8.0，14.0）T]

[E=0.147-0.0170.311-0.0250.220-0.0170.025-0.0520.001-0.0030.311-0.0522.2780.0230.595-0.0250.0010.0230.0560.1830.220-0.0030.5950.1834.794]

令[R0=10.0]，把數(shù)據(jù)代入模型三，通過Matlab編程求解得到：w= {0.0020，0.0450，0.2250，0.5696，0.1584}。

再在此基礎(chǔ)上，在已知居民風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)[α]的條件下，在投資組合中加入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，將投資比例在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間進(jìn)行再分配，最終得到包含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合最優(yōu)解，如表2：

五、結(jié)束語

多目標(biāo)投資組合模型在馬克維茨的均值-方差模型的基礎(chǔ)上繼續(xù)添加目標(biāo)，使模型更加可控。在投資方案的設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)投資模型同時(shí)考慮了客戶對收益和風(fēng)險(xiǎn)的要求，更貼近客戶家庭的實(shí)際需求，從而使得投資組合中股票和債券的比例更加準(zhǔn)確，以便合理分配資金，盡可能地實(shí)現(xiàn)目標(biāo)收益率，從而為家庭資產(chǎn)的投資組合建立和求解的方法選擇給出有價(jià)值的參考。

參考文獻(xiàn)：

[1]雷曉燕，周月剛.中國家庭的資產(chǎn)組合選擇：健康狀況與風(fēng)險(xiǎn)偏好[J].金融研究，2010，（1）：31-45

[2]鄒紅，喻開志.中國城鎮(zhèn)居民家庭資產(chǎn)選擇行為研究[J].金融發(fā)展研究，2010，（9）：13-17

[3]趙曉英，曾令華.我國城鎮(zhèn)居民投資組合選擇的動(dòng)態(tài)模擬研究[J].金融研究，2007，（4）：72-86

[4]汪紅駒，張慧蓮.資產(chǎn)選擇，風(fēng)險(xiǎn)偏好與儲蓄存款需求[J].經(jīng)濟(jì)研究，2006，（6）：48-58

[5]史代敏，宋艷.居民家庭金融資產(chǎn)選擇的實(shí)證研究[J].統(tǒng)計(jì)研究，2005，（10）

[6]Markowitz H. Portfolio selection[J].Journal of finance， 1952， 7：77-91

[7]Viceira， L.M.， 1998， “Optimal consumption and Portfolio choice for Long—horizon Investors”， PHD thesis， Harvard Universityendprint

四、投資組合實(shí)例分析

假設(shè)有5種證券（或股票）可供投資，已知上一年月收益率如表1：

表1 5種可投資證券（或股票）的上一年月收益率（%）

[＼&1月＼&2月＼&3月＼&4月＼&5月＼&6月＼&7月＼&8月＼&9月＼&10月＼&11月＼&12月＼&A＼&9.2＼&10.0＼&9.8＼&9.7＼&10.7＼&10.3＼&9.9＼&9.8＼&10.1＼&10.2＼&9.9＼&10.4＼&B＼&7.4＼&7.4＼&7.5＼&7.6＼&7.3＼&7.0＼&7.3＼&7.2＼&7.4＼&7.3＼&7.1＼&7.4＼&C＼&10.0＼&11.0＼&12.0＼&12.8＼&13.1＼&13.0＼&13.5＼&13.8＼&12.5＼&14.0＼&15.0＼&15.2＼&D＼&7.8＼&7.9＼&8.7＼&8.4＼&7.4＼&8.3＼&8.2＼&8.1＼&8.1＼&7.7＼&8.0＼&7.9＼&E＼&9.0＼&17.4＼&12.0＼&17.0＼&13.0＼&13.6＼&12.8＼&14.4＼&13.2＼&13.8＼&13.0＼&13.5＼&]

由此得出5種證券（或股票）的月平均收益率：[R=（10.0，7.3，13.0，8.0，14.0）T]

[E=0.147-0.0170.311-0.0250.220-0.0170.025-0.0520.001-0.0030.311-0.0522.2780.0230.595-0.0250.0010.0230.0560.1830.220-0.0030.5950.1834.794]

令[R0=10.0]，把數(shù)據(jù)代入模型三，通過Matlab編程求解得到：w= {0.0020，0.0450，0.2250，0.5696，0.1584}。

再在此基礎(chǔ)上，在已知居民風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)[α]的條件下，在投資組合中加入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，將投資比例在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間進(jìn)行再分配，最終得到包含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合最優(yōu)解，如表2：

五、結(jié)束語

多目標(biāo)投資組合模型在馬克維茨的均值-方差模型的基礎(chǔ)上繼續(xù)添加目標(biāo)，使模型更加可控。在投資方案的設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)投資模型同時(shí)考慮了客戶對收益和風(fēng)險(xiǎn)的要求，更貼近客戶家庭的實(shí)際需求，從而使得投資組合中股票和債券的比例更加準(zhǔn)確，以便合理分配資金，盡可能地實(shí)現(xiàn)目標(biāo)收益率，從而為家庭資產(chǎn)的投資組合建立和求解的方法選擇給出有價(jià)值的參考。

參考文獻(xiàn)：

[1]雷曉燕，周月剛.中國家庭的資產(chǎn)組合選擇：健康狀況與風(fēng)險(xiǎn)偏好[J].金融研究，2010，（1）：31-45

[2]鄒紅，喻開志.中國城鎮(zhèn)居民家庭資產(chǎn)選擇行為研究[J].金融發(fā)展研究，2010，（9）：13-17

[3]趙曉英，曾令華.我國城鎮(zhèn)居民投資組合選擇的動(dòng)態(tài)模擬研究[J].金融研究，2007，（4）：72-86

[4]汪紅駒，張慧蓮.資產(chǎn)選擇，風(fēng)險(xiǎn)偏好與儲蓄存款需求[J].經(jīng)濟(jì)研究，2006，（6）：48-58

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[7]Viceira， L.M.， 1998， “Optimal consumption and Portfolio choice for Long—horizon Investors”， PHD thesis， Harvard Universityendprint

四、投資組合實(shí)例分析

假設(shè)有5種證券（或股票）可供投資，已知上一年月收益率如表1：

表1 5種可投資證券（或股票）的上一年月收益率（%）

[＼&1月＼&2月＼&3月＼&4月＼&5月＼&6月＼&7月＼&8月＼&9月＼&10月＼&11月＼&12月＼&A＼&9.2＼&10.0＼&9.8＼&9.7＼&10.7＼&10.3＼&9.9＼&9.8＼&10.1＼&10.2＼&9.9＼&10.4＼&B＼&7.4＼&7.4＼&7.5＼&7.6＼&7.3＼&7.0＼&7.3＼&7.2＼&7.4＼&7.3＼&7.1＼&7.4＼&C＼&10.0＼&11.0＼&12.0＼&12.8＼&13.1＼&13.0＼&13.5＼&13.8＼&12.5＼&14.0＼&15.0＼&15.2＼&D＼&7.8＼&7.9＼&8.7＼&8.4＼&7.4＼&8.3＼&8.2＼&8.1＼&8.1＼&7.7＼&8.0＼&7.9＼&E＼&9.0＼&17.4＼&12.0＼&17.0＼&13.0＼&13.6＼&12.8＼&14.4＼&13.2＼&13.8＼&13.0＼&13.5＼&]

由此得出5種證券（或股票）的月平均收益率：[R=（10.0，7.3，13.0，8.0，14.0）T]

[E=0.147-0.0170.311-0.0250.220-0.0170.025-0.0520.001-0.0030.311-0.0522.2780.0230.595-0.0250.0010.0230.0560.1830.220-0.0030.5950.1834.794]

令[R0=10.0]，把數(shù)據(jù)代入模型三，通過Matlab編程求解得到：w= {0.0020，0.0450，0.2250，0.5696，0.1584}。

再在此基礎(chǔ)上，在已知居民風(fēng)險(xiǎn)厭惡參數(shù)[α]的條件下，在投資組合中加入無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，將投資比例在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間進(jìn)行再分配，最終得到包含無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資組合最優(yōu)解，如表2：

五、結(jié)束語

多目標(biāo)投資組合模型在馬克維茨的均值-方差模型的基礎(chǔ)上繼續(xù)添加目標(biāo)，使模型更加可控。在投資方案的設(shè)計(jì)中，多目標(biāo)投資模型同時(shí)考慮了客戶對收益和風(fēng)險(xiǎn)的要求，更貼近客戶家庭的實(shí)際需求，從而使得投資組合中股票和債券的比例更加準(zhǔn)確，以便合理分配資金，盡可能地實(shí)現(xiàn)目標(biāo)收益率，從而為家庭資產(chǎn)的投資組合建立和求解的方法選擇給出有價(jià)值的參考。

參考文獻(xiàn)：

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[2]鄒紅，喻開志.中國城鎮(zhèn)居民家庭資產(chǎn)選擇行為研究[J].金融發(fā)展研究，2010，（9）：13-17

[3]趙曉英，曾令華.我國城鎮(zhèn)居民投資組合選擇的動(dòng)態(tài)模擬研究[J].金融研究，2007，（4）：72-86

[4]汪紅駒，張慧蓮.資產(chǎn)選擇，風(fēng)險(xiǎn)偏好與儲蓄存款需求[J].經(jīng)濟(jì)研究，2006，（6）：48-58

[5]史代敏，宋艷.居民家庭金融資產(chǎn)選擇的實(shí)證研究[J].統(tǒng)計(jì)研究，2005，（10）

[6]Markowitz H. Portfolio selection[J].Journal of finance， 1952， 7：77-91

[7]Viceira， L.M.， 1998， “Optimal consumption and Portfolio choice for Long—horizon Investors”， PHD thesis， Harvard Universityendprint