曲線運動兩類速度問題探討

張磊

摘 要：高考理綜物理題目中，常會考查關聯速度和衛星變軌中的速度大小比較。學生在學習這部分內容的時候沒有理解其原理。在關聯速度上，作者以例題為載體，通過講清兩個疑問的方式，讓學生明白其原理和原則。在變軌中的速度大小比較上，作者提出了從變軌結束后的穩定軌道比較變化前后的速度。

關鍵詞：關聯速度；衛星變軌；速度；高考物理

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）16-092-02

高考理綜物理題目中，曲線運動這一章常會考查關聯速度和衛星變軌中的速度大小比較。這兩類題目都算不上大題，但學生掌握的情況不太好。實際上，學生在學習這部分內容的時候沒有理解其原理，很多時候只是在記結論，這導致了他們在高三復習中再做相關題時，一錯再錯。因此，筆者覺得這部分內容需要一些詳細的梳理。

一、關聯速度問題

快速準確的尋找物體與物體之間速度的關聯關系是速度的合成與分解的難點。對于速度的合成與分解，學生沒有找到像牛頓運動定律一樣的比較“硬”的依據，總感覺這樣分解可以，那樣分解也行，常常無從下手。實際上，分解它也要遵循一定的原則。

1、例題探究

例1，人在岸上以速度vo勻速直線前進，通過定滑輪牽引水面上的小船A靠岸。求：當繩子與水平方向的夾角為θ時，小船運動的速度大小。

分析：

已知量：人以速度vo勻速，則繩收縮的速度（沿繩方向的速度）也是vo

待求量：船的速度v

速度關聯：繩上各點速度與船速似乎都有關系，但繩與船的連接點關聯更明顯，該點速度等于船速，一直為水平方向，但該點也具有繩上其他點的特點：沿繩收縮和垂直于繩轉動。（也可理解為兩個運動效果）

結果：v= /cosθ

疑問1 為什v0么不按水平和豎直兩個方向分解連接點速度？

答：連接點的實際速度本就是水平，沒法水平和豎直分解。

疑問2 為什么不分解繩上其他點，而是分解連接點速度？

答：其它點的實際速度不好找，也不是已知量，無法將已知和未知聯系起來；其它點沿繩方向速度已知且為v0，即使按水平和豎直兩個方向分解該速度，得到的水平速度也小于船速。

2、方法總結

兩個原則：被分解速度必須是實際速度；實際運動的兩個效果互不干擾，假設撤掉一個運動，另一個運動短時間仍存在。

一個分清：合運動和分運動要分清。

一個技巧：選點的速度必須能聯系已知和未知，且它的兩個運動效果易見。

一個結論：一般來說，繩（或桿）兩端沿繩（或桿）方向的速度相等。

3、方法應用

例2，如圖所示，一塊橡皮用細線懸掛于O點，用釘子靠著線的左側，沿與水平方向成30°的斜面向右以速度v勻速運動，運動中始終保持懸線豎直，則橡皮運動的速度（ ）

A.大小為v，方向不變和水平方向成60°

B.大小為 v，方向不變和水平方向成60°

C.大小為2v，方向不變和水平方向成60°

D.大小和方向都會改變

分析：該問題為合成問題，關鍵找到兩個相互獨立的分速度。

已知：繩向上收縮的速度為v，則橡皮向上的分速度為v

待求：橡皮合速度

尋找另一分速度：運動中懸線始終豎直，則釘子在斜面方向始終相對橡皮靜止，則在沿斜面方向橡皮的運動與釘子一樣。（繩不再收縮，橡皮也會隨釘子沿斜面運動）

結果：按平行四邊形法則求出合速度為 v，方向和水平方向成60°

二、衛星變軌中的速度大小比較問題

例3，如圖，Ⅰ為衛星近地軌道，Ⅱ為橢圓軌道，Ⅲ為同步圓軌道，試比較v1 v2 v3 v4的大小。

1、所用知識點

穩定圓軌道運行速度大小比較：根據公式 ，r越大，v越小；

橢圓軌道上近月點速度大于遠月點速度；

萬有引力與向心力關系：

= 圓周運動

> 向心運動

< 離心運動

曲率半徑與曲線彎曲程度關系：曲線越平（下接第93頁）

（上接第92頁）坦，曲率半徑越大；曲線越彎曲，曲率半徑越小。（曲率半徑即為軌道半徑）

2、經典解釋

Ⅰ、Ⅲ軌道為穩定圓軌道，Ⅲ軌道半徑大，運行速率小，則v1> v3；

Ⅱ為橢圓軌道，近月點速度大于遠月點速度，則v2> v3；

又因為在P點和Q點附近加速，以實現變軌，則v2> v1，v4> v3；

綜上，v2> v1>v4> v3。

3、新解釋

經典解釋側重強調變軌過程中存在P點和Q點附近加速這一短暫物理過程，從而得到v2> v1，v4> v3。從數學角度，我們還可以從變軌結束后的穩定軌道角度比較得出這對關系：

在Ⅰ軌道上的P點： =在Ⅱ軌道上的P點： =

其中r為衛星到月心的距離，r1、r2為曲率半徑且r1 v1；

同理，在Ⅱ軌道上的Q點： = 在Ⅲ軌道上的Q點： =

其中為r，衛星到月心的距離，r3、r4為曲率半徑且r3 v3；

又因為Ⅰ、Ⅲ軌道為穩定圓軌道，Ⅲ軌道半徑大，運行速率小，則v1> v3；

Ⅱ為橢圓軌道，近月點速度大于遠月點速度，則v2> v3；

綜上，v2> v1>v4> v3。

三、結束語

筆者在高三復習課的授課過程中，補充了上述的解釋。學生加深了對關聯速度原理和原則的了解，提高了對衛星變軌過程的“萬有引力提供向心力”的認識，解決了難以理解的問題。

參考文獻：

[1] 甄學霞，李 興.衛星變軌中幾個速度大小的比較[J].物理教學探討，2011，29（421）：41-42.

摘 要：高考理綜物理題目中，常會考查關聯速度和衛星變軌中的速度大小比較。學生在學習這部分內容的時候沒有理解其原理。在關聯速度上，作者以例題為載體，通過講清兩個疑問的方式，讓學生明白其原理和原則。在變軌中的速度大小比較上，作者提出了從變軌結束后的穩定軌道比較變化前后的速度。

關鍵詞：關聯速度；衛星變軌；速度；高考物理

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）16-092-02

高考理綜物理題目中，曲線運動這一章常會考查關聯速度和衛星變軌中的速度大小比較。這兩類題目都算不上大題，但學生掌握的情況不太好。實際上，學生在學習這部分內容的時候沒有理解其原理，很多時候只是在記結論，這導致了他們在高三復習中再做相關題時，一錯再錯。因此，筆者覺得這部分內容需要一些詳細的梳理。

一、關聯速度問題

快速準確的尋找物體與物體之間速度的關聯關系是速度的合成與分解的難點。對于速度的合成與分解，學生沒有找到像牛頓運動定律一樣的比較“硬”的依據，總感覺這樣分解可以，那樣分解也行，常常無從下手。實際上，分解它也要遵循一定的原則。

1、例題探究

例1，人在岸上以速度vo勻速直線前進，通過定滑輪牽引水面上的小船A靠岸。求：當繩子與水平方向的夾角為θ時，小船運動的速度大小。

分析：

已知量：人以速度vo勻速，則繩收縮的速度（沿繩方向的速度）也是vo

待求量：船的速度v

速度關聯：繩上各點速度與船速似乎都有關系，但繩與船的連接點關聯更明顯，該點速度等于船速，一直為水平方向，但該點也具有繩上其他點的特點：沿繩收縮和垂直于繩轉動。（也可理解為兩個運動效果）

結果：v= /cosθ

疑問1 為什v0么不按水平和豎直兩個方向分解連接點速度？

答：連接點的實際速度本就是水平，沒法水平和豎直分解。

疑問2 為什么不分解繩上其他點，而是分解連接點速度？

答：其它點的實際速度不好找，也不是已知量，無法將已知和未知聯系起來；其它點沿繩方向速度已知且為v0，即使按水平和豎直兩個方向分解該速度，得到的水平速度也小于船速。

2、方法總結

兩個原則：被分解速度必須是實際速度；實際運動的兩個效果互不干擾，假設撤掉一個運動，另一個運動短時間仍存在。

一個分清：合運動和分運動要分清。

一個技巧：選點的速度必須能聯系已知和未知，且它的兩個運動效果易見。

一個結論：一般來說，繩（或桿）兩端沿繩（或桿）方向的速度相等。

3、方法應用

例2，如圖所示，一塊橡皮用細線懸掛于O點，用釘子靠著線的左側，沿與水平方向成30°的斜面向右以速度v勻速運動，運動中始終保持懸線豎直，則橡皮運動的速度（ ）

A.大小為v，方向不變和水平方向成60°

B.大小為 v，方向不變和水平方向成60°

C.大小為2v，方向不變和水平方向成60°

D.大小和方向都會改變

分析：該問題為合成問題，關鍵找到兩個相互獨立的分速度。

已知：繩向上收縮的速度為v，則橡皮向上的分速度為v

待求：橡皮合速度

尋找另一分速度：運動中懸線始終豎直，則釘子在斜面方向始終相對橡皮靜止，則在沿斜面方向橡皮的運動與釘子一樣。（繩不再收縮，橡皮也會隨釘子沿斜面運動）

結果：按平行四邊形法則求出合速度為 v，方向和水平方向成60°

二、衛星變軌中的速度大小比較問題

例3，如圖，Ⅰ為衛星近地軌道，Ⅱ為橢圓軌道，Ⅲ為同步圓軌道，試比較v1 v2 v3 v4的大小。

1、所用知識點

穩定圓軌道運行速度大小比較：根據公式 ，r越大，v越小；

橢圓軌道上近月點速度大于遠月點速度；

萬有引力與向心力關系：

= 圓周運動

> 向心運動

< 離心運動

曲率半徑與曲線彎曲程度關系：曲線越平（下接第93頁）

（上接第92頁）坦，曲率半徑越大；曲線越彎曲，曲率半徑越小。（曲率半徑即為軌道半徑）

2、經典解釋

Ⅰ、Ⅲ軌道為穩定圓軌道，Ⅲ軌道半徑大，運行速率小，則v1> v3；

Ⅱ為橢圓軌道，近月點速度大于遠月點速度，則v2> v3；

又因為在P點和Q點附近加速，以實現變軌，則v2> v1，v4> v3；

綜上，v2> v1>v4> v3。

3、新解釋

經典解釋側重強調變軌過程中存在P點和Q點附近加速這一短暫物理過程，從而得到v2> v1，v4> v3。從數學角度，我們還可以從變軌結束后的穩定軌道角度比較得出這對關系：

在Ⅰ軌道上的P點： =在Ⅱ軌道上的P點： =

其中r為衛星到月心的距離，r1、r2為曲率半徑且r1 v1；

同理，在Ⅱ軌道上的Q點： = 在Ⅲ軌道上的Q點： =

其中為r，衛星到月心的距離，r3、r4為曲率半徑且r3 v3；

又因為Ⅰ、Ⅲ軌道為穩定圓軌道，Ⅲ軌道半徑大，運行速率小，則v1> v3；

Ⅱ為橢圓軌道，近月點速度大于遠月點速度，則v2> v3；

綜上，v2> v1>v4> v3。

三、結束語

筆者在高三復習課的授課過程中，補充了上述的解釋。學生加深了對關聯速度原理和原則的了解，提高了對衛星變軌過程的“萬有引力提供向心力”的認識，解決了難以理解的問題。

參考文獻：

[1] 甄學霞，李 興.衛星變軌中幾個速度大小的比較[J].物理教學探討，2011，29（421）：41-42.

摘 要：高考理綜物理題目中，常會考查關聯速度和衛星變軌中的速度大小比較。學生在學習這部分內容的時候沒有理解其原理。在關聯速度上，作者以例題為載體，通過講清兩個疑問的方式，讓學生明白其原理和原則。在變軌中的速度大小比較上，作者提出了從變軌結束后的穩定軌道比較變化前后的速度。

關鍵詞：關聯速度；衛星變軌；速度；高考物理

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）16-092-02

高考理綜物理題目中，曲線運動這一章常會考查關聯速度和衛星變軌中的速度大小比較。這兩類題目都算不上大題，但學生掌握的情況不太好。實際上，學生在學習這部分內容的時候沒有理解其原理，很多時候只是在記結論，這導致了他們在高三復習中再做相關題時，一錯再錯。因此，筆者覺得這部分內容需要一些詳細的梳理。

一、關聯速度問題

快速準確的尋找物體與物體之間速度的關聯關系是速度的合成與分解的難點。對于速度的合成與分解，學生沒有找到像牛頓運動定律一樣的比較“硬”的依據，總感覺這樣分解可以，那樣分解也行，常常無從下手。實際上，分解它也要遵循一定的原則。

1、例題探究

例1，人在岸上以速度vo勻速直線前進，通過定滑輪牽引水面上的小船A靠岸。求：當繩子與水平方向的夾角為θ時，小船運動的速度大小。

分析：

已知量：人以速度vo勻速，則繩收縮的速度（沿繩方向的速度）也是vo

待求量：船的速度v

速度關聯：繩上各點速度與船速似乎都有關系，但繩與船的連接點關聯更明顯，該點速度等于船速，一直為水平方向，但該點也具有繩上其他點的特點：沿繩收縮和垂直于繩轉動。（也可理解為兩個運動效果）

結果：v= /cosθ

疑問1 為什v0么不按水平和豎直兩個方向分解連接點速度？

答：連接點的實際速度本就是水平，沒法水平和豎直分解。

疑問2 為什么不分解繩上其他點，而是分解連接點速度？

答：其它點的實際速度不好找，也不是已知量，無法將已知和未知聯系起來；其它點沿繩方向速度已知且為v0，即使按水平和豎直兩個方向分解該速度，得到的水平速度也小于船速。

2、方法總結

兩個原則：被分解速度必須是實際速度；實際運動的兩個效果互不干擾，假設撤掉一個運動，另一個運動短時間仍存在。

一個分清：合運動和分運動要分清。

一個技巧：選點的速度必須能聯系已知和未知，且它的兩個運動效果易見。

一個結論：一般來說，繩（或桿）兩端沿繩（或桿）方向的速度相等。

3、方法應用

例2，如圖所示，一塊橡皮用細線懸掛于O點，用釘子靠著線的左側，沿與水平方向成30°的斜面向右以速度v勻速運動，運動中始終保持懸線豎直，則橡皮運動的速度（ ）

A.大小為v，方向不變和水平方向成60°

B.大小為 v，方向不變和水平方向成60°

C.大小為2v，方向不變和水平方向成60°

D.大小和方向都會改變

分析：該問題為合成問題，關鍵找到兩個相互獨立的分速度。

已知：繩向上收縮的速度為v，則橡皮向上的分速度為v

待求：橡皮合速度

尋找另一分速度：運動中懸線始終豎直，則釘子在斜面方向始終相對橡皮靜止，則在沿斜面方向橡皮的運動與釘子一樣。（繩不再收縮，橡皮也會隨釘子沿斜面運動）

結果：按平行四邊形法則求出合速度為 v，方向和水平方向成60°

二、衛星變軌中的速度大小比較問題

例3，如圖，Ⅰ為衛星近地軌道，Ⅱ為橢圓軌道，Ⅲ為同步圓軌道，試比較v1 v2 v3 v4的大小。

1、所用知識點

穩定圓軌道運行速度大小比較：根據公式 ，r越大，v越小；

橢圓軌道上近月點速度大于遠月點速度；

萬有引力與向心力關系：

= 圓周運動

> 向心運動

< 離心運動

曲率半徑與曲線彎曲程度關系：曲線越平（下接第93頁）

（上接第92頁）坦，曲率半徑越大；曲線越彎曲，曲率半徑越小。（曲率半徑即為軌道半徑）

2、經典解釋

Ⅰ、Ⅲ軌道為穩定圓軌道，Ⅲ軌道半徑大，運行速率小，則v1> v3；

Ⅱ為橢圓軌道，近月點速度大于遠月點速度，則v2> v3；

又因為在P點和Q點附近加速，以實現變軌，則v2> v1，v4> v3；

綜上，v2> v1>v4> v3。

3、新解釋

經典解釋側重強調變軌過程中存在P點和Q點附近加速這一短暫物理過程，從而得到v2> v1，v4> v3。從數學角度，我們還可以從變軌結束后的穩定軌道角度比較得出這對關系：

在Ⅰ軌道上的P點： =在Ⅱ軌道上的P點： =

其中r為衛星到月心的距離，r1、r2為曲率半徑且r1 v1；

同理，在Ⅱ軌道上的Q點： = 在Ⅲ軌道上的Q點： =

其中為r，衛星到月心的距離，r3、r4為曲率半徑且r3 v3；

又因為Ⅰ、Ⅲ軌道為穩定圓軌道，Ⅲ軌道半徑大，運行速率小，則v1> v3；

Ⅱ為橢圓軌道，近月點速度大于遠月點速度，則v2> v3；

綜上，v2> v1>v4> v3。

三、結束語

筆者在高三復習課的授課過程中，補充了上述的解釋。學生加深了對關聯速度原理和原則的了解，提高了對衛星變軌過程的“萬有引力提供向心力”的認識，解決了難以理解的問題。

參考文獻：

[1] 甄學霞，李 興.衛星變軌中幾個速度大小的比較[J].物理教學探討，2011，29（421）：41-42.