用彎曲法和SPSS標定鐵片的楊氏模量

丁韻 王新春 葉青 王昆林 司民真

摘要：使用楊氏模量測試儀及讀數顯微鏡，應用胡克定律，從理論上推導出系統的附加質量與系統各長度和重力加速度的綜合量具有線性關系。采用彎梁法，逐步增減負重砝碼的測量方案測量數據，引入SPSS的線性估計功能分析實驗數據，得到系統的附加質量與系統各長度和重力加速度的綜合量的定標曲線，并驗證出系統附加質量與系統綜合量之間存在的線性關系，由此標定出鐵片的楊氏模量，用置信概率為95%的不確定度，對測量的數據和實驗結果進行分析與評估，最終得到更為可靠合理的實驗結果。

關鍵詞：彎曲法；讀數顯微鏡；SPSS線性估計；不確定度分析；楊氏模量

中圖分類號：04-33 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）33-0126-02

楊氏模量是表征固體材料性質的重要物理量[1]，是工程技術中機械構件選材時的重要參數[2]，也是大學物理實驗的重要內容之一。楊氏模量的測定是大學物理實驗中的一個重要實驗[3]。在傳統的彎梁法[4]基礎之上，逐步形成了一些新的實驗方法[5-7]，但這些新的實驗方法普遍存在著實驗系統相對復雜、實驗成本較高的情況，或者易受外界環境（溫度、濕度、電磁）的影響。因此，高等學校實驗教材中普遍采用的還是傳統的彎梁法的實驗方法，但由于傳統的彎梁法存在著處理實驗數據的方法較為陳舊，實驗結果使用的是不確定的置信概率較低的現象（68.3%的正態分布）。為此，引入SPSS[8]曲線估計功能去分析實驗數據，試圖減小人為因素和儀器因素帶來的偶然誤差和系統誤差，提高對實驗數據及實驗結果分析的精度，用置信率為95%的不確定度（七分布）對實驗數據及其結果進行評價，可得到更為合理的實驗結果。

一、實驗儀器

1.實驗裝置（見圖1）。

2.實驗安裝及調試。通過底板三個角上的水平調節螺絲，用水準器觀察，使底板調整到水平位置。將橫梁穿入砝碼銅刀口內，并安放在兩立柱的正中央位置，使砝碼盤下的限位桿垂直插入限位器內，防止砝碼盤的過度擺動。將讀數顯微鏡安裝在顯微鏡架上，調節讀數顯微鏡目鏡，直到眼睛觀察鏡內的十字線和數字清晰，同時觀察能否通過讀數顯微鏡清楚地看到銅刀口上的基線，再轉動讀數旋鈕使刀口的基線與讀數顯微鏡內十字刻線的水平線吻合。調節好儀器就可以進行測量，但要注意在加減砝碼時，砝碼輕拿輕放，盡量不要碰到實驗裝置。

二、實驗原理

測量原理。測量原理如圖2所示，將橫梁厚度為x，橫梁寬度為y的銅片放在相距為l的二刀刃上，在梁上l/2處系上質量為m的砝碼，使梁彎曲。掛砝碼處由于外力作用而下降的位移變化量為ΔZ。在梁受力彎曲達到平衡時，根據胡克定律可推演鐵片的楊氏模量，由下式[9]決定：E=■（1），考察（1）式，設各位移與重力加速度的綜合量δ=■，則（1）式可簡化為m=Eδ （2）。

實驗中，用物理天平測定mi。用米尺測得l，螺旋測微器測得x、y，用讀數顯微鏡讀取Zi，從而可得系統各長度與重力加速度的綜合量（δi）。應用SPSS的曲線估計功能，試圖去分析系統的附加質量（mi）與系統各長度與重力加速度的綜合量（δi）之間的線性相關性，由此標定出鐵片的楊氏模量，并對其不確定度進行估算。

三、對楊氏模量的不確定度分析[10]

若直接測量為a，其不確定度可由A、B類進行評定。測量列平均值的標準偏差為：u■=■ （3）

對于A類分量，實驗中測量次數為7次，此時測量結果服從t分布，tp為與一定置信概率相聯系的置信因子，當p=0.95時，tp=2.45，則：u■=2.34u■ （4），（4）式中的a可以分別表示l、x、y、ΔZ。

對于B類分量，若其誤差極限為Δ，kp為一定置信概率下相應分布的置信因子，Δ為儀器精度，C為相應分布的置信系數，若儀器誤差服從均勻分布C=■，當p=0.95時，kp=1.96，那么u■=1.96■ （5），（5）式中的a可以分別表示l、x、y、ΔZ。

直接測量為a的合成不確定度為：

u■=■ （6）

根據（2）式u■=■，可得E的相對不確定度為：

u■=■■ （7）

四、測量數據及線性分析

1.測量數據及其結果。

2.用SPSS分析mi-δi定標曲線。

將表3實驗結果輸入SPSS軟件中，應用SPSS中的線性估計功能，以系統附加砝碼質量（mi）為因變量，以各長度和重力加速度的綜合量（δi）為自變量，可得定標曲線方程為：

■ （8）

所得其定標曲線如圖3所示。

五、對楊氏模量不確定度的估算

根據圖3的m-δ定標曲線，在直線上適當的位置取樣δ1、m1，δ2、m2，合理估算E的不確定度。由（8）式可得：

u■=■ （9）

在圖3上δ1、m1，δ2、m2取值可得：E=■ （10）

由上式可得：u■=■ （11）

由圖3取樣點結合（9）、（10）、（11）可得楊氏模量的實驗結果見下表。

從測量原理所得的（2）式可知，只要測量條件允許，理論上，系統附加砝碼質量（m）與系統各長度和重力加速度的復合量（δ）應該具有線性關系，若能從實驗的角度研究出mi-δi的關系曲線，必然可以證明系統附加砝碼（m）與系統各長度和重力加速度的復合量（δ）存在線性關系，從而可以較為直觀地標定出鐵片的楊氏模量，這在彎梁法的測量原理上具有一定的創新性。

由表3實驗數據，利用SPSS的曲線估計功能得定標方程（8）式及其圖3的m-δ定標曲線圖。驗證了系統附加砝碼（m）系統各長度與負重的復合量（δ）具有線性關系，實驗所得定標方程（8）式及圖3實驗曲線與理論分析的（2）式具有一致性。

由表3數據，應用SPSS線性估計功能得到定標方程（8）式，得到鐵片的楊氏模量為1.88×1011N·m-2，對比通過查看手冊[11]所得鐵片楊氏模量E=1.85×1011N·m-2，二者具有較好吻合度，表明所擬合的m-δ直線是客觀的。

為了能較好的實現實驗數據線性分析的合理性。應保證銅片盡量平直，實驗選擇最小本底為掛鉤砝碼10kg，負重砝碼（mi）以每組20kg為標準遞增（或遞減），所對應的豎直方向上的位移Zi從0.658mm變化到2.054mm，可以推算出位移Zi的變化量ΔZ從0.202mm變化到1.396mm。由圖3可看出表2測量的數據可靠性較高，從而使得測量結果、實驗結果更為合理。

查手冊的鋼絲的楊氏模量為1.87×1011N·m-2，對照表4所得鐵片楊氏模量的實驗結果為1.88×1011N·m-2，二者吻合度較高。尤其查看表4中楊氏模量的實驗結果，由該實驗方案所得楊氏模量的實驗值只在千分位上可疑，而以往采用的實驗方案所得楊氏模量的實驗值一般為十分位或百分位上可疑。表明應用SPSS的曲線分析估計標定的楊氏模量，是可以顯著提高測量數據及實驗結果的分析精度，且數據的處理過程及結果較為直觀有效。因此，該實驗方案具有一定的推廣價值。

參考文獻：

[1]劉超，蒲玉萍，等.硅鋁復合材料楊氏模量有限元計算研究[J].粉末冶金工業，2013，23（4）：50-53.

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[11]楊述武，等.普通物理實驗1（力學、熱學部分）[M].第四版.北京：高等教育出版社，2007：48-50.