信賴域方法在高超聲速飛行器建模中的應用

謝金龍, 陸宇平, 劉燕斌, 彭福軍

(1.南京航空航天大學 航天學院, 江蘇 南京 210016;2.上海宇航系統(tǒng)工程研究所 上海市空間飛行器機構重點實驗室, 上海 200030)

0 引言

NASA對高超聲速飛行器的研究已經(jīng)有很長時間,但鮮有關于高超聲速飛行器建模的文獻。文獻[1]建立的首個可分析動態(tài)氣動推進/氣動彈性變形高超模型采用牛頓理論分析二維高超聲速氣動力;2005年,美國空軍研究實驗室提出了考慮推進系統(tǒng)、氣動、結構動力學模塊之間相互作用的飛行器模型[2]。上述模型的建立均采用理論分析法。2009年,Colgren等[3]在之前分析的基礎上,結合風洞試驗數(shù)據(jù)和CFD代碼分析結果,建立了高超聲速飛行器氣動數(shù)據(jù)庫,代表了高超聲速飛行器建模的最前沿。結構、氣動力系統(tǒng)和推進系統(tǒng)之間的相互作用導致飛行器運動方程之間的耦合非常復雜。本文采用信賴域方法構建了飛行器的曲線擬合模型,通過仿真計算驗證了擬合模型與真實模型的相似程度。

1 吸氣式高超聲速飛行器模型

Bolender等[4]在文獻[1]所建模型的基礎上構建了高超聲速飛行器真實模型,其縱向幾何構型如圖1所示。基于拉格朗日公式得到高超聲速飛行器縱向動力學模型為:

(1)

本文稱式(1)為真實模型,為控制器設計仿真和驗證提供了豐富的模型。為便于模型分析,需要推導出一個簡化的曲線擬合模型,并保留真實模型的必要特性。借鑒早期剛性飛行器建模工作[5],對模型作如下近似:

(2)

圖1 高超聲速飛行器模型幾何構型Fig.1 Geometry of the hypersonic vehicle model

其中:

CM,δe=ceδe

式中,ρ為空氣密度,可以通過查表、樣條插值擬合得到。

2 信賴域方法

飛行器模型曲線擬合的本質即非線性規(guī)劃問題,解決非線性規(guī)劃最簡單的方法是最速下降法。最速下降法具有總體收斂性,但其收斂速度得不到保證。另一種常用的方法是牛頓法,該方法將目標函數(shù)f(x)二次泰勒展開,并將其極小化。牛頓法保證了算法的局部收斂性,但是算法本身不具備總體收斂性[6]。為了解決這一問題,Powell[7]于1970年提出了信賴域方法,其基本思想是以當前迭代點為中心定義一個鄰域,在該鄰域內對近似于原問題的簡單模型求極值,并將該鄰域稱為信賴域。該方法確定一個步長上界hk,并由此定義xk的鄰域Ωk:

Ωk={x|‖x-xk‖≤hk} (3)

信賴域法既有牛頓法的快速局部收斂性,又有理想的總體收斂性,同時通過控制步長避免了傳統(tǒng)線搜索方法因步長過大導致算法發(fā)散的問題,因此在非線性優(yōu)化問題方面應用非常廣泛。

(4)

式中,x為擬合過程的初始值;F(x)為均方差。最優(yōu)化的目標是找到合適的x,使F(x)取最小值。最優(yōu)化的過程是在初始值x的信賴域范圍內,找到一個新的點,使得準則函數(shù)F(x)更小。本文算法為基于內部映射牛頓算法的信賴域子空間方法[7],在信賴域范圍內采用一個更簡單的函數(shù)G來近似表達準則函數(shù)F(x):

(5)

其中:

s=xi+1-xi

gi=grad(F)=(F)

式中,s為試探步,表示二次子問題的近似解;Hf為Hessian矩陣2F(x)的對稱近似;Di為縮放矩陣;hi為信賴域的大小。

如果Hf的特征值λ≥0,則Hf+λI是正定的,式(8)是有意義的:

‖(Hf+λI)-1s‖=h(8)

采用喬里斯基分解[8]計算試探步s;如果Hf的特征值為負,則采用Hebden算法[9]計算試探步s。

3 仿真驗證及結果分析

為了檢驗曲線擬合模型的擬合效果,選取狀態(tài)參數(shù)取值范圍如下:α∈[-5°,+5°],Ma∈[6,12],H∈[26,30] km,δe∈[-20°,20°],Φ∈[0.1,1.0]。

3.1 模型辨識

對于吸氣式高超聲速飛行器,采用式(2)建立數(shù)學模型,但模型中CL和CD等系數(shù)的模型結構是未知的,需要對模型結構進行辨識。為了評估模型的準確性,引入方差比率VAF。

(9)

對CL和CD使用方差比率VAF作為性能指標,觀察在模型階次為一階、二階以及二階包含交叉項的情況下的擬合效果。通過擬合數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn),在一階情況下,升力模型VAF已經(jīng)能夠達到較高精度,而阻力模型則必須采用二階模型。在包含交叉項的情況下,升力模型精度有較明顯的提高,而阻力模型并不明顯。力矩模型中包含CM,α和CM,δe兩個待辨識系數(shù)。同樣使用VAF作為性能指標,觀察模型階次不同時的擬合效果。通過擬合計算發(fā)現(xiàn):CM,α為二階模型時精度較高,而CM,δe從一階模型到二階模型的精度幾乎沒有變化。

對于需要辨識模型系數(shù)βi(H,q)的推力模型結構,對比性能指標可以看出,一階模型的精度已經(jīng)較高,而隨著模型階次的提高,所需要的參數(shù)數(shù)量顯著增加,大大增加擬合時間的同時還導致算法發(fā)散,因此βi(H,q)采用一階模型進行擬合。

為了更直觀地觀察模型的擬合效果,本文采用Matlab仿真工具生成了升力系數(shù)、阻力系數(shù)、力矩系數(shù)和推力系數(shù)的擬合圖形,結果如圖2所示。

由圖2可以看出,由于采用了較好的擬合模型,擬合精度非常高,其中力矩系數(shù)和升力系數(shù)的擬合情況最好,推力系數(shù)和阻力系數(shù)的擬合存在不足,這可能是因為擬合模型本身并不能完全反映真實模型,可以通過改變初始阻力和推力的模型形式或者改變相應模型的系數(shù)來解決。

3.2 擬合模型的靜態(tài)特性分析

為了了解曲線擬合模型對真實模型的擬合程度,首先考察擬合模型的靜態(tài)特性。飛行器控制相關的靜態(tài)特性主要是飛行器平飛狀態(tài)下配平點的狀態(tài)。在Matlab環(huán)境下,對剛體氣動模型進行配平,其平衡狀態(tài)如表1所示。

表1 剛體模型平衡狀態(tài)Table 1 Equilibrium point of rigid model

由表1可以看出,當飛行器在指定高度和馬赫數(shù)飛行時,剛體模型的配平迎角、發(fā)動機輸入(化學當量比)和舵面均處于合理值,這也說明了該構型是合理的。

3.3 擬合模型的動態(tài)特性分析

對于動態(tài)特性,一般考慮對系統(tǒng)進行雅可比線性化,求出線性化系統(tǒng)的零點和極點。模型的零極點分布如圖3所示。

圖3 零、極點分布圖Fig.3 Pole/zero transmission maps

由圖3可以看出,模型短周期模態(tài)為一正一負,與虛軸幾乎成鏡像分布。長周期模態(tài)幾乎靠近虛軸,接近中性穩(wěn)定;同樣與虛軸幾乎成鏡象分布的傳輸零點,則證明了尾控型飛行器的共同特征——非最小相位特性。擬合模型與真實模型的零極點分布非常相似,較好地捕捉到了真實模型的動態(tài)特性。

4 結論

(1)曲線擬合模型很好地反映了真實模型升力、阻力、推力以及力矩的變化趨勢,通過改善模型形式,擬合效果有可能進一步提高。

(2)通過對擬合模型的靜、動態(tài)特性分析發(fā)現(xiàn),擬合模型在不同狀態(tài)下的平衡點均在合理范圍內,說明構型是合理的。

(3)由模型的零極點分布圖可以看出,擬合模型能夠捕捉到真實模型的動態(tài)特性。

(4)曲線擬合模型的形式比真實模型更加簡單,同時能夠捕捉到真實模型的重要特性。利用簡化的曲線擬合模型,后續(xù)的控制器設計將更加靈活。

參考文獻：

[1] Chavez F,Schmidt D.Analytical aeropropulsive aeroelastic hypersonic vehicle model with dynamic analysis[J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,1994,17(6):1308-1319.

[2] Bolender M A,Doman D B.Nonlinear longitudinal dynamical model of an air-breathing hypersonic vehicle [J].Journal of Spacecraft and Rockets,2007,44(2):374-387.

[3] Colgren R,Keshmiri S,Mirmirani M.Nonlinear ten-degree-of-freedom dynamics model of a generic hypersonic vehicle[J].Journal of Aircraft,2009,46(3):800-813.

[4] Bolender M,Doman D.A non-linear model for the longitudinal dynamics of a hypersonic air-breathing vehicle[R].AIAA-2005-6255, 2005.

[5] Wang Q,Stengel R.Robust nonlinear control of a hypersonic aircraft [J].Journal of Guidance,Control,and Dynamics,2000,23(4):577-585.

[6] 袁亞湘,孫文瑜.最優(yōu)化理論與方法[M].北京:科學出版社,1997.

[7] Powell M J D.A new algorithm for constrained optimization[M].New York:Academic Press,1970:31-66.

[8] Coleman T F,Li Yu-ying.An interior,trust region approach for nonlinear minimization subject to bounds [J].SIAM Journal on Optimization,1996,6(2):418-445.

[9] Coleman T F,Li Yu-ying.On the convergence of reflective newton methods for large-scale nonlinear minimization subject to bounds [J].Mathematical Programming,1994,67(1-3):189-224.