Matlab軟件在矩陣運算教學中的應用

楊淑菊 YANG Shu-ju；宋愛蘋 SONG Ai-ping

（云南經濟管理職業學院，昆明650304）

線性代數是現代數學的重要分支，是解決線性問題的重要工具，它的理論和方法廣泛應用于物理、化學、工程技術、計算機等各個學科領域中，是理工科學生的一門公共必修課，目前一般的線性代數教材以理論為主導思想，偏重理論體系的完整性，過多強調證明和推理，再加上該課程本身所固有的抽象性和邏輯性，計算的繁瑣性，使得學生學起來費時費力，造成學之后無法應用的尷尬局面。矩陣是線性代數中一個重要的內容，學生學習矩陣的目的是學會利用矩陣這個工具區解決實際中的問題，而實際中的問題涉及到的矩陣規模比較大，筆算非常冗繁，直接影響到了問題的求解。Matlab軟件是由美國Mathworks公司于1984推出的科技應用軟件，具有強大的數值計算和符號計算，計算結果和編程可視化等優點。線性代數中幾乎所有的運算都可用Matlab簡單編程實現，教學中采取用低階矩陣的演算講授有關的理論，對高階矩陣用Matlab軟件處理的教學方法。這樣做可提高學生應用計算機和數學知識解決實際問題的能力。下面以矩陣的乘方、特征值和特征向量為例，說明Matlab軟件應用過程。

例：某地區對城鄉人口流動做年度調查，發現有一個穩定的往城鎮流動的趨勢：①每年農村居民的2.5%移居城鎮。②每年城鎮居民的1%移居農村。

假定城鄉的總人口數保持不變，現在總人口的60%住在城鎮，并且人口流動的這一種趨勢保持不變，那么一年以后住在城鎮的人口所占比例為多少？20年后的比例是多少？多年后的比例為多少？

則一年之后，城鎮與農村的分布為：

clear;A=[0.99 0.025;0.01 0.975];X=[0.6;0.4];for i=1:20;X=A*X;end;X20

運行結果為：x20=（0.66，0.34）′，該結果表明 20 年后，總人口的65.82%住在城鎮，總人口的34.18%住在農村。考慮多年后城鄉人口平衡時的比例，只需在Matlab的命令窗口再輸入：X=[0.6;0.4];C=[1 1]';n=0;while X～=C;C=X;n=n+1;X=A*X;end;format rat;X,n

用Matlanb的eig(A)命令可求矩陣A的特征值和特征向量，只需在Matlab中輸入：clear;A=[0.99 0.025;0.01 0.975];[P,T]=eig(A),format rat;

根據上面的分析，只需在Matlab命令窗口輸入：

上述問題是簡單人口的遷移模型，該模型還可用于研究我國當前農村的城鎮化和與城市化過程中農村人口與城市人口的遷移問題。這個模型還可廣泛應用于生態學、經濟學和工程學的許多領域。教學中讓學生用同樣的方法去解決生態學、經濟學、工程學中的相應問題，能提高學生數學建模能力。

從上面實例可以看出，線性代數中很多冗繁的筆算計算問題在Matlb中只需要一條簡單的命令就可以解決。可見Matlab是求解線性代數問題的強大工具，將其融入線性代數教學中不僅能激發學生的興趣，又能培養學生解決問題的能力，為學生后續課程中應用線性代數知識打下了良好的基礎，也為線性代數教學適應信息化社會提供了良好的借鑒作用。

[1]吳贛昌，線性代數[M].中國人民大學出版社，2010.

[2]朱旭，李換琴，籍萬新.MATLAB軟件與基礎數學實驗[M].西安交通大學出版社，2008.

[3]林晶.Matlab在線性代數教學中的實現[J].數學學習與研究，2011(03).