一個Lagrange中值定理問題的變形與推廣

摘要：掌握好Lagrange中值定理是學好微分中值定理的關鍵。通過一道題目的求解、變形和推廣，得到了新的結論，推廣了文獻中的結論，增加了中值定理問題的趣味性。

關鍵詞：介值定理；微分中值定理；Lagrange定理

中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）10-0084-02

Roll定理、Lagrange定理和Cauchy定理三個微分中值定理是高等數學的重點和難點，而Roll定理是Lagrange定理的特例，Cauchy定理是Lagrange定理的變形推廣，因此，掌握好Lagrange中值定理是學好微分中值定理的關鍵。在全國大學生數學競賽和研究生入學考試中經常會有微分中值定理的問題，這就需要深化微分中值定理問題的研究。本文討論了一類Lagrange中值定理問題的證明、變形和推廣。

一、問題原形[1]

設函數f（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且有f（0）=0，f（1）=1，試證明：對任意的正數a，b，存在兩點ξ，η∈（0，1）使得■+■=a+b

二、問題求解

證法一 對任意的正數a，b，■∈（0，1）由連續函數的介值定理得存在x0∈（0，1）使得f（x0）=■

對函數f（x）在[0，x0]，[x0，1]上分別運用Lagrange中值定理，得存在兩點ξ∈（0，x0）？奐（0，1），η∈（x0，1）？奐（0，1）使得f'（ξ）x0=f（x0）-f（0）=■，①

f'（η）（1-x0）=f（1）-（x0）=■.②

①+②并整理得■+■=a+b

證法二 對任意的正數a，b，■∈（0，1）且1-■=■.對函數f（x）在[0，■]，[■，1]上分別運用Lagrange中值定理，得存在兩點ξ∈（0，■）？奐（0，1）

η∈（■，1）？奐（0，1），使得

f'（ξ）■=f（■）-f（0）， ①

f'（η）（1-■）=f（1）-f（■）. ②

①+②得af'（ξ）+bf'（η）=a+b

證法一顯然是對的，可是也不能判定證法二錯誤，雖然證法二沒得到要證明的結論，卻得到了另有意義的結論。因此原問題就可以變為：

設函數f（）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且有f（0）=0，f（1）=1試證明：對任意的正數a，b，存在兩點ξ，η∈（0，1）使得

（1）■+■=a+b；（2）af'（ξ）+bf'（η）=a+b

三、問題推廣

（一）在原問題改變之后，若令λ1=■，λ2=■可得：

函數f（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且有f（0）=0，f（1）=1試證明：對任意的正數λ1，λ2，λ1+λ2=1存在兩點 ξ，η∈（0，1），使得

（1）■+■=1；（2）λ1f'（ξ）+λ2f'（η）=1

在結論中，令λ1=λ2=■，得（1）■+■=2；

（2）f'（ξ）+f'（η）=2

其中（1）為文[2]的問題一的最終結果，（2）為問題二的結論。

（二）推廣

函數f（x）在[0，1]上單增連續，在（0，1）內可導，且有f（0）=0，f（1）=1，試證明：對任意的正數λ1，λ2，L，λn，λ1+λ2+L+λ2=1存在ξ1，ξ2，L，ξn∈（0，1），使得

（1）■+■+L+■=1；

（2）λ1f'（ξ1）+λ2f'（ξ2）+L+λnf'（ξn）=1

證明 （1）任取0<τ1<τ2

f'（ξ1）x1=f（x1）-f（0）=τ1，

f'（ξ2）（x2-x1）=f（x2）-f（x1）=τ2-τ1，

…….

f'（ξn）（1-xn-1）=f（1）-f（xn-1）=1-τn-1

上述式子相加得■+■+L+■+■=1

令λ1=τ1，λ2=τ2-τ1，λn-1=τn-1-τn-2，λn=1-τn-1，則λ1，λ2，L，λn，均為任意正數且λ1+λ2+L+λn=1.上式變為 ■+■+L+■=1

得證。

（2）的證明結合證法二和上述過程可得，略去。

當λ1=λ2=L=λ2=■時，（1）變為■+■+L+■=n即為文[2]的第一主要結果；（2）變為f'（ξ1）+f'（ξ2）+L+f'（ξn）即為文[2]的第二主要結果。

四、結論

通過一個問題的變形和求解，得到了不同的解答，使得Lagrange中值定理問題變得生動有趣，推廣了文獻中的結果。

參考文獻：

[1]吳贛昌.高等數學[M].北京：中國人民大學出版社，2009.

[2]野金花，徐艷，杜文賀.關于一類Lagrange中值定理問題的推廣[J].黑龍江八一農墾大學學報，2011，（12）：69-70.

基金項目：本論文得到山東省高等學校青年骨干教師國內訪問學者項目經費資助？搖濱州學院教學研究項目——BYJYYB201121。

作者簡介：竇慧（1974-），女，山東惠民人，講師，碩士，研究方向：數學教育和微分方程。