一類排隊博弈的均衡分析

盧美華，方玲玲

(江西科技學院，330098，南昌)

一類排隊博弈的均衡分析

盧美華1，方玲玲2*

(江西科技學院，330098，南昌)

擴展一般排隊模型為經濟排隊模型，把博弈論方法嵌入到經典排隊模型中來，分析了一類排隊均衡。結合現實問題分析了排隊博弈均衡的現實意義，對一些廣泛存在于醫療排隊和競爭問題給出了一些解決方法。

排隊論；排隊博弈；均衡分析

0 引言

自1910年A K Erlang提出排隊論以來，經典排隊論取得了豐碩成果，研究了各類到達和服務特征下隊長、排隊長、時間和費用等問題，并推進到應用層面上，廣泛應用于計算機網絡、生產經濟、交通運輸、庫存等資源共享的隨機服務系統。經濟學上排隊是分配稀缺商品、服務、資源的典型方法，由此，Naor[1]在1969年率先提出排隊經濟學(Economics of Queues)，研究了怎樣管理和控制可視M/M/1排隊系統的問題，Naor也發現可視排隊系統中個體決策會背離預設社會整體利益最好的列隊機制，預示策略性相機行為，這要求把博弈理論嵌入到排隊系統中來。Lippman 和Stidham[2]較早分析了顧客間博弈行為(服務機構不參與博弈)。由此博弈嵌入排隊系統形成排隊博弈(Queueing Game)廣泛的研究，見R Hassin[3]、B Nalebuff[4]、C Larsen[5]、Wei Sun[6]等工作。這些文獻偏重于數理排隊理論，考慮服務機構間的市場博弈更能深入實際，解釋現實問題而不僅是數理推導。

考慮現實問題，廣泛的服務機構處于競爭市場，顧客具有差異性偏好。例如，醫療市場顯然是競爭的，就我國醫療系統而言，為何廣泛的顧客集中到省級醫院而縣級醫院卻業務量十分稀少(除去經濟和醫療技術方面的原因，某些競爭策略也是重要根源)。事實上，一些常規疾病完全可以在縣級醫院得到優質的治療，而到省城醫院可能是過分的治療。同時，我國醫療系統在身份上也差異化了顧客，公費/自費醫療、社保/醫保醫療等，不同身份顧客在約束下具有偏好差異定位，也由此形成一些顧客沒有得到應有的醫療服務。民航和鐵路(高鐵)提供了差異性交通服務，也構成服務機構的市場博弈。這類排隊博弈廣泛存在，顧客進入服務市場的機制卻都可以用排隊數理模型刻畫。本文從多服務主體出發，在市場既定到達機制下顧客偏好均勻分布條件下，分析多服務主體間博弈策略和均衡，由此進入服務福利分析，并回到現實問題給出調節市場的政策建議。

1 基本Queueing Game模型設計

排除具體行業服務特性，本文假設顧客群體隨機進入競爭性服務市場，市場有2家服務公司，是排隊博弈的局中人集合g={i,j}，整個服務系統流程結構如圖1刻畫。

圖1 排隊博弈時序結構

顧客源有3個基本特征，在(0,t)時段內到達服務市場的顧客數服從泊松分布，其分布列為P{X=k} =(λt)kexp(-λt)/k!。顧客具有服務偏好異質定位x(作為顧客標號)，偏好定位可標準化映射到[0,1](稱為偏好定位空間)，顧客偏好均勻分布在定位空間上，服務公司提供固定定位的服務(未必在顧客偏好x上)，由此顧客產生偏好的移動成本，一單位的偏好移動成本為d。顧客從服務中獲得效用為a，排除服務價格p、排隊期望成本g、偏好移動成本d后形成凈效用函數U(p,g,d,g)，顧客凈效用函數由這4個要素決定。

2個服務公司集合g={i,j}，設公司i提供服務位于偏好定位空間[0,1]的左端0上，公司j的服務定位于右端1上。pi、pj分別是2家公司服務的價格，同時i、j兩公司分別為各自的服務能力承擔成本ciμi、cjμj，ci、cj為2個公司提高服務能力的單位成本，i、j兩公司服務顧客的時間分別為服從參數為μi、μj的負指數分布(μi、μj也是2個博弈公司單位時間內服務期望人數,它刻畫著公司服務能力)。公司i、j承擔服務能力的成本后，博弈分割服務市場的顧客流，λi、λj為公司i、j的凈到達率，兩公司服務顧客都運行M/M/1排隊，都實行先到先服務(FCFS規則)。公司i、j可能依據不同博弈參數形成不同類型，如果公司i、j分擔的顧客源沒有重疊，則兩公司是非市場爭奪型；如果公司i、j分擔的顧客源部分重疊，則兩公司是市場爭奪型。

顧客獲取不同公司服務就進入不同的排隊系統，設h為顧客在服務系統中耗時的單位成本，顧客進入公司i或j的排隊期望成本分別為gi、gj，gi=h/(μi-λi)、gj=h/(μj-λj)，其中1/(μi-λi)、gj=1/(μj-λj)分別是公司i和j中顧客期望逗留時間(包括等待時間和服務時間)，μi=(h/gi+λi)、μj=(h/gj+λj)。為方便處理，特別利用子博弈簡化方法，可以把顧客獲取不同公司i、j的服務價格和排隊期望成本合并為不同公司的總價格Ti、Tj，Ti=pi+gi、Tj=pj+gj(是顧客承擔的總價格)。顧客x獲取公司i、j的服務分別產生偏好移動成本di、dj，di=dx、dj=d(1-x)。

顧客x獲取i公司服務的凈效用U(p,g,d,g)簡記為Ui(x,Ti)=a-Ti-dx。

顧客x獲取j公司服務的凈效用U(p,g,d,g)簡記為Uj(x,Tj)=a-Ti-d(1-x)。

在非市場爭奪型公司下，由Ui(x,Ti)=a-Ti-dx=0，確定x=(a-Ti)/d，偏好定位空間x左端全為公司i市場份額(份額為x)，從而公司i的顧客實際到達率λi=λ(a-Ti)/d。由Uj(x,Tj)=0,則a-Tj-d(1-x)=0，得x=1-(a-Tj)/d，偏好定位空間中x的右端全為公司j的市場份額(份額為1-x=y)，y=(a-Ti)/d。公司j的顧客實際到達率λj=λ(a-Tj)/d。非市場爭奪型公司條件為x+y<1，此時到達市場某部分顧客并不去獲取任何公司服務。

x+y>1下公司是市場爭奪型，中位顧客xm滿足Ui(xm,Ti)=Uj(xm,Tj)，中位顧客為xm=1/2+(Tj-Ti)/2d。由效用Ui(x,Ti)、Uj(x,Tj)的連續性，中位顧客xm左右兩端分別為公司i、公司j的市場份額，此時公司i的顧客實際到達率λi=λxm；公司j的顧客實際到達率λj=λ(1-xm)；市場爭奪型公司完全分擔服務市場的顧客到達率。作為直接參與排隊博弈的公司i、j，目標函數就是最大化單位時間上的服務期望利潤,由基本模型設計，公司i的目標函數為Li(pi,μi)=λipi-ciμi；公司j的目標函數為Lj(pj,μj)=λjpj-cjμj。公司策略是配置服務能力和服務價格。

2 Queueing Game模型分析

顧客特征是決定服務市場的前件，如果一單位偏好移動成本d充分大，部分或全部顧客獲取任何一個公司的服務后的凈效用為負，從而不會尋求服務就離開市場。這就形成市場隔離，那么參與博弈的公司是非市場爭奪型。

命題1：在d足夠大的前提下，以至x+y<1，參與博弈的公司是非市場爭奪型。

以上命題說明非市場爭奪公司可以由服務系統的成本結構外生決定，但仍可由公司策略內生性形成非市場爭奪。公司進行市場爭奪，必須降低pi、pj，提高服務能力μi、μj以降低gi、gj，如果導致單位時間利潤小于非市場爭奪時利潤時，公司會內生性選擇非市場爭奪。

給定公司j的總價格Tj，均衡分析先分析公司i的策略。公司i的顧客到達率由市場份額決定，為λi=λ(a-Ti)/d，服務能力成本為ciμi，由gi=h/(μi-λi)可得μi=λi+h/gi。

公司i面臨問題：max(pi,μi)Li(pi,μi)=λipi-ciμi

s.t：(a-Ti)/d+(a-Tj)/d<1。

變換目標函數max(pi,μi)Li(pi,μi)=λipi-ciμi和約束(a-Ti)/d+(a-Tj)/d<1形式為：

max(pi,gi)Li(pi,gi)=(λ/d)(a-Ti)(Ti-gi-ci)-ci(λi+h/gi)

(1)

s.t：2a-d-Tj≤Ti≤a

maxLi(Ti)=(λ/d)[(a-Ti)(Ti-ci)-2(dhci/λ(a-Ti))1/2]

(2)

s.t：2a-d-Tj≤Ti≤a

式(2)中Ti=a仍然可以是最優解，因為Ti在約束區間上，式(2)可能全取到負值，而Ti=a公司i不會吸引任何顧客也不會承受成本，至少不會承受負利潤。顯然，式(2)中(a-Ti)(Ti-ci)關于Ti是嚴格凹的，dhci/λ充分大式(2)就不會正值。公司i內生地服務公司j全部的剩余市場，或選擇Ti=a總價格，本質上都是最大化問題取到“角點解”而已，由此可得以下命題。

命題2：有競爭力的服務價格可提高公司市場份額，大市場份額擴大顧客排隊期望成本，服務價格和排隊期望成本策略互補，如果任何一個公司最大化單位時間利潤可能取到角點解，那么2個公司是內生非市場爭奪型的。

考察公司i最優單位時間利潤問題的內點解，式(1)仍然適用逆向歸納方法，第一次優化策略是固定Ti條件下公司選擇最優的gi，實際上就是確定服務價格和服務能力的配置關系，然后考察單位時間利潤對Ti的反應，只需考察式(2)對Ti導數。

?Li(Ti)/?Ti=(λ/d)(a-2Ti+ci+(dhci/λ)1/2/(a-Ti)1/2)

(3)

(4)

由式(4)可確定Li(Ti)關于Ti的凹凸區間，凹區間為[2a-d-Ti,a-(dhci/16λ)1/3]，凸區間為[a-(dhci/16λ)1/3,a]，雖然式(3)并不能解出最優單位時間利潤問題的顯式內點解(Wei Sun2010年以及其他廣泛的排隊文獻的數值模擬方法求解)，但可直接驗證凸區間上不存在最優解。所以，若式(2)有最優內點解，則內點解是凹區間內唯一的。

命題3:由式(2)界定的內生非市場爭奪型服務公司在策略排隊中，若存在內點解，則內點解唯一。由于公司非市場爭奪，所以公司服務的總價格由顧客的市場特征決定，但公司仍然具有配置服務價格和服務能力之間的策略選擇。

以上推導中，如果2個公司服務成本對稱，那么均衡策略中價格相等，總服務價格也相等，2個公司平分市場，可以發現(2hci/λ)1/2正是公司服務每個顧客的成本中的能力空置成本。

市場爭奪策略依賴于服務價格和服務能力，2個公司自然市場部分重疊就是x+y>1，x=1-(a-Tj)/d<(a-Ti)/d=x,存在中位顧客xm,x=1-(a-Tj)/d

max(pi,μi)Li(pi,μi,Tj)=λipi-ciμi=piλxm-ci(λxm+h/gi)

s.t： max{y,0}

同樣，公司i先配置服務價格和服務能力，為此，把最大化單位時間上期望利潤處理為：

max(Ti,gi)Li(Ti,gi,Tj)=(λ/2d)(Ti-gi-ci)(Tj-Ti+d)-hci/gi

s.t： max{Tj-d,0}≤Ti≤min{2a-Tj-d,Tj+d}

max(Ti)Li(Ti,Tj)=(λ/2d)[(Ti-ci)(Tj-Ti+d)-2(dhci(Tj-Ti+d)/λ)1/2]

(5)

s.t： max{Tj-d,0}≤Ti≤min{2a-Tj-d,Tj+d}

上式約束中，約束區間非緊，可能導致最大值不存在，但無論Ti→2a-Tj-d或Ti→Tj+d，公司i都逐步退出全部市場，可退化為非市場爭奪型，Ti→Tj+d所有市場都暴露在競爭之下，左端點顧客從公司i獲得凈效用逼近于從競爭公司中獲得的效用a-(Tj+d)；而Ti→2a-Tj-d時，左端點顧客從公司i獲得凈效用a-Ti-dx=a-(2a-Tj-d)=Tj+d-a將在更早退出公司i的服務。公司i以Tj-d為總價格會和競爭公司所有市場重合?？疾焓?5)的內點解，式(5)對Ti的兩階偏導數為：

?Li(Ti,Tj)/?Ti=(λ/2d)(Tj-2Ti+d+ci+(2dhci/λ)1/2/(Tj-Ti+d)1/2)

(6)

(7)

式(7)說明式(5)的目標函數對Ti是可劃分凹凸區間的?？芍苯域炞C凸區間不存在最優解，凹區間為[max{Tj-d,0}，min{2a-Tj-d,Tj+d-1/2(dhci/λ)1/3}]。若式(5)存在內點解，則內點解必在凹區間上唯一。

命題4：由式(5)界定的市場爭奪型服務公司在策略排隊中，若存在內點解，則內點解必在凹區間上唯一的存在。由于公司市場爭奪，公司服務的總價格由市場特征和競爭公司的總價格決定。公司首先配置服務價格和服務能力，可能在凸區間退化為非市場爭奪型。

由兩單個公司的策略組合成排隊博弈的策略對，一組Nash均衡策略是({pi,gi},{pj,gj})取值——給定對方策略取值后任何公司不會單方面改變策略取值。由于價格和時間等待成本是同等地進入顧客的效用函數，這里排隊博弈只需分析總價格，本質上這是子博弈分析方法。在既定的總價格下，公司配置服務價格和服務能力不會改變外部顧客和競爭公司的行為，并且服務價格和服務能力的最優配置方式是唯一的。由以上4個命題可得如下。

命題5：在d足夠大條件下，x+y<1，基本排隊博弈存在唯一Nash均衡策略；在其他情況下，總價格表述的排隊博弈存在Nash均衡策略，那么原排隊博弈存在Nash均衡策略；總價格表述的排隊博弈Nash均衡策略唯一，那么原排隊博弈Nash均衡策略唯一。無論λi=λ(a-Ti)/d，λj=λ(a-Tj)/d或λi=λxm、λj=λ(1-xm)(其中xm=1/2+(Tj-Ti)/2d)都是關于Ti和Tj的連續可微函數，經過服務價格和服務能力最優配置后的利潤在廣泛的情況下都在存在最大值，排隊博弈的Nash均衡策略存在，并且都在相應的凹區間上唯一存在。

在一些極端參數下不存在Nash均衡策略，也在部分可視排隊下，公司類型確定后存在策略均衡，G P Cachon和P T Harker(1999)給出了各種參數條件下的給種類型均衡存在性。由于具體參數并不能總顯式解出具體的均衡策略，但廣泛的文獻都給出了均衡策略的仿真。而分析這些均衡結果的經濟根源就顯得尤其重要。

3 結論和政策建議

排隊博弈的結論解釋了一些排隊競爭中廣泛特異現象。在社會福利水平上，非市場爭奪型可能存在部分顧客得不到服務，而市場爭奪性公司會服務整個市場，說明市場爭奪提高了社會總福利水平。這也解釋了當前我國醫療體制下為何一

些顧客不能獲得醫療服務，雖然同一城市的醫院處于市場爭奪中，但不同區域的醫院(特別是縣級醫院)是處于市場隔離的，所以一些縣級醫院沒有動力提高服務水平。由基本模型中角點最優解可知，即使是政府投入較多公共資源，縣級醫院也面臨嚴重的公共醫療任務，仍然會選擇不提高服務能力的邊界策略。由內點均衡在凹區間存在的唯一性可知，排隊博弈均衡具有一定穩定性。由于顧客的偏好定位，幾乎沒有顧客愿意下沉到縣級醫院獲取醫療服務，而是一致上浮到省級醫院形成擁擠和過度醫療，這一現象仍將廣泛存在。而改變這一局面在改變顧客偏好定位，克服過度醫療，醫院用特殊分流和適應顧客定位，設置各類層次的醫院，特別是設置各類特色和特長的?？漆t院。同時政府應保障基礎醫療，放開自我需求性醫療，形成良好的社會辦醫局面。

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EquilibriumAnalysisofaClassQueuingGame

LU Meihua1,FANG Lingling2*

(Jiangxi University of Technology,330098,Nanchang,PRC)

This paper extends the general queuing model for economic queuing model.The game theory approach is embedded into classical queuing model to analyze some queuing game′s equilibrium.This paper analysis queuing equilibrium and practical significance,combined with practical problems,some solutions is gived for some wide issues in the medical queuing and competition.

queuing Theory;queuing game;equilibrium analysis

2014-09-01;

2014-10-15

盧美華(1978-)，女，理學碩士，講師，主要研究運作理論、模糊數學、控制理論。

江西科技學院高等數學精品課程建設階段成果(編號:KC0801)；江西省考試院十二五規劃課題資助項目“排隊論模型及應用的研究”(編號:1360)。

*通訊作者：方玲玲，女，講師，碩士，研究方向：運作理論、模糊數學、控制理論。

10.13990/j.issn1001-3679.2014.06.023

O225

A

1001-3679(2014)06-0850-05