幾種反常積分的應用

朱烈浪，胡建根

(江西農業大學理學院，330045，南昌)

幾種反常積分的應用

朱烈浪，胡建根

(江西農業大學理學院，330045，南昌)

反常積分；無窮級數；中心極限定理

1 反常積分f(x)dx

例如：設隨機變量X服從正態分布N(μ,σ2),(σ>0)，證明：E(X)=μ,D(X)=σ2。

從而E(X2)=μ2+σ2，由D(X)=E(X2)-[E(X)]2，則D(X)=μ2+σ2-μ2=σ2。

另外，在學習高等數學無窮級數這一章內容時，利用反常積分可以判斷某些無窮級數斂散性，方法簡單且效果好。

2 反常積分f(x)dx

應用1：求解某些定積分。

其中：X1,X2…Xn,…是獨立的且具有相同分布的隨機變量序列，且有數學期望和方差：E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2≠0(i=1,2,…)。由此得到，如果隨機變量X服從B(n,p)，當n很大時，有

(1)

例如：在一家保險公司里有10 000人參加保險，每人每年付12元保險費，1年內1個人死亡的概率為0.006，死亡時其家屬可向保險公司領得1 000元，問：保險公司虧本的概率有多大?

解：設X表示1年內參保人的死亡數，則X～B(10 000,0.006)(二項分布)，要使保險公司虧本，必須滿足12×10 000-1 000X<0，即X>120，由式(1)，則有

即保險公司虧本的概率為0[3]。

3 反常積分f(x)dx

4 結束語

以上介紹的是3種反常積分在數學中的應用；除此外，反常積分在物理學及工程學等也有廣

[1]同濟大學.高等數學[M].北京:高等教育出版社,1996:328-329.

[2]盛驟.概率論與數理統計[M].北京:高等教育出版社,2010:11.

[3]王東紅.大數定理和中心極限定理在保險業中的重要應用[J].數學的實踐與認識,2005(10):132-133.

[4]郭學軍.高等數學[M].北京:科學出版社,2012:137.

SeveralApplicationsofImproperIntegral

ZHU Lielang,HU Jiangen

(Institute of Science,Jiangxi University of Agricultural,330045,Nanchang,PRC)

In this article,we give three types of applications of infinite limit improper integral in probability and statistics.For Γ(α) and Φ(x) example,we introduce applications of improper integral in probability and mathematical statistics,we use improper integral to judge the divergence of infinite series;to calculate some definite integral and to verify some conclusions in normal distribution.It can be seen that improper integral is not only a mathematical concept,but it actually is also a kind of mathematical method.

improper integral;infinite series;central limit theorem

2014-06-25;

2014-07-28

朱烈浪(1969-)，男，江西南昌人，副教授，碩士，從事概率統計教學工作。

10.13990/j.issn1001-3679.2014.04.018

O211.4

A

1001-3679(2014)04-0501-03