高層隔震結(jié)構(gòu)實(shí)空間解耦及地震作用取值分析

李創(chuàng)第, 陳歐陽, 葛新廣 , 李 暾, 鄒萬杰, 薛建朝

(1. 廣西科技大學(xué) 土建學(xué)院，廣西 柳州 545006；2. 廣西大學(xué) 土建學(xué)院，南寧 530004)

地震作用取值是抗震設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，我國抗震規(guī)范采用反應(yīng)譜法計(jì)算地震作用。近年來，隔震技術(shù)已應(yīng)用于高層結(jié)構(gòu)[1～3]。由于高層隔震結(jié)構(gòu)具有非經(jīng)典高阻尼，且需要考慮多振型影響，其工程分析體系具有非對稱質(zhì)量和非經(jīng)典阻尼性質(zhì)[1]，無法通過經(jīng)典實(shí)模態(tài)法解耦。盡管多高層隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)分析有精確的復(fù)數(shù)域和近似的實(shí)數(shù)域兩類分析法，現(xiàn)有的多高層隔震結(jié)構(gòu)地震作用分析法主要基于三種近似實(shí)數(shù)域響應(yīng)分解法，即：① 強(qiáng)行振型解耦法[3-5]；② 等效阻尼比解耦法[2]；③ 拉氏變換與實(shí)振型分解組合法[6-8]。

基于強(qiáng)行解耦的分析法是目前廣泛采用的方法[3-5]，其實(shí)質(zhì)是完全忽略非經(jīng)典阻尼矩陣的耦聯(lián)，對結(jié)構(gòu)強(qiáng)行解耦后，按經(jīng)典結(jié)構(gòu)近似組合計(jì)算；基于等效阻尼比解耦的分析法是忽略振型間的交叉阻尼，運(yùn)用Hamilton原理，獲得振型近似等效阻尼比，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)解耦后，按經(jīng)典結(jié)構(gòu)計(jì)算[2]；基于拉氏變換與實(shí)振型組合的地震作用取值分析，其實(shí)質(zhì)是先將隔震結(jié)構(gòu)兩位移響應(yīng)分量近似分解為系列標(biāo)準(zhǔn)振子的位移與擬速度的線性組合，然后基于3個假設(shè)計(jì)算地震作用[6, 7]，即：① SRSS組合，不考慮各種相關(guān)性；② 位移譜、速度譜、擬速度譜在小阻尼成立的相互關(guān)系適用于高阻尼；③ 速度譜在長周期段基本為常數(shù)的性質(zhì)適用于短周期段。事實(shí)上，上述3個假設(shè)均不嚴(yán)格成立，特別是假設(shè)②，在高阻尼時誤差相當(dāng)大[9]，同時擬速度響應(yīng)也不是物理意義明確的真實(shí)響應(yīng)，將使結(jié)構(gòu)組合分析復(fù)雜化。

最近的研究表明：用于判斷各種實(shí)數(shù)域近似法精度與適用范圍的各種定量指標(biāo)[10-11]并不具有一般性，非經(jīng)典阻尼矩陣耦聯(lián)指標(biāo)小并不一定能保證近似解耦的誤差小[12-13]；同時，為提高結(jié)構(gòu)近似組合計(jì)算精度，基于白噪聲激勵的結(jié)構(gòu)近似相關(guān)組合系數(shù)應(yīng)修正為基于與反應(yīng)譜對應(yīng)的功率譜的改進(jìn)近似相關(guān)組合系數(shù)[14]。因此，上述現(xiàn)有的多高層隔震結(jié)構(gòu)地震作用分析法均建立在近似響應(yīng)與近似組合分析之上，且近似響應(yīng)分析并不一定能保證計(jì)算精度，需建立高層隔震結(jié)構(gòu)基于精確響應(yīng)與精確組合分析之上的地震作用分析法。

本文首先建立非對稱非經(jīng)典結(jié)構(gòu)響應(yīng)的實(shí)空間精確解耦法，將高層隔震結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)方差在實(shí)空間上精確分解為系列標(biāo)準(zhǔn)振子的位移與速度響應(yīng)方差的線性組合，然后利用系列標(biāo)準(zhǔn)振子最大響應(yīng)與反應(yīng)譜的對應(yīng)關(guān)系，建立高層隔震結(jié)構(gòu)基于精確響應(yīng)與精確組合分析之上基于反應(yīng)譜的地震作用取值解析解法。

1 高層隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)實(shí)空間精確解耦

圖1 結(jié)構(gòu)計(jì)算簡圖

(1a)

(1b)

將位移向量x0按高層結(jié)構(gòu)多振型展開，即：

(N≤n)

(2)

并設(shè)Mi、ξ0i、ω0i、ri，(i=1～N)，分別為振型Φi對應(yīng)的廣義質(zhì)量、阻尼比、圓頻率和振型參與系數(shù)，則方程(1)可化為：

(3)

式中：

(4a)

c=diag[2ξ01ω01… 2ξ0Nω0N2ξbωb]

(4a)

(4b)

x=[x1…xm]T=[x1…xNxb]T

(4c)

r=[r1…rm]T=[r1…rN1]T

(4d)

(4e)

(4f)

式(3)是非對稱質(zhì)量與非經(jīng)典阻尼方程，實(shí)模態(tài)法無法解耦，但可用實(shí)空間法解耦。

方程(3)的2m=2N+2個復(fù)特征根λj及其對應(yīng)的右、左復(fù)特征向量uj、vj可由下列方程確定[15]：

det[D(λ)]=det[mλ2+cλ+k]=0

(5a)

D(λj)uj=0;D(λj)Tvj=0

(j=1～2m)

(5b)

u=[u1u2…um]

(6a)

v=[v1v2…vm]

(6b)

λ=diag[λj]，(j=1～m)

(6c)

(6d)

則根據(jù)復(fù)模態(tài)法理論[15]，方程(3)可解耦為：

(7)

式中：

(8)

令：

(9)

則有：

(10)

式中：I為m階單位陣，p1(t)、p2(t)均為m維待求向量。將式(10)代入式(7)，前乘w，并利用：

(11)

經(jīng)化簡，可得：

(12a)

(12b)

式中：

(j=1～m)

(13a)

(13b)

(13c)

(13d)

Re表示取復(fù)數(shù)的實(shí)部。

對方程(12)取拉氏變換，可得：

(14a)

(14b)

α=Tr=[α1…αm]T

(15a)

β=Rr=[β1…βm]T

(15b)

δ(t)=[δ1(t) …δm(t)]T

(16a)

(j=1～m)

(16b)

則由式(14) ～ (16)及拉氏變換，可得：

(17a)

(17b)

故由式(6d)、式(10)、式(17)，得結(jié)構(gòu)響應(yīng)為：

(18a)

(18b)

式中：

(19a)

B2=[B2kj]=A0diag[βj]+B0diag[αj-2ξjωjβj]

(19b)

(19c)

G2=D0diag[βj]+G0diag[αj-2ξjωjβj]

(19d)

(20a)

(20b)

(20c)

(20d)

由于矩陣A2、B2、D2、G2均為實(shí)矩陣，顯然式(18)和式(16)構(gòu)成了非對稱非經(jīng)典結(jié)構(gòu)響應(yīng)的實(shí)空間精確解耦，將結(jié)構(gòu)位移與速度響應(yīng)在實(shí)空間上精確表示為物理上可實(shí)現(xiàn)的真實(shí)系列標(biāo)準(zhǔn)振子的位移與速度響應(yīng)的線性組合。

2 高層隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差標(biāo)準(zhǔn)振子精確分解

由式(18b)，廣義位移響應(yīng)x(t)的各分量為：

(k=1～N+1)

(21)

故由式(2)，高層結(jié)構(gòu)與隔震層的各層層間相對位移si(t)為：

si(t)=x0,i-x0,i-1=

(i=1～n)

(22a)

sn+1(t)=xb(t)=xN+1(t)=

(22b)

式中：Φi,k和Φi-1,k分別為振型Φk的第i及第(i-1)個分量；

(23a)

(23b)

φn+1,j=A2(N+1)j;ψn+1,j=B2(N+1)j

(23c)

故由式(22)和標(biāo)準(zhǔn)振子方程(16b)以及隨機(jī)振動頻域法，得隔震結(jié)構(gòu)各層間位移分量的平穩(wěn)響應(yīng)方差為：

(i=1～n+1)

(24)

aijk=φijφikbijk=ψijψik

(25a)

cijk=φijψikdijk=ψijφik

(25b)

(26a)

(26b)

(26c)

經(jīng)簡化得：

(27)

式中：

N(ω)=N0+N2ω2+N4ω4+N6ω6

(28)

(29)

顯然，式(29)中aijk、bijk、(dijk-cijk)，(j≠k)分別表示標(biāo)準(zhǔn)振子的位移、速度和位移與速度各自之間的互相關(guān)影響。

由于N(ω)是ω的6次多項(xiàng)式，故可進(jìn)行恒等變換：

(30)

式中：Jijk、Lijk、Qijk、Wijk為待求常數(shù)。由于：

(31a)

(31b)

將式(31)代入式(30)，并比較方程(30)兩邊關(guān)于ω0、ω2、ω4、ω6的系數(shù)，得：

(32)

式中：

(33)

求解四元一次方程組(32)，即求得常數(shù)Jijk、Lijk、Qijk、Wijk，其具體表達(dá)式已列入文獻(xiàn)[16]。

故由式(26)、(27)、(30)，得隔震結(jié)構(gòu)各層間位移分量響應(yīng)方差精確分解為系列標(biāo)準(zhǔn)振子位移與速度響應(yīng)方差線性組合的解析式為：

(i=1～n+1)

(34)

式中：I1j、I2j分別是標(biāo)準(zhǔn)振子(16b)的位移與速度響應(yīng)方差，即：

(j=1～N+1)

(35a)

(j=1～N+1)

(35b)

由于相關(guān)組合系數(shù)Jijk、Lijk、Qijk、Wijk是通過恒等變換解析獲得，是結(jié)構(gòu)相關(guān)組合系數(shù)取值的解析解，不產(chǎn)生任何誤差，均比現(xiàn)有基于方程(16b)與白噪聲激勵假設(shè)或反應(yīng)譜對應(yīng)的功率譜激勵假設(shè)[14]所獲得的近似相關(guān)組合系數(shù)更精確合理。

3 基于反應(yīng)譜的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)響應(yīng)

3.1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)響應(yīng)計(jì)算式

由于設(shè)計(jì)響應(yīng)值simax(t)(i=1～n+1)是響應(yīng)的最大值，故它可取為峰值因子Cf與響應(yīng)si(t)的標(biāo)準(zhǔn)差的乘積，即：

(36)

式中：R1j和R2j分別是標(biāo)準(zhǔn)振子δj(t)的最大地震位移與速度響應(yīng)的平方，即：

(37a)

(37b)

其中：j=1～N+1。故結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)響應(yīng)simax(t)的計(jì)算，歸結(jié)于R1j和R2j的(j=1～N+1)計(jì)算。

3.2 系列標(biāo)準(zhǔn)振子的R1j(ωj, ξj)和R2j(ωj, ξj)計(jì)算

R1j(ωj,ξj)和R2j(ωj,ξj)是下列二階標(biāo)準(zhǔn)振子的位移譜Sd(ωj,ξj)和速度譜Sv(ωj,ξj)的平方，即：

(38)

(39a)

(39b)

其中：j=1～N+1。由于文獻(xiàn)[17]已經(jīng)建立了由抗震規(guī)范加速度譜計(jì)算位移譜和速度譜的方法，故R1j(ωj,ξj)和R2j(ωj,ξj)可由規(guī)范直接計(jì)算，即：

(40a)

(40b)

式中：α(ωj,ξ=5%)為規(guī)范加速度譜中周期Tj=2π/ωj、阻尼比ξ=5%所對應(yīng)的地震響應(yīng)系數(shù)；Bd和Bv分別是位移譜和速度譜的阻尼影響因子，即：

(41)

文獻(xiàn)[18]已給出各種ωj、ξj所對應(yīng)的Bd和Bv取值。

總之，求出R1j(ωj,ξj)和R2j(ωj,ξj)，(j=1～N+1)之后，由式(36)即得結(jié)構(gòu)基于規(guī)范反應(yīng)譜的最大地震極值響應(yīng)simax(t) ，(i=1～n+1)。

4 高層隔震結(jié)構(gòu)地震作用取值

4.1 地震作用新定義

對于常規(guī)結(jié)構(gòu)，我國抗震規(guī)范將地震作用定義為結(jié)構(gòu)在地震響應(yīng)過程中產(chǎn)生的最大慣性力，其依據(jù)是在小阻尼假設(shè)情況下，加速度譜與位移譜存在對應(yīng)比例關(guān)系，將此地震作用作為等效靜態(tài)荷載作用于結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的等效靜態(tài)位移和剪力等于結(jié)構(gòu)在地震響應(yīng)過程中所產(chǎn)生的位移和剪力響應(yīng)的最大值[19]。由于隔震結(jié)構(gòu)具有長周期和高阻尼性能，不滿足規(guī)范關(guān)于地震作用定義的小阻尼適用條件，即不能保證上述靜態(tài)地震作用產(chǎn)生的靜態(tài)效應(yīng)等于實(shí)際地震動態(tài)效應(yīng)的最大值，因此有必要重新定義隔震結(jié)構(gòu)的地震作用。

由于結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)的安全取決于地震激勵在結(jié)構(gòu)內(nèi)產(chǎn)生的最大地震位移響應(yīng)和內(nèi)力響應(yīng)(剪力、彎矩、軸力等)小于相應(yīng)設(shè)計(jì)允許限值，而相應(yīng)的抗震設(shè)計(jì)允許限值是基于材料的標(biāo)準(zhǔn)靜力試驗(yàn)而得[20]，因此，等效靜態(tài)地震作用包含速度相關(guān)的阻尼力是不合適的，又因?yàn)樽畲蟮卣饍?nèi)力效應(yīng)與結(jié)構(gòu)最大地震位移響應(yīng)存在靜力學(xué)對應(yīng)關(guān)系，故結(jié)構(gòu)實(shí)際地震響應(yīng)產(chǎn)生的最大動態(tài)效應(yīng)和結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)的安全完全取決于結(jié)構(gòu)的最大地震位移響應(yīng)。相對于結(jié)構(gòu)的加速度或絕對加速度響應(yīng)而言，結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)更具有本質(zhì)特性，因?yàn)槊恳粫r刻的結(jié)構(gòu)內(nèi)力響應(yīng)與同時刻的位移響應(yīng)是線性相關(guān)的，每一時刻的內(nèi)力響應(yīng)均可從同一時刻的位移響應(yīng)按結(jié)構(gòu)的靜力分析而獲得，而加速度或絕對加速度響應(yīng)則不存在上述對應(yīng)關(guān)系。因此，按靜態(tài)效應(yīng)與最大動態(tài)效應(yīng)的等效原則，等效靜態(tài)地震作用的本質(zhì)定義是地震激勵所產(chǎn)生的結(jié)構(gòu)最大位移響應(yīng)所對應(yīng)的等效靜態(tài)荷載與等效靜態(tài)內(nèi)力。

4.2 高層隔震結(jié)構(gòu)基于最大位移響應(yīng)的地震作用取值

由于已求得高層隔震結(jié)構(gòu)隔震層最大相對地面位移響應(yīng)xbmax=s(n+1)max，以及隔震層上部高層結(jié)構(gòu)各層最大層間位移響應(yīng)simax(i=1～n)，故高層隔震結(jié)構(gòu)隔震層等效靜態(tài)地震剪力作用VEb和上部高層結(jié)構(gòu)各層層間等效靜態(tài)地震剪力VEi作用分別為：

VEb=kbxbmax=kbs(n+1)max

(42a)

VEi=k0isimax(i=1～n)

(42b)

求出VEb和VEi之后，即可對高層隔震結(jié)構(gòu)進(jìn)行等效靜態(tài)抗震設(shè)計(jì)。

圖2 隔震層位移響應(yīng)(ξb=0.15)

圖3 頂層位移響應(yīng)(ξb=0.15)

5 算 例

某20層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)房屋，建在地震烈度I=8°，Ⅱ類場地土上，設(shè)計(jì)分組第二組，Tg=0.4 s。隔震層及其上部框架結(jié)構(gòu)的層間質(zhì)量和剛度見表1，結(jié)構(gòu)第一至第三自振頻率和阻尼比分別為：ω01=4.364 6(1/s)、ξ01=0.05；ω02=11.881 3(1/s)、ξ02=0.05；ω03=18.989 2(1/s)、ξ03=0.05。

(1) 采用200gal EI-centro(1940，S400E)作為輸入地震波，隔震層阻尼比ξb=0.05、0.10、0.15、0.20；分別用實(shí)空間解耦法和復(fù)模態(tài)法進(jìn)行時程響應(yīng)分析，兩種方法計(jì)算結(jié)果完全相同。限于篇幅，僅列出隔震層相對地面位移和上部結(jié)構(gòu)頂層相對隔震層位移在ξb=0.15時的時程響應(yīng)結(jié)果，如圖2和圖3所示。

(2) 取譜密度為S0=0.013 87 (m2/s3)的白噪聲作為平穩(wěn)隨機(jī)地震動激勵，分別用實(shí)空間解耦法和復(fù)模態(tài)法進(jìn)行隔震結(jié)構(gòu)各層層間位移響應(yīng)方差分析，計(jì)算結(jié)果如表1所示(其中方差(Ⅰ)是用實(shí)空間解耦法所得結(jié)果，方差(Ⅱ)是用復(fù)模態(tài)法所得結(jié)果)。從中可以看出兩種方法計(jì)算結(jié)果完全相同。

(3) 基于現(xiàn)行抗震規(guī)范反應(yīng)譜的多遇地震作用下，隔震層相對地面位移和上部框架結(jié)構(gòu)各層相對位移最大值以及隔震層結(jié)構(gòu)各層相應(yīng)層間地震剪力作用取值如表1所示。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)和層間位移響應(yīng)方差與層間地震作用剪力取值(ξb=0.20)

時程響應(yīng)與隨機(jī)響應(yīng)分析均表明，實(shí)空間解耦法和精確的復(fù)模態(tài)分析法的計(jì)算結(jié)果完全相同，驗(yàn)證了所提出方法的正確性。

6 結(jié) 論

本文對高層非經(jīng)典阻尼隔震結(jié)構(gòu)響應(yīng)的實(shí)空間精確解耦及其地震作用取值進(jìn)行了系統(tǒng)研究，獲得了摘要所述結(jié)果。雖然所建立的方法是針對多自由度非對稱質(zhì)量與非經(jīng)典阻尼結(jié)構(gòu)，但所有公式的推導(dǎo)并未對非對稱剛度與非對稱阻尼矩陣加以限制，故所建立的方法具有一般性，適用于一般非對稱質(zhì)量、剛度和非對稱非經(jīng)典阻尼矩陣結(jié)構(gòu)響應(yīng)的精確實(shí)空間解耦及其基于反應(yīng)譜的地震作用取值的一般解析分析。

[1]周福霖. 工程結(jié)構(gòu)減震控制[M]. 北京：地震出版社，1997.

[2]劉彥輝，杜永峰，周福霖. 高層剪力墻復(fù)合基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析[J]. 工程力學(xué)，2011，28(7)：143-150.

LIU Yan-hui, DU Yong-feng, ZHOU Fu-lin. Seismic response analysis of composite base-isolated tall shear wall buildings[J]. Engineering Mechanics, 2011, 28(7): 143-150.

[3]潘東輝，于國有，張德強(qiáng). 隔震高層結(jié)構(gòu)的懸臂梁模型的地震反應(yīng)研究[J]. 工程力學(xué)，2012，29(5)：115-211.

PAN Dong-hui, YU Guo-you, ZHANG De-qiang. Earthquake response analysis of cantilever-beam model of isolated high-rise structure[J]. Engineering Mechanics, 2012, 29(5): 115-211.

[4]Hwang T S, Chang K C, Tsai M H. Composite damping ratio of seismically isolated regular bridge [J]. Engineering Structures, 1997, 19(1): 52-62.

[5]李中錫，周錫元. 規(guī)則型隔震房屋的自振特性和地震反應(yīng)分析方法[J]. 地震工程與工程振動，2002，22(2)：33-41.

LI Zhong-xi,ZHOU Xi-yuan.The simplified analysis method of seismically base isolated regular buildings[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2002，22(2): 33-41.

[6]Kelly J M. The role of damping in seismic isolation [J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1999, 28: 3-20.

[7]杜永峰，趙國藩. 隔震結(jié)構(gòu)中非經(jīng)典阻尼影響及最佳阻尼比分析[J]. 地震工程與工程振動，2000，20(3)：100-107.

DU Yong-feng, ZHAO Guo-fan. Analysis of effect of non-classical damping on isolated structure and optimum damping[J]. Earthquake Engineering and Engineering Vibration, 2000, 20(3): 100-107.

[8]杜永峰，李慧，蘇磐石，等. 非比例阻尼隔振結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)的實(shí)振型分解法[J]. 工程力學(xué)，2003，20(4)：24-32.

DU Yong-feng, LI hui ,SU Pan-shi, et al. Real mode superposition method for analysis of seismic response of non-proportionally damped isolated structures[J].Engineering Mechanics，2003，20(4)：24-32．

[9]王光遠(yuǎn) 等譯校. 結(jié)構(gòu)動力學(xué)(第二版)[M]. 北京：高等教育出版社，2006.

[10]Tong M, Liang Z, Lee G C. An index of damping non-proportionality for discrete vibrating systems [J]. Journal of Sound and Vibration, 1994, 174(1): 37-55.

[11]Liu K, Kujath M R, Zheng W. Quantification of non-proportionality of damping in discrete vibratory systems [J]. Computers and Structures, 2000, 77: 557-568.

[12]Morzfeld M, Ajavakom N, Ma F. A remark about the decoupling approximation of damped linear systems [J]. Mechanics Research Communica-tions, 2008, 35(7): 439-446.

[13]Morzfeld M, Ajavakom N, Ma F. Diagonal dominance of damping and the decoupling approximation in linear vibratory systems [J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 320: 406-420.

[14]Cacciola P, Colajanni P, Muscolino G. Combination of model responses consistent with seismic input representation [J]. Journal of Structural Engineering, 2004, 130(1): 47-55.

[15]方同. 工程隨機(jī)振動[M]. 北京：國防工業(yè)出版社，1995.

[16]陳歐陽. 非對稱非經(jīng)典結(jié)構(gòu)實(shí)空間解耦和地震作用取值方法及其在多高層隔震結(jié)構(gòu)中應(yīng)用[D]. 南寧:廣西大學(xué),2013.

[17]李創(chuàng)第，陳俊忠，黃東梅. 多自由度“加層”減震結(jié)構(gòu)地震作用取值的復(fù)模態(tài)法[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，41(4)：201-203.

LI Chuang-di, CHEN Jun-zhong, HUANG Dong-mei, Ge Xin-guang. Methods of earthquake action calculation for MDOF structure with TMD and the add-layer[J]. Journal of Harbin Institute of Technology, 2009, 41(4): 201-203.

[18]Lin Y Y, Chang K C. Study on damping reduction factor for buildings under earthquake ground motions [J]. Journal of Structural Engineering, 2003, 129(2): 206-214.

[19]高小旺，龔思禮，蘇經(jīng)守等. 建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范理解與應(yīng)用[M]. 北京：中國建筑工業(yè)出版社，2005.

[20]沈聚敏，周錫元，高小旺等. 抗震工程學(xué)[M]. 北京：中國建筑工業(yè)出版社，2000.