基于FFT多諧波平衡法的金屬橡膠隔振系統振動特性分析

李玉龍，白鴻柏，何忠波，路純紅，李冬偉

(軍械工程學院,石家莊 050003)

近年來，隨著科學技術的飛速發展，隔振系統的工作環境日益復雜、惡劣，復雜的工況對隔振系統性能的要求也不斷提高，因此，基于干摩擦耗能機理的非線性隔振器如鋼絲網隔振器、鋼絲繩隔振器、金屬橡膠隔振器等獲得了較大的發展和應用。以金屬橡膠隔振器為例，由于其耐高溫、抗腐蝕、隔振頻帶寬、能夠自動避開共振有效的抑制振動幅度等獨特的優勢，越來越受到工程界的高度重視，在航空航天、尖端軍事工業等高科技領域得到了廣泛的應用[1]。但它們的廣泛應用需要更加精確的方法以準確地計算振動響應，這類振動系統的響應計算也成為了研究的熱點問題。

國內外學者對具有干摩擦的振動系統的響應計算做了大量的研究[2-8]。總結來看研究這類問題的方法有拓撲幾何法、數值法和解析法。拓撲幾何法僅獲得非線性振動的定性規律；數值法可以進行定量分析；解析法不僅能確定非線性系統運動隨時間變化的規律，而且還能得到運動特性對系統參數的依賴關系，是非線性振動問題研究的重要方法。但大部分非線性動力學問題不存在精確的解析解。目前常用的近似解析法有攝動法、平均法、多尺度法、諧波平衡法等。但它們對系統響應解的形式沒有嚴格的判定依據，大部分學者采用以激勵頻率為主導的單一諧波平衡法[3,7-8]。但是，非線性系統的振動往往包含多諧波成分[9-10]，單一諧波平衡法卻忽略了其他諧波的作用，很難獲得與實際響應匹配較好的精確解。文獻[9]提出了FFT多諧波平衡法，采用多個諧波作為非線性微分方程的基礎解，證明了該方法能較好地適應非線性隔振系統多種頻率成分共存的運動響應情況。本文也將基于FFT多諧波平衡法，來研究探討金屬橡膠類非線性遲滯隔振系統的振動響應問題。

1 力學模型

根據應用領域的不同，金屬橡膠可以設計成不同結構以制備隔振器，滿足不同的隔振需求，軍械工程學院白鴻柏教授做了大量的研究，并設計了多種隔振器結構，最常見的結構形式如圖1所示。

圖1 金屬橡膠試件

(1)

一般無記憶恢復力g0是變形狀態的二元函數，可展開為多項式形式如下。

(2)

圖2 力學模型

盡管無記憶恢復力的一般表達式比較復雜，但是工程中常見的金屬橡膠隔振器實驗建模結果表明，無記憶恢復力中的立方非線性成分是主要的支配因素。因此它們可以用含有立方非線性粘性阻尼雙線性遲滯模型來近似描述，且足以滿足工程應用中的精度要求[4]。若以單自由度金屬橡膠隔振系統為例，其力學模型如圖2所示，設作用于設備的激勵是簡諧激勵：p(t)=p0cos(ωt)。

振動系統的運動微分方程可以寫為：

z(t)=p0cos(ωt)

(3)

2 FFT多諧波平衡法

根據諧波平衡的思想，系統中盡管存在非線性因素的影響，但在一定條件下其定常解仍然是近似簡諧的[10]，且非線性系統的多諧波振動響應是具有普遍性的現象，因此可以將該非線性振動系統的解表達為具有多諧波的組合形式[9]：

(4)

式中，αm為整數或分數(α1=1)分別代表超諧波和亞諧波運動響應成分；ω為系統的激振頻率；A1，…，Am，B1，…，Bm代表諧波分量幅值。

對于孔子已經評價過的人物，司馬遷常常是直接采取孔子的評價，例如稱吳太伯為“至德”，稱微子、箕子、比干為殷之“三仁”，稱董狐為“良史”，趙盾為“良大夫”，子產為“古之遺愛”。這些都是孔子已經評價過的人物，司馬遷便因襲孔子的觀點，直接以孔子的評價作為自己的評價。而對于孔子以后或者孔子所未評論到的人物，司馬遷也非常善于使用孔子留下來的概念來進行評價，如評價呂不韋為“聞”，評價萬石、建陵、張叔為“君子”，評價田叔“居是國必聞其政”，這都是借用孔子留下的現成概念或標準來評價人物。由此我們可以看出，在評價歷史人物時，孔子的評價標準也是司馬遷的重要價值尺度，甚至取舍褒貶都與孔子一致。

可將式(4)代入振動微分方程，并化簡降階為關于cos(αmωt),sin(αmωt),(m=1,2,…,M)的方程。由于系統各階諧波分量保持平衡，相同階數諧波系數應相等，有如下關于各諧波分量的非線性方程組。

(5)

解方程組(5)可以得到諧波項的系數，進而得到系統的振動響應，顯然該方法的精度受到諧波項的數量和頻率的影響。

若先用四階Runge-Kutta法求出系統響應的數值解，再對響應進行快速傅里葉變換(FFT)將信號轉化到頻域內，提取出主要的頻率成分，以確定系統響應中的主要諧波分量信息。這樣就可以確定系統響應的精確解析解。這種方法即為FFT多諧波平衡法[9]。

假設由上述方法獲得某金屬橡膠隔振系統的多諧波解析解，表達式為：

y(t)=y1cos(ω1t+φ1)+…+

ymcos(ωmt+φm)

(6)

由式(6)可得系統振動響應式周期振動，振動周期為：

T=2aπ/ω

(7)

其中，a是系統振動響應所包含的頻率成分ω1,ω2,…,ωn的最小公倍數，ω是激勵頻率。

(8)

式中：

(9)

引入式(9)是為了描述一個完整周期T內的“平均功率”。其中，PT表示傳遞力在一個周期內 “功率”的平均值，P0表示激勵力在一個周期內 “功率”的平均值，由于引入了T=2aπ/ω，該式可以包含亞諧波、超諧波甚至擬周期和混沌振動的多種情況[9]。

(10)

其位移與記憶恢復力的關系如圖3所示。

圖3 雙折線本構關系

考慮其增量方程并進行Fourier級數展開得[1]：

(11)

其中：

(12)

若以峰值到達的時間點為界限，則一個周期內傳遞力的平均功率精確表達為：

(13)

將計算得到的傳遞力“平均功率”PT和激勵力“平均功率”P0一個周期內的平均功率代入(8)式，即可獲得精確的系統振動傳遞率。由于式(8)中傳遞率的表達式是關于激勵頻率ω的函數，可通過該式獲得精確的系統振動傳遞率幅頻響應關系。到此便得到了金屬橡膠隔振系統的精確解析解及系統的隔振特性。

3 算 例

由以上分析可知，不同系統的響應解形式及所對應的諧波組合都不同，合理選擇必要的諧波分量、確定響應中主要的頻率成分是求解的關鍵。

由系統響應的頻譜圖4(b)可知，系統的主要諧波成分不僅有單一諧波(ω=10)成分，還有亞諧波(ω=1.95)成分，且亞諧波為主要成分。針對這兩個頻率，結合(3)式和(6)式，解得系統響應表達式為：

yF(t)=4.604cos(3.90σπ×t+3.347 5)+

1.558cos(20πt+0.437 8)

(14)

用文獻[4]的方法可求得單一諧波平衡法求得系統響應解的表達式為：

yD(t)=1.593cos(20πt+0.436 9)

(15)

單一諧波響應和FFT多諧波響應的解析解與數值解比較如圖5所示。

再由式(14)計算出一個周期內各響應的極值點，并認為a近似取10，并代入式(9)，結合式(8)用數值方法可計算出FFT多諧波響應方法的振動傳遞率ηF≈0.213 5；利用式(8)、(9)、(15)三式聯立可求得單一諧波平衡響應法的振動傳遞率為ηD≈0.149 1；計算得系統響應數值解的振動傳遞率ηS≈0.224 7。以數值解的振動傳遞率為準，比較兩種方法的傳遞率與數值解的傳遞率可得：單一諧波平衡法求得的振動傳遞率的相對誤差為30.16%；FFT多諧波平衡法求得的振動傳遞率的相對誤差為5.24%。

圖4 系統響應數值解及頻譜圖

由以上分析可知，FFT多諧波響應的解析解與數值解基本吻合，而單一諧波平衡法的解析解與數值解相差很大，已經無法正確反映系統的響應。由此說明，金屬橡膠非線性隔振系統響應存在多種諧波成分，單由激勵頻率為主導的單一頻率的系統響應僅僅是個別情況，不能夠準確反映系統的響應。

必須指出，非線性系統的幅值特性曲線并非單值。在激勵頻率的某些區間內，同一頻率對應于振幅的多個不同值，系統響應取哪個穩定解，取決于系統的初始條件。同樣，非線性系統的隔振傳遞率也非單值，不同初始條件對應不同的隔振傳遞率，因此確定非線性隔振系統的幅頻響應曲線時，應首先說明系統的初始條件。Schlesing[6]以達芬方程為例對初始條件的影響做了詳細的論述，這里不再贅述，感興趣的讀者可以查看該文獻。

4 結 論

本文以金屬橡膠非線性隔振系統為研究對象，用FFT多諧波平衡法研究了系統響應的解析解及某頻率下的振動傳遞率，并通過算例比較了單一諧波平衡法和FFT多諧波平衡法的優劣，證明了FFT多諧波平衡法在分析金屬橡膠非線性系統響應特性的適用性。

但是應該指出，該方法也有一定的局限性，當對系統響應數值解進行頻譜分析時，如果有很多的頻率成分，則FFT多諧波響應方法得到的系統解析解就比較復雜，且太多諧波分量的引入會增大計算的難度，為求解隔振系統的振動傳遞率帶來很大的麻煩，求取系統一個周期內的平均功率也會非常復雜。例如當系統處于混沌狀態時，頻率成分太多且頻譜的幅值不能被忽略。該問題需要進一步的研究。

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