功能梯度泡沫動力學響應分析

盧富德，高 德

(浙江大學 寧波理工學院，寧波 315100)

在緩沖包裝或頭盔領域，一些學者研究了層狀緩沖結構的壓縮響應及吸收能量特性。Sek[1]試驗方法研究多層瓦楞紙板結構的緩沖性能，拓展了瓦楞紙板作為緩沖包裝材料的可能。盧富德[2-3]提出虛擬質(zhì)量方法，求解多層瓦楞紙板靜態(tài)、動態(tài)壓縮響應,Lu等[4]研究發(fā)泡聚苯乙烯與發(fā)泡聚乙烯串聯(lián)結構動力學響應。Coelho等[5]運用顯式有限元研究EPS與軟木串聯(lián)應用的頭盔結構，文獻[6]考慮外包裝箱作用，研究瓦楞紙板與發(fā)泡聚乙烯的沖擊響應及結構的優(yōu)化設計。

以上文獻研究對象都是層狀結構，最近出現(xiàn)功能梯度緩沖材料，此功能梯度材料的密度隨厚度方向按照一定的函數(shù)變化，它克服了層狀結構界面易開裂等缺點[7]。Cui等[8-9]用有限元方法研究層狀泡沫與梯度泡沫在頭盔中的優(yōu)化,把梯度泡沫按照近似的層狀結構進行處理。報道的文獻對梯度泡沫的壓縮響應研究還比較少，僅限于有限元方法，還需要尋求梯度泡沫的響應簡便方法。

鑒于此，本文運用Runge-Kutta法研究功能梯度泡沫緩沖結構動力學響應規(guī)律，為工程優(yōu)化設計提供有效方法。

1 功能梯度泡沫一維本構

典型泡沫結構應力-應變曲線由線彈性區(qū)、屈服平臺區(qū)及壓實區(qū)組成。泡沫彈性模量、屈服強度與實體塑料彈性模量、屈服強度有關[8]，即

(1a)

(1b)

(1c)

式中：Ef為泡沫彈性模量，Es為塑料實體的彈性模量，σf為泡沫平臺應力，σs為塑料實體的屈服應力，ρf為泡沫的密度，ρs為塑料實體的密度，Φ為單位體積上邊上固體部分，1-Φ為單位體積上面上固體部分。

如圖1所示，雙曲正切函數(shù)與正切函數(shù)的特點，典型泡沫的本構關系可由下式表示[10]：

(2)

圖1 雙曲函數(shù)與正切函數(shù)的特征

泡沫結構線彈性、屈服段及壓實段的本構可以由下式表示[10]

(3)

式中：α為控制應力-應變曲線平臺的斜率。

由聚苯乙烯的Es=3.3 GPa,σys=15 MPa,ρs=1 050 kg/m3,Φ=0.52，α=4 kPa等參數(shù)[9]，由式(3)可得近似發(fā)泡聚苯乙烯EPS的應力-應變曲線，如圖2所示。圖2所示，隨泡沫密度的增加，泡沫屈服平臺應力增加，其壓實應變卻減小。

圖2 應力與應變、相對密度的關系

2 功能梯度泡沫系統(tǒng)模型

質(zhì)量為m的物體，以一定的速度沖擊梯度泡沫緩沖結構，為了建模的方便，把泡沫分成n層，近似模擬連續(xù)的功能梯度函數(shù)變化，如圖3所示為功能梯度泡沫系統(tǒng)動力學模型。

梯度函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，下式所示[7]

(4)

由式(4)得到梯度泡沫平均密度ρave

(5)

圖3 功能梯度泡沫系統(tǒng)沖擊模型

式中：ρfi(i=1,2,…n)為第i層的密度，ρ1為上層的密度，ρ2為最下層的密度，M為指數(shù)。

由牛頓定律得系統(tǒng)動力學方程：

式中：m1為每一層的等效質(zhì)量，A為泡沫的橫截面積，h為每層的厚度，

初始條件為：

y1(0)=y2(0)=…=yn(0)

(7)

3 數(shù)值結果

m=6 kg,m1=0.01 kg,n=11,h=0.003 64 m,Es=3.3 GPa,σys=15 MPa,ρs=1 050 kg/m3,Φ=0.52，α=4 kPa。

圖曲線(ρave=40 kg/m3 ,Δρ=50 kg/m3)實線：梯度泡沫系統(tǒng)響應,點劃線：均勻泡沫響應響應

取V=1.98,2.8,3.42,3.95,4.42 m/s，求質(zhì)量塊的加速度響應，加速度是衡量緩沖沖擊響應的一個標準[10-11]，本文研究加速度響應與一些參數(shù)的關系，本文僅考慮壓縮階段的沖擊響應，不考慮泡沫回彈階段的結果。

如圖4所示，具有均勻密度為40 kg/m3的泡沫，當m=6 kg的物體沖擊時，其最大響應加速度為49.34 g(g=9.8 m/s2),不隨沖擊速度的變化而變化；當沖擊速度1.98,2.8,3.42,3.95與4.42 m/s時，其最大加速度分別為32.15,40.67,48.02 g,55.84和61.77 g,沖擊能量較小時，梯度泡沫響應加速度小于均勻泡沫，故梯度泡沫對較小能量有利。

取M=0.2,0.5,1,2,3,4,5和10，分析梯度函數(shù)對梯度泡沫結構沖擊響應的影響,在V=1.4～5.4 m/s范圍,也就是初始輸入能量為5.88～88.2 J時, 取Δρ分別為25,50和75 kg/m3,對平均密度為70 kg/m3的梯度泡沫進行分析,以說明梯度Δρ對泡沫沖擊響應的影響。以梯度泡沫系統(tǒng)響應加速度除以均勻泡沫沖擊響應為歸一化的值作為應變量，以指數(shù)M及輸入能量為自變量，得到結果如圖5所示。

(a) Δρ=25 kg/m3 (b) Δρ=50 kg/m3 (c) Δρ=75 kg/m3

(a) ρ1=50 kg/m3 (b) ρ1=60 kg/m3 (c) ρ1=70 kg/m3

在圖5中，當M=1，即為線性梯度的泡沫系統(tǒng)，在輸入能量為5.88時，其均一化加速度值最小，隨Δρ=25、50和75 kg/m3變化時，均一化加速度值分別為0.84、0.75及0.56，可以看出，梯度增大，小沖擊能量沖擊系統(tǒng)時，梯度泡沫系統(tǒng)響應會變小。

圖6所示，ρave=100 kg/m3,ρ1分別取50、60與70 kg /m3時，均一化加速度與梯度函數(shù)的關系，在所給的例子中，均一化加速度隨M的增大而減小。

4 結 論

基于泡沫的特點，建立了有效的本構關系。根據(jù)對泡沫系統(tǒng)動力學響應分析的結果，得到梯度泡沫系統(tǒng)對小能量的沖擊響應比均勻泡沫密度系統(tǒng)要小，克服了均勻泡沫系統(tǒng)對一定沖擊能量范圍響應幾乎不變化的特點，增加了泡沫的使用范圍，為梯度泡沫的運用提供有效方法。

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