一類滿足?rmander條件的奇異積分算子交換子的Lp有界性

曹 美 陽

(江西師范大學數學與信息科學學院，江西 南昌 332200)

曹 美 陽

(江西師范大學數學與信息科學學院，江西 南昌 332200)

交換子；奇異積分算子；sharp極大函數

1 引言和主要結果

奇異積分算子及其交換子的有界性在調和分析和偏微分中有重要的應用。在文獻[1,2]中，Coifman和Janson等分別證明了由奇異積分算子和BMO函數生成的交換子在Lp(Rn)(1

定義1：設函數K∈L2(Rn)。存在常數C0>0使得：

(2)|K(x)|≤C|x|-n；

文獻[5,6]中考慮了一類變形的H?rmander的條件，并且得到相應奇異積分算子的加Lp有界性。

定義2：設函數K∈L2(Rn)滿足條件：

(1)‖K‖L∞≤C；

(2)|K(x)|≤C|x|-n；

(4)對于10和Cr>0，使得對任意的y∈Rn和R>cr|y|，有

ander條件。張璞等在文獻[8]中證明滿足上述Lr-H?rmander條件的奇異積分算子是Lp有界的。

令b為Rn上的局部可積函數，其與T生成的交換子定義為：

Tb(f)(x)=b(x)Tf(x)-T(bf)(x)。

本文主要結果如下。

2 預備知識和需要的引理

首先，回顧一些基本定義。

定義3：令Φ={φ1,…,φl}為Rn上的有界函數，對局部可積函數f，定義Φ sharp極大函數為

φi(xQ-y)|dy，

其中下確界取遍所有的1重復數{c1,…,cl}，xQ為方體Q的中心。

本文中，Q表示Rn中的方體，給定方體Q和Rn上的局部可積函數f，令

和

眾所周知(見文獻[3,7])，

如果M#(f)(x)屬于L∞(Rn)，則稱函數f屬于BMO(Rn)，且令

‖f‖BMO=‖M#(f)‖L∞。

根據文獻[7]，有

‖f-f2kQ‖BMO≤Ck‖f‖BMO。

記

下面引入一些證明過程中需要的引理。

引理1[8]：令T為定義1所述奇異積分算子，則T在Lp(Rn)(1

3 定理的證明

f(y)dy。

固定方體Q=Q(x0,d)，使得x∈Q，則

Tb(f)(x)=(b-bQ)Tf(x)-T((b-bQ)f)

(x)

因此

下面分別估計Ⅰ與Ⅱ。首先估計Ⅰ。利用H?rmander不等式，

為估計Ⅱ，將f分解：f=f1+f2，其中f1=fχ2Q(x)，f2=f-f1。則

再分別估計Ⅱ1和Ⅱ2。選取1

對Ⅱ2，當x∈Q時，有

針對Ⅱ21，利用|b2k+1Q-b2Q|≤k‖b‖BMO，

根據H?lder不等式，有

對Ⅱ22，取t>r，使用H?lder不等式，有

綜上所述，得

最后證明定理2。

定理2的證明：在定理1中，選取1

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TheLpBoundednessforCommutatorsofSingularIntegralOperatorsSatisfyingaVariantofH?rmander′sCondition

CAO Mei-yang

(College of Mathmatics & Information Science,Jiangxi Normal University,Jiangxi Nanchang 332200 PRC)

In this paper,we have proved the sharp maximal function inequalities for a class of commutators related to the singular integral operators satisfying a variant ofH?rmander′s condition.As an application,we get the boundedness of the commutators on Lebesgue spaces.

Commutators,Singular integral operators,Sharp maximal function

2013-12-20;

2014-01-21

曹美陽(1990-)，女，江西九江人，在讀碩士研究生，專業方向基礎數學調和分析。

國家自然科學基金項目(11261023)；江西省自然科學基金項目(20122BAB201011)。

1001-3679(2014)01-0008-04

O1742

A