線性模型中總平方和分解公式的證明*

王劍紅,楊素芳

(山西藥科職業學院 基礎部,山西 太原 030031)

對于正交飽和設計問題，通常可用如下的線性統計模型來描述

Y=β01n+β1x1+…+βmxm+ε=μ+ε

(1)

其中Y=(y1,y2,…,yn)T是觀察值向量；xj=(x1j,x2j,…,xnj)/，j=1,2,…,m由試驗設計來確定；矩陣X=(x1,x2,…,xm)為上述正交表H所對應的設計陣；β=(β0,`β1,…,βm)T；ε=(ε1,ε2,…,εn)/是誤差向量，且εi(i=1,2,…,n)是相互獨立同分布的隨機變量，且有ε～N(0,σ2In).

由于模型(1)是基于正交飽和設計，故此時的誤差平方和等于零，從而使總平方和SSj與各列的效應平方和之間有如下總平方和分解公式

SST=SS1+SS2+…+SSm,fT=f1+f2+…+fm成立.

這篇文章我們給出了總平方和SST與各列的效應平方和SSj之間的矩陣證明方法,優化了文獻[1]中對其的證明.

1 預備知識

在一個試驗設計中，當被考慮因子(包括交互作用)個數多到使得需估計參數的個數達到可估計參數的最大個數時，這樣的試驗設計稱為飽和設計.當一個飽和設計又為一個正交設計時，稱為正交飽和設計.

2 主要研究結果及證明

又注意到

Tj為對應設計陣第j列的置換矩陣，即Tj中只有0和1兩個元素，而且每一行、每一列有且只有一個1，其余的元素全是0.由張應山的博士論文知,Tj具有存在性.

故

這樣,對于模型(1)，各列的效應平方和

且Pn,A1,…,Am為相互正交的投影陣.

因為

diag(Pr1,Pr2,…,Prm)Tdiag(Pr1,Pr2,…,Prm)=

diag(Pr1,Pr2,…,Prm)且Pndiag(Pr1,Pr2,…,Prm)=

Pn,PnAj=0,AiAj=0(i≠j).

所以Pn,A1,…,Am為相互正交的投影陣.

容易驗證

τn=In-Pn=

所以SST=YTτnY=YT(A1+A2+…+Am)Y=

SS1+SS2+…+SSm.

總平方和自由度為fT=n-1,fj=pj-1為第j列平方和的自由度(j=1,2,…,m),而完全正交設計是指上述正交設計滿足如下的等式n-1=(p1-1)+(p2-1)+…+(pm-1).

故SST=SS1+SS2+…+SSm,fT=f1+f2+…+fm.對比文獻[1]和本文中證明的方法，顯然用矩陣知識證明更為簡潔.