線性平移在捕食者—食餌數學模型穩定性分析中的應用*

華極鑫,馮維龍,王 娜,姜玉秋

(吉林師范大學 數學學院,吉林 四平 136000)

考察共同生活在一確定的理想環境內的捕食種群和食餌種群，假定沒有遷出和遷入發生，由于生育、死亡和種群的相互作用，兩種群的數量將隨著時間變化.由于部分捕食者以一種食餌為食，食餌通常會被殺死[1](捕食者食動物)或者造成很大的損害[1](捕食者食植物).為了預測捕食種群和食餌種群數量的變化規律，20世紀20年代Volterra提出了比較完備的捕食者-食餌系統的數學模型[2]，一般形式為：

(S)

那么為了更好的討論捕食者和食餌相互間關系，建立如下模型：

(M)

其中r1>0，r2>0，b>0，d>0,a>0,c=kb>0.

x(t)和y(t)分別表示t時刻食餌與捕食者的數量或密度；r1為食餌種群的內稟增長率，-r2表示不存在食餌時捕食者的死亡率；-ax2和-dy2分別為食餌和捕食者的種群密度對種群規模增長的抑制項(密度制約項)；c=kb表示當存在食餌種群時，捕食者對被捕食食餌的轉化率(k為轉化系數)；-bxy為t時刻有y個捕食者吃掉食餌的總數量.

本文將對模型(M)運用數學理論和方法對其平衡點的穩定性進行全面分析.

1 預備知識

為了方便討論，對于捕食者-食餌系統模型(M)給出相關定理及符號.

定理1[3]對于非線性系統

定理2 (1)q>0，p>0，Δ>0(兩特征根為不同實根且同號)，則平衡點漸近穩定；q<0，則平衡點不穩定；(2)q>0，p>0，Δ=0(特征根為重根)，則奇點漸近穩定；p<0，則平衡點不穩定;(3)q>0，p>0，Δ<0(兩共軛復特征根)，則奇點漸近穩定；p<0，則平衡點不穩定；p=0，平衡點穩定，但非漸近穩定.

定理2對于平衡點(0,0)的穩定性分析很容易，那么對于平衡點不是(0,0)時，我們就得利用平移變換不改變平衡點的穩定性態的性質，對此平衡點作平移變換[4].

2 系統分析

2.1 系統平衡點穩定性的分析

對于系統

考慮捕食者和食餌的實際生物學的涵義，我們在D={(x,y)|x≥0,y≥0}中討論.

其相應的自治系統

(1)對p1(0,0)，根據定理1.1，可知其線性近似系統為

λ2+(r2-r1)λ-r1r2=0,

其中p=-(r1-r2)，q=-r1r2<0,p0(0,0)為鞍點，故p1不穩定.

代入系統(M)中，有

其特征方程為

代入系統(M)中，有

整理后得其線性近似系統為

其特征方程為

其中

利用根與系數的關系，得

時，p3漸近穩定.

2.2 MATLAB數值模擬結果

圖1 p2漸近穩定

圖2 p3漸近穩定

3 生物意義及應用

利用捕食這種生態學現象，可以限制種群的分布[5]和抑制種群的數量，如果受抑制的種群是有害動物的話，那么捕食現象就可以用于防治目的.比如我們日常生產中，尤其是農業上，害蟲會損害農作物，使農作物減產，如果引入適當數量害蟲的天敵，把天敵看作捕食種群，害蟲是食餌種群，這就構成了捕食者-食餌相互作用系統，既控制了害蟲所害農作物，又省去了用農藥污染環境的麻煩.再如我國特有的珍稀水生獸類白鰭豚面臨瀕臨滅絕的危機，利用捕食種群和食餌種群間的相互作用關系，我們可以人為的投放魚類(食餌)，禁止捕殺白鰭豚(捕食者)，創造適合白鰭豚的生存的環境資源.

由此可見，對捕食者-食餌系統數學模型的研究，可以幫助我們利用捕食種群和食餌種群間的相互作用關系，來預測種群隨時間的變化規律，或者人工干預對某些珍稀種群進行保護、開發和利用，這一理論的應用對人類的可持續生存發展有重要的指導意義和經濟意義.