具有有界控制輸入的不確定時滯系統的漸近穩定性*

陳衍峰

(通化師范學院 數學學院,吉林 通化 134002)

在控制系統的分析與綜合中，一般假定控制輸入不受任何約束.即控制輸入可以取任何有限值.然而，對于眾多的實際工程控制系統來說，所有的執行機構都或多或少的存在某種程度的物理約束.而且在對實際工程系統進行控制時，還必須將有界的控制輸入對閉環系統性能的影響,尤其是對閉環系統穩定性的影響考慮進去.目前實際控制系統的控制約束一般分為兩類.一類是研究當控制輸入有界時，其閉環系統的控制特性下降較大，應該如何設計控制系統的控制器以使得閉環系統穩定；另一類是設計控制系統保證在有界控制輸入下控制系統為全局漸近穩定的.前者需要開環系統滿足在有界輸入下為漸近零可控制的性質,而后者需要采用適當的方法,估計閉環系統的穩定區域.

本文利用李雅普諾夫穩定性定理和蘇爾補引理，同時結合飽和函數的上確界，給出閉環系統是全局漸近穩定的方法.

1 問題描述

考慮時滯不確定系統

(1)

其中:x(t)為狀態向量；d是時滯；A0和B為已知適當維數的常數矩陣；A1是已知的可逆矩陣；u(t)為輸入向量，且滿足下面的約束條件.

u(t)∈Ω=[-Δ,+Δ],Δ>0

(2)

ΔA是不確定矩陣，且滿足下面的范數有界形式

ΔA=DFE1

(3)

其中，D和E1是已知適當維數的確定矩陣，F是未知矩陣，且滿足FTF≤I.

本文的目的是，對不確定時滯系統(1)設計無記憶飽和控制器

u(k)=satΔ(Kx(t))=
sign(Kx(t))min{Δ,|Kx(t)|}

(4)

使其閉環系統漸近穩定.

根據上面所述，則對給定的矩陣D、E1和對稱正定矩陣P1，存在對稱正定矩陣P0，使得下式成立

(5)

定義一個開橢球體

Ω(P0,r)={x∈Rn|xTP0x

(6)

和飽和函數μ，則對一切x∈Rn有u(t)=satΔ(Kx(t))=(1-μ)Kx(t).因此，系統(1)的閉環系統為

(7)

2 控制器設計

定理1 如果系統(1)滿足條件4，則

(1)當λmin(E)≥-1，系統(1)的閉環系統(7)全局漸近穩定；

(2)當λmin(E)<-1，系統(1)的閉環系統(7)局部漸近穩定.

證明 取lyapunov函數

于是，V(x(t))沿閉環系統式(7)有

其中，N=A0+(1-μ)BK+ΔA.將(5)代入上式有

3 數值算例

考慮不確定時滯系統

從而又可以求得

因此，根據定理1知系統(1)的閉環系統是局部漸近穩定的.