懸臂式SGCMG的高速轉(zhuǎn)子的徑向振動(dòng)特性研究

羅睿智， 虎 剛， 王全武

(1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190；3.中國(guó)長(zhǎng)城工業(yè)總公司，北京 100195)

小型懸臂式SGCMG(主要由高速轉(zhuǎn)子、連接支架和低速伺服系統(tǒng)構(gòu)成)具有結(jié)構(gòu)緊湊，輸出力矩大，效率高等眾多優(yōu)點(diǎn)，而且在理論上還能輸出大范圍精細(xì)的控制力矩，因此它是敏捷衛(wèi)星等航天器實(shí)現(xiàn)快速姿態(tài)機(jī)動(dòng)的理想執(zhí)行機(jī)構(gòu)，但是在SGCMG運(yùn)行的過(guò)程中伴隨輸出的微幅高頻振動(dòng)難以抑制，振動(dòng)惡化了星上環(huán)境，降低了精密儀器(如高分辨率相機(jī))的性能[1-4]。迄今為止，對(duì)這種單端固定支撐的高速轉(zhuǎn)子的振動(dòng)特性認(rèn)識(shí)尚不充分。其實(shí)，在結(jié)構(gòu)上與之類(lèi)似的動(dòng)量輪也面臨著同樣的問(wèn)題亟待解決。

高速轉(zhuǎn)子的外形如圖1的左圖所示，右圖為其內(nèi)部結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖。其主要由輪體、軸承組件、電機(jī)和殼體等構(gòu)成；在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動(dòng)的過(guò)程中，輪體、電機(jī)轉(zhuǎn)子和軸承安裝殼及軸承外圈等零部件構(gòu)成一個(gè)整體并高速旋轉(zhuǎn)——旋轉(zhuǎn)體，支撐在懸臂主式軸上。可見(jiàn)，高速轉(zhuǎn)子中的旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)本質(zhì)是懸臂式非對(duì)稱(chēng)支撐，從而使得主軸在A、B點(diǎn)對(duì)旋轉(zhuǎn)體的支撐剛度不等。

圖1 高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意圖

高速轉(zhuǎn)子是懸臂式SGCMG中儲(chǔ)存角動(dòng)量的核心部件，同時(shí)也是影響衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定性和指向精度的最大干擾源之一[1-5]，因此有必要摸清其振動(dòng)特性。文獻(xiàn)[3-6]都是將高速轉(zhuǎn)子簡(jiǎn)化為等剛度對(duì)稱(chēng)支撐的Jeffcott轉(zhuǎn)子，因而他們所建立的動(dòng)力學(xué)模型中的徑向位移振動(dòng)和轉(zhuǎn)角振動(dòng)解耦。這與懸臂式SGCMG中高速轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)本質(zhì)不符，因此不能直接借用他們所建立的模型。文獻(xiàn)[5-6]都忽略了預(yù)緊軸承所激發(fā)的振動(dòng)，并且未對(duì)測(cè)試瀑布圖中非工頻成分進(jìn)行解釋。

針對(duì)高速轉(zhuǎn)子徑向振動(dòng)特性的認(rèn)識(shí)尚不準(zhǔn)確不全面的問(wèn)題，本文首先分析了懸臂式SGCMG中的高速轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的激振源——?jiǎng)屿o不平衡量所產(chǎn)生的離心力和力偶、處于預(yù)緊狀態(tài)的軸承的各活動(dòng)部件工作面的幾何誤差所導(dǎo)致的預(yù)緊力的波動(dòng)；然后在結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上建立了高速轉(zhuǎn)子的徑向動(dòng)力學(xué)模型；最后利用結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)模型進(jìn)行仿真，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，從而驗(yàn)證了模型的有效性。

1 建立坐標(biāo)系

本體坐標(biāo)系Fb：oxyz。其原點(diǎn)o位于旋轉(zhuǎn)體的質(zhì)心處，以旋轉(zhuǎn)體的離心力方向?yàn)閤軸正方向，以旋轉(zhuǎn)體的最大慣量軸為y軸，且方向向右，z軸由右手法則確定。

參考坐標(biāo)系Fr：OXYZ。其原點(diǎn)O位于旋轉(zhuǎn)體的質(zhì)心處，以主軸根部平面的法線(xiàn)向右為Y軸，以垂直于Y且向上為Z軸正向，X軸由右手法則確定。

兩坐標(biāo)系如圖1所示。因Fb的三坐標(biāo)軸為旋轉(zhuǎn)體的慣量主軸，故其慣量積矩陣為J=diag(Id,Ip,Id)。

2 旋轉(zhuǎn)體受力分析

高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的復(fù)雜結(jié)構(gòu)決定了引起它振動(dòng)的因素也比較復(fù)雜，主要包括：在高速轉(zhuǎn)子運(yùn)行的過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)體的靜動(dòng)不平衡量所產(chǎn)生的離心力和力偶和預(yù)緊軸承幾何誤差所產(chǎn)生的預(yù)緊力波動(dòng)，還有軸承的摩擦、殼體的耦合振動(dòng)、電機(jī)的紋波力矩和轉(zhuǎn)子熱變形等。因此高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)過(guò)程。但是結(jié)合SGCMG的特點(diǎn)并經(jīng)過(guò)初步的對(duì)比分析，結(jié)果表明前兩項(xiàng)是主要的振源。

2.1 預(yù)緊軸承的零件的幾何誤差激勵(lì)

預(yù)緊軸承中的眾多活動(dòng)部件的工作面不可避免地存在幾何誤差，如檢測(cè)的某一批軸承溝道的外形示意圖如圖2所示情形。顯然，軸承溝道存在明顯低次諧波及其組合趨勢(shì)。在內(nèi)外圈相對(duì)旋轉(zhuǎn)時(shí)軸承零件滾動(dòng)表面的幾何誤差隨之旋轉(zhuǎn)，成為以2π為周期的周期函數(shù)。因此可以將這些幾何誤差展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)。根據(jù)軸承理論和Hertz接觸理論可得到預(yù)緊力波動(dòng)量，該波動(dòng)量最終傳遞到高速轉(zhuǎn)子上，激發(fā)高速轉(zhuǎn)子的振動(dòng)。

圖2 軸承溝道的幾何誤差示意圖

按逆時(shí)針?lè)较?與軸承外圈旋轉(zhuǎn)方向相同)依次對(duì)軸承中的滾動(dòng)體進(jìn)行編號(hào)：k，其中k∈{1,2,…,z}，z為單個(gè)軸承中的滾動(dòng)體數(shù)。則對(duì)于非理想軸承，在任意t時(shí)刻，位于第k個(gè)滾動(dòng)體處，外圈溝道在接觸點(diǎn)沿接觸角方向的幾何誤差記為δerk；內(nèi)圈溝道在接觸點(diǎn)沿接觸角方向的幾何誤差記為δirk。第k個(gè)滾動(dòng)體在接觸點(diǎn)處沿接觸角方向的幾何誤差記為δeibk，其中，與外圈接觸點(diǎn)的幾何誤差記為δebk；與內(nèi)圈接觸點(diǎn)的幾何誤差記為δibk。它們都是展開(kāi)成Fourier級(jí)數(shù)形式。

軸承的徑向(X和Z方向)預(yù)緊力波動(dòng)量為：

(1)

(2)

其中，Dw為滾動(dòng)體直徑(mm)；α為接觸角(°)；δα為彈性趨近量(在非理想軸承中，其中包含滾動(dòng)面的幾何誤差)；Kωa和Kωr分別為軸向和徑向預(yù)緊力波動(dòng)量的修正系數(shù)；ψk(t)為在任意t時(shí)刻第k個(gè)滾動(dòng)體球心的相位。ωn為單個(gè)滾動(dòng)體的固有頻率。通過(guò)(1,2)即可計(jì)算出處于預(yù)緊狀態(tài)的軸承在運(yùn)行過(guò)程中，軸承滾動(dòng)面的幾何誤差所導(dǎo)致的預(yù)緊力的波動(dòng)量。

將A、B兩軸承的參數(shù)代入到(1,2)式中即可得到兩軸承各自滾動(dòng)面的幾何誤差產(chǎn)生的預(yù)緊力的波動(dòng)量，它們分別為ΔQArx,ΔQArz,ΔQBrx,ΔQBrz。從而可以進(jìn)一步得到軸承組件的預(yù)緊力的波動(dòng)量的徑向力和力矩。則對(duì)于該線(xiàn)性系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，A、B軸承的幾何誤差所產(chǎn)生的徑向激振力可表示為：

fec(t)=i(ΔQArx+ΔQBrx)+k(ΔQArz+ΔQBrz)

(3)

同理，激勵(lì)力矩可以表示為：

gec(t)=i(aΔQArx+bΔQBrx)+k(aΔQArz+bΔQBrz)

(4)

由此得到了軸承組件中的軸承的滾動(dòng)面的幾何誤差在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的預(yù)緊力的波動(dòng)量。其中，間距a,b,c如圖1所示。

2.2 旋轉(zhuǎn)體的不平衡量激勵(lì)

在高速轉(zhuǎn)子運(yùn)行的過(guò)程中，旋轉(zhuǎn)體的靜不平衡量ust和動(dòng)不平衡量udy將分別產(chǎn)生一個(gè)離心力fac和一個(gè)不平力矩gac直接作用于轉(zhuǎn)子上[4-6]，引起高速轉(zhuǎn)子的振動(dòng)。該力和力偶分別為：

(5)

(6)

其中，ωy為高速轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)角頻率；βf和βm為不平衡力和力矩的初始相位。

2.3 高速轉(zhuǎn)子的總激勵(lì)

盡管高速轉(zhuǎn)子還將受到重力等常值力，但是它們只引起主軸等零部件的靜變形，故在振動(dòng)分析中不予體現(xiàn)。則對(duì)旋轉(zhuǎn)體的總的激勵(lì)力為：

f(t)=fx(t)i+fz(t)k=fac+fec

(7)

對(duì)旋轉(zhuǎn)體的總的激勵(lì)力矩為：

g(t)=gx(t)i+gz(t)k=gac+gec

(8)

3 高速轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)建模

高速轉(zhuǎn)子運(yùn)行的零初始時(shí)刻，F(xiàn)b與Fr三軸對(duì)應(yīng)平行，其通過(guò)2-1-3旋轉(zhuǎn):θoy,θox,θoz，其中θox和θoz都是非常小的角度，因此其對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)可以近似線(xiàn)性化。則Fb相對(duì)于Fr的角速度，即旋轉(zhuǎn)體的轉(zhuǎn)速在參考坐標(biāo)系中可以表示為：

(9)

其中，R1(θox),R2(θoy),R3(θoz)為Euler旋轉(zhuǎn)矩陣。則高速轉(zhuǎn)子的徑向轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為：

(10)

高速轉(zhuǎn)子質(zhì)心的徑向平動(dòng)動(dòng)能為：

(11)

則高速轉(zhuǎn)子總的動(dòng)能：

(12)

選取x1=υox,x2=υoz；x3=θox,x4=θoz作為廣義坐標(biāo)：則Lagrange方程為：

(13)

(14)

式中各個(gè)剛度系數(shù)的物理意義為：Kfrx,Kfrz分別為轉(zhuǎn)子中心在x,z方向有單位位移時(shí)需要加在o點(diǎn)的沿x,z方向的力；Kfθx,Kfθz分別為轉(zhuǎn)子繞ox，oz軸有單位轉(zhuǎn)角時(shí)所需加于o點(diǎn)的沿z,x方向的力；Kmθx,Kmθz分別為轉(zhuǎn)子繞ox,oz軸有單位轉(zhuǎn)角時(shí)需要加的對(duì)ox,oz軸的力矩；Kfυx,Kfυz分別為轉(zhuǎn)子在z,x方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，所需對(duì)ox,oz軸的力矩。Id和Ip分別為高速轉(zhuǎn)子的徑向和軸向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

在高速轉(zhuǎn)子運(yùn)行過(guò)程中，各零部件的相對(duì)變形量都很小，不妨假設(shè)其中所有零部件的變形量都處于選用材料的線(xiàn)彈性范圍內(nèi)，即式14,式15中的剛度參數(shù)為常量；同時(shí)假設(shè)其中的阻尼參數(shù)也都為常量。即，高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個(gè)線(xiàn)性系統(tǒng)。

根據(jù)兩坐標(biāo)系的關(guān)系可得到高速轉(zhuǎn)子基座上的振動(dòng)力和力矩與質(zhì)心處振動(dòng)力和力矩之間的關(guān)系：

(16)

其中，兩坐標(biāo)間距：L=b+c，如圖1所示。

4 模型求解

由于動(dòng)力學(xué)方程(14～16)是耦合的二階線(xiàn)性常微分非齊次方程組，其非齊次項(xiàng)也較為復(fù)雜，不便于求得解析解，故采用龍格庫(kù)塔法進(jìn)行數(shù)值仿真。

根據(jù)高速轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)特征可以計(jì)算出模型所需參數(shù)如下：旋轉(zhuǎn)體的質(zhì)量為：m=5 kg；徑向轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：Id=0.021 kg·m2；極慣量為：Ip=0.04 kg·m2；高速主軸的彈性模量為：E=2.10×1011Pa；a=22.5 mm，b=38 mm，c=14 mm。根據(jù)靜變形可確定懸臂梁的徑向等效剛度：Kmυx=Kmυz=1.2×106N·m/m;Kfαx=Kfαz=7.9×105N/rad;Kfrx=Kfrz=2.6×107N/m;Kmθx=Kmθz=3.6×104N·m/rad。

在不平衡量和軸承的幾何誤差激勵(lì)下，仿真得到高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基座上輸出的振動(dòng)力和力矩的瀑布圖及其對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)速下的系統(tǒng)特征值分布情況——固有頻率曲線(xiàn)如圖3、圖4所示。

圖3,4中間的兩條V字形曲線(xiàn)代表系統(tǒng)的正特征頻率隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化的曲線(xiàn)。圖5表示轉(zhuǎn)子質(zhì)心沿X方向振動(dòng)位移和轉(zhuǎn)角瀑布圖；而Z方向振動(dòng)位移和轉(zhuǎn)角瀑布圖與X方向類(lèi)似，在此不再單獨(dú)列出。

圖3 徑向(X,Z)振動(dòng)力瀑布圖及其固有頻率曲線(xiàn)

5 試驗(yàn)驗(yàn)證

利用Kistler的9256CQ多分量測(cè)力臺(tái)、電荷放大器和OROS的8通道數(shù)據(jù)采集設(shè)備在精密隔振光學(xué)平臺(tái)上對(duì)某型號(hào)的SGCMG的高速轉(zhuǎn)子進(jìn)行微振動(dòng)測(cè)試。測(cè)得系統(tǒng)徑向振動(dòng)的瀑布圖如圖6,圖7所示。

圖6 徑向(X,Z)振動(dòng)力瀑布圖

圖7 徑向(X,Z)振動(dòng)力矩瀑布圖

6 仿真和實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比分析

(1) 從圖5可見(jiàn)，高速轉(zhuǎn)子各零部件的振動(dòng)位移和轉(zhuǎn)角分別在1μm或者10μrad左右，各零部件的相對(duì)變形量都很小，都處于所用材料的線(xiàn)彈性范圍內(nèi)，故高速轉(zhuǎn)子的徑向振動(dòng)整體上表現(xiàn)為線(xiàn)性占主導(dǎo)。

(2) 仿真圖中的頻率成分覆蓋了測(cè)試圖中表現(xiàn)出來(lái)的幾乎所有的頻率成分，從而驗(yàn)證了“徑向激振的頻率成分主要來(lái)源于高速旋轉(zhuǎn)體的靜動(dòng)不平衡量和預(yù)緊軸承工作面的幾何誤差”的分析的合理性。

(3) 圖3～7都表明許多倍頻響應(yīng)大于基頻振動(dòng)。這主要是因?yàn)轭A(yù)緊軸承在運(yùn)行的過(guò)程中，其滾動(dòng)面的幾何誤差產(chǎn)生了較大的預(yù)緊力波動(dòng)，同時(shí)頻率成分與系統(tǒng)的模態(tài)頻率曲線(xiàn)相交，致使系統(tǒng)諧振。

(4) 圖3～7都存在兩個(gè)V形諧振頻率線(xiàn)。這是由于懸臂式SGCMG中的高速轉(zhuǎn)子是不等剛度非對(duì)稱(chēng)支撐，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的徑向平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程耦合，系統(tǒng)存在四個(gè)正虛部的特征根，它們都是高速轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速的函數(shù)，當(dāng)外部的激勵(lì)穿越這些模態(tài)頻率曲線(xiàn)時(shí)，將導(dǎo)致高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)徑向諧振。

(5) 在瀑布圖中，倍頻放射線(xiàn)穿越“V”字形固有頻率曲線(xiàn)時(shí)，①放射線(xiàn)與固有頻率曲線(xiàn)在穿越點(diǎn)的夾角越小，該放射線(xiàn)穿越諧振帶的速度越慢，即需要在較寬的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)才能穿過(guò)諧振帶。因而在轉(zhuǎn)子變速時(shí)，該倍頻放射線(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的平穩(wěn)性影響越大；②放射線(xiàn)與固有頻率曲線(xiàn)的夾角越大，其穿越諧振帶的速度越快。因而該倍頻放射線(xiàn)對(duì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)速升降的平穩(wěn)性影響越小。圖3～7都表現(xiàn)為每對(duì)V形曲線(xiàn)的右曲線(xiàn)比左曲線(xiàn)的響應(yīng)要大。因此在變速SGCMG和動(dòng)量輪的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，應(yīng)通過(guò)結(jié)構(gòu)參數(shù)優(yōu)化來(lái)盡量避免較大的激勵(lì)以較小的角度穿越諧振帶。

(6) 仿真和實(shí)測(cè)結(jié)果表明：在某些轉(zhuǎn)速范圍振動(dòng)較小，因此根據(jù)微振動(dòng)的測(cè)試結(jié)果選擇高速轉(zhuǎn)子/動(dòng)量輪的工作轉(zhuǎn)速(范圍)成為減小振動(dòng)的有效方法。

仿真圖和實(shí)測(cè)圖在幅值以及模態(tài)頻率的大小上還存在一定的差異，這可能是因?yàn)榉抡嬷械膮?shù)取得與實(shí)際情況存在一定差別，尤其是預(yù)緊軸承滾動(dòng)表面的幾何誤差所產(chǎn)生的預(yù)緊力的波動(dòng)量的幅值和相位難以準(zhǔn)確得到，這還需要后續(xù)的參數(shù)辨識(shí)。

7 結(jié) 論

通過(guò)對(duì)SGCMG中的高速轉(zhuǎn)子徑向振動(dòng)特性的分析和試驗(yàn)驗(yàn)證，可得到如下一些結(jié)論：

(1) 由高速轉(zhuǎn)子的靜動(dòng)不平衡量所產(chǎn)生的離心力和力偶以及預(yù)緊軸承滾動(dòng)面的幾何誤差所導(dǎo)致的預(yù)緊力的波動(dòng)等是激勵(lì)高速轉(zhuǎn)子振動(dòng)主導(dǎo)因素。

(2) 懸臂式高速轉(zhuǎn)子的徑向平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程耦合，使得系統(tǒng)的振動(dòng)輸出呈現(xiàn)雙V字形形式。所建立的動(dòng)力學(xué)模型(二階線(xiàn)性非齊次微分方程組)基本反映了高速轉(zhuǎn)子這一徑向低頻振動(dòng)特性。

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