基于聲管測(cè)量的粘彈性介質(zhì)動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)方法

陶 猛 , 趙 陽(yáng)

(1.貴州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，貴陽(yáng) 550025；2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,上海 200240)

以粘彈性介質(zhì)為基底材料的聲學(xué)覆蓋層既可以主動(dòng)聲吶的探測(cè)回波，還具有隔振隔聲的作用以降低噪聲的向外輻射，作為提高結(jié)構(gòu)隱身性能的一種重要技術(shù)手段已被廣泛采用。聲學(xué)覆蓋層的吸聲、隔聲等性能預(yù)報(bào)除了要采用合理的計(jì)算分析模型外，準(zhǔn)確的粘彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)也是必不可少的。

通常測(cè)定粘彈性材料參數(shù)的方法可分為力學(xué)方法和聲學(xué)方法兩大類。力學(xué)方法是利用測(cè)量材料樣品振動(dòng)特性來(lái)計(jì)算其力學(xué)參數(shù)的方法，比較常用的有強(qiáng)迫非共振法[1-2]、振動(dòng)梁法[3-4]、動(dòng)態(tài)粘彈譜儀法[5-6]。盡管這些測(cè)試方法都相對(duì)簡(jiǎn)單，但是這些方法都有各自的局限性，例如振動(dòng)測(cè)試方法的頻段較低，或者基于時(shí)溫等效原理推導(dǎo)的楊氏模量還沒(méi)有直接的測(cè)試結(jié)果加以驗(yàn)證等。與力學(xué)測(cè)試方法相比，聲學(xué)測(cè)試方法的優(yōu)點(diǎn)是直接測(cè)得材料的聲學(xué)性能參數(shù)，這樣可在頻段范圍上與機(jī)理研究同步。已有方法包括在水池中由待測(cè)材料的平板試樣測(cè)量斜向入射聲波的回聲降低或插入損失來(lái)反演材料參數(shù)[7-8]，但低頻測(cè)量時(shí)由于樣品邊緣的衍射干擾使得誤差較大。此外，也有利用做成球形的待測(cè)材料試樣，使實(shí)際測(cè)量的散射系數(shù)與理論計(jì)算的散射系數(shù)誤差達(dá)到最小的辦法來(lái)計(jì)算材料體積模量的做法[9]。

本文研究了一種基于水聲聲管測(cè)量粘彈性覆蓋層的反射系數(shù)，以此識(shí)別粘彈性材料動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)的方法。該方法的原理是考慮平面波垂直入射到圓柱空腔覆蓋層時(shí)，覆蓋層單元-粘彈性圓柱管中傳播的軸對(duì)稱波與基底材料的縱波和剪切波滿足粘彈性圓柱管的特征方程。若其中兩個(gè)參數(shù)已知，求解特征方程即可獲得未知的第三個(gè)參數(shù)，并進(jìn)而得到其它的粘彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)。然后，以某種橡膠制成的聲學(xué)覆蓋層樣品為例，進(jìn)行了聲管測(cè)量和結(jié)果分析。

1 粘彈性材料的動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)辨識(shí)方法

不論是均勻結(jié)構(gòu)的還是空腔結(jié)構(gòu)的、厚度為d的聲學(xué)覆蓋層，都可用四端網(wǎng)絡(luò)法建立覆蓋層前表面(下標(biāo)f表示)和后表面(下標(biāo)b表示)的聲壓p和質(zhì)點(diǎn)振速v的關(guān)系：

(1)

式中：對(duì)于均勻覆蓋層來(lái)說(shuō)，z和k分別是特性阻抗zc=ρω/kl和縱波波數(shù)kl=ω/cl，ρ是材料密度；對(duì)于含有圓柱空腔結(jié)構(gòu)覆蓋層來(lái)說(shuō)，z和k可以認(rèn)為是結(jié)構(gòu)等效阻抗ze=ρω/ke[10]和等效波數(shù)ke=ω/ce。

若波數(shù)kl和ke已知，可通過(guò)以下1.1和1.2節(jié)的參數(shù)辨識(shí)模型獲得粘彈性介質(zhì)的動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)。因此，kl和ke是參數(shù)辨識(shí)過(guò)程中的關(guān)鍵中間變量，其獲取方法是通過(guò)測(cè)量聲學(xué)覆蓋層的反射系數(shù)并計(jì)算得到。

當(dāng)平面波正入射到聲學(xué)覆蓋層時(shí)，反射系數(shù)R可由下式計(jì)算：

(2)

式中：zf和z0分別是覆蓋層前表面阻抗和水介質(zhì)特性阻抗。

根據(jù)式(1)，在后表面阻抗(背襯條件)zb=pb/vb已知的前提下(如絕對(duì)硬背襯zb=∞)，前表面阻抗zf可由下式得到

(3)

顯然，對(duì)于絕對(duì)硬背襯，zf=t11/t21；對(duì)于絕對(duì)軟背襯，zf=t12/t22。由于t12和t21既是波數(shù)k的函數(shù)，也是阻抗z=ρω/k的函數(shù)，所以當(dāng)實(shí)驗(yàn)測(cè)得覆蓋層的反射系數(shù)后，聯(lián)立求解式(2)和式(3)，即可得到波數(shù)kl(對(duì)于均勻結(jié)構(gòu))或ke(對(duì)于空腔結(jié)構(gòu))。需要指出的是，由于粘彈性介質(zhì)通常用復(fù)數(shù)形式表示其損耗特性，因而上述過(guò)程是通過(guò)在復(fù)平面上解算超越方程實(shí)現(xiàn)的。

1.1 復(fù)縱波聲速計(jì)算

(4)

式中：cl和ηcl是復(fù)縱波聲速的實(shí)部和損耗因子。需要指出的是，對(duì)于多數(shù)橡膠材料而言，盡管對(duì)縱波損耗因子來(lái)說(shuō)很小，但是并不應(yīng)該忽略不計(jì)。這是因?yàn)樵谟?jì)算復(fù)剪切波聲速的過(guò)程中，復(fù)縱波聲速是作為已知參數(shù)代入計(jì)算的，如果忽略復(fù)縱波聲速的損耗因子，必然會(huì)在復(fù)剪切波聲速的計(jì)算中引入誤差。

1.2 復(fù)剪切波聲速計(jì)算

對(duì)于圓柱空腔按照正六邊形周期排列的吸聲覆蓋層，由于對(duì)稱性可以只取其中的一個(gè)單元分析，但是建立正六面棱柱體的理論模型相當(dāng)困難，用圓柱代替可以簡(jiǎn)化模型的復(fù)雜性，這樣就得到粘彈性圓柱管的模型[11]，如圖1所示，其中粘彈性圓柱管的外半徑為a，內(nèi)半徑為b。

圖1 周期結(jié)構(gòu)圓柱空腔型吸聲覆蓋層的結(jié)構(gòu)示意圖

假設(shè)在聲波小振幅激勵(lì)的情況下，采用Kelvin-Voigt線性粘彈性模型來(lái)描述覆蓋層的基體材料，可以得到與彈性模型形式相同的方程和解，區(qū)別在于將彈性常數(shù)換成相應(yīng)的粘彈性常數(shù)[12]。圓柱管中軸對(duì)稱波的形式解一般可以寫(xiě)成[11](省略時(shí)間因子ejωt)：

(5)

在圓柱坐標(biāo)系下，位移和應(yīng)力用兩個(gè)標(biāo)量勢(shì)函數(shù)可表示為:

(6)

將式(5)代入式(6)得到:

(7)

其中

(8)

對(duì)于按照正三角形周期排列的圓柱空腔覆蓋層，在平面波垂直入射條件下，根據(jù)相鄰單元平衡的條件取單元的外邊界(r=a)位移等于0，切應(yīng)力等于0；內(nèi)壁的邊界條件忽略空氣的影響，取正應(yīng)力和切應(yīng)力均為0。因此，內(nèi)、外壁邊界條件可寫(xiě)為：(省略e-jkaz)

(9)

將位移和應(yīng)力的表達(dá)式代入邊界條件，得到方程組：

(10)

這就是粘彈性圓柱管的特征方程。要使該方程有解，則系數(shù)行列式必須為零，即:

(11)

(12)

(13)

2 動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)識(shí)別的結(jié)果及討論

在水聲聲管中對(duì)以某種橡膠材料制作的實(shí)心覆蓋層和空心覆蓋層兩種樣品進(jìn)行了反射系數(shù)的測(cè)量，測(cè)量的方法采用成熟的傳遞函數(shù)法[13]，根據(jù)測(cè)試結(jié)果對(duì)橡膠材料的粘彈性動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)進(jìn)行了計(jì)算，其中橡膠密度為1 120 kg/m3，圓柱空腔半徑為2 mm。

圖2 橡膠材料的復(fù)縱波聲速和復(fù)剪切波聲速

圖3 橡膠材料的復(fù)楊氏模量

此外，表1還比較了是否考慮縱波損耗因子對(duì)楊氏模量及其損耗因子計(jì)算結(jié)果的影響，其中定義了楊氏模量及其損耗因子的相對(duì)誤差

(14)

式中E和ηE分別是考慮縱波損耗因子的楊氏模量及其損耗因子，E*和ηE*分別是忽略縱波損耗因子的楊氏模量及其損耗因子。從表中可以看出，當(dāng)忽略較大的縱波損耗因子時(shí)，楊氏模量損耗因子計(jì)算的相對(duì)誤差也較大，如頻率1.4 kHz、ηcl=0.024時(shí)，相對(duì)誤差εηE=3.89%。需要指出的是，這里只是分析了忽略縱波損耗因子對(duì)復(fù)楊氏模量的影響關(guān)系，而對(duì)反射系數(shù)測(cè)試過(guò)程中引入的誤差環(huán)節(jié)暫不涉及。另一方面，通過(guò)比較得知，忽略縱波損耗因子對(duì)楊氏模量損耗因子的影響要大于對(duì)楊氏模量實(shí)部的影響。

表1 楊氏模量及其損耗因子計(jì)算的相對(duì)誤差

圖4 橡膠材料的復(fù)泊松比

3 結(jié) 論

本文研究了一種基于聲管測(cè)量粘彈性覆蓋層反射系數(shù)，并采用解析法計(jì)算和識(shí)別粘彈性介質(zhì)動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)的方法，這種方法的特點(diǎn)是能夠與聲學(xué)性能測(cè)試同步進(jìn)行，便于聲學(xué)覆蓋層的性能預(yù)報(bào)和優(yōu)化設(shè)計(jì)。通過(guò)對(duì)某種橡膠材料的測(cè)試分析可知，盡管橡膠類粘彈性材料的縱波損耗因子較小，但是仍對(duì)剪切波損耗因子的準(zhǔn)確識(shí)別有一定的影響，因此縱波損耗因子不應(yīng)簡(jiǎn)單地忽略不計(jì)。最后需要指出的是，由于測(cè)試聲管的截止頻率限制，文中對(duì)于材料參數(shù)的分析局限于中頻范圍，而本文提出的方法原則上也適用于高頻情況，如可采用脈沖法測(cè)量覆蓋層的反射系數(shù)，進(jìn)而拓寬粘彈性介質(zhì)動(dòng)態(tài)力學(xué)參數(shù)的識(shí)別范圍。

參 考 文 獻(xiàn)

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