邊界約束對(duì)梁抗爆動(dòng)力響應(yīng)的影響(Ⅰ)-理論研究及分析

宋春明， 王明洋， 劉 斌

(1.解放軍理工大學(xué) 爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210007; 2.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 210094)

除了材料性能和結(jié)構(gòu)形式等影響因素外，邊界約束的差異同樣會(huì)直接影響到結(jié)構(gòu)的抗爆動(dòng)力響應(yīng)及承載能力。例如鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的支座截面水平位移受到阻礙時(shí)，則會(huì)產(chǎn)生側(cè)向推力，使結(jié)構(gòu)內(nèi)部出現(xiàn)“面力”，研究表明它極大地降低結(jié)構(gòu)在塑性階段的變形性并提高結(jié)構(gòu)的極限承載力，這種現(xiàn)象被稱為“面力效應(yīng)”或者“薄膜效應(yīng)”[1-2]。另外，柔性支承(軟土)上構(gòu)件的撓度要比固定支承上相同構(gòu)件的撓度值低20%甚至更多，說(shuō)明不考慮邊界約束影響的計(jì)算理論已不再適用，需建立新的計(jì)算方法。另一方面分析并主動(dòng)調(diào)節(jié)支承約束裝置，在提高防護(hù)結(jié)構(gòu)的抗爆能力和發(fā)展有效的防護(hù)技術(shù)方面都具有重要的應(yīng)用價(jià)值[3-4]。

在靜力荷載作用下，對(duì)邊界約束提高鋼筋混凝土構(gòu)件的極限承載力已有較好的理論及試驗(yàn)研究[5-7]，在動(dòng)力荷載作用下，邊界約束對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的研究主要集中在數(shù)值方法和試驗(yàn)研究[8-9]，仍缺少直接描述邊界效應(yīng)的理論計(jì)算公式。

文中建立了復(fù)雜約束條件下抗爆梁在彈性階段和塑性階段的理論解析方法，并分析了豎向彈性與阻尼約束、水平約束和抗彎約束對(duì)梁動(dòng)力響應(yīng)的影響，表明可以有效利用柔性邊界提高結(jié)構(gòu)承載能力和降低變形性。

1 計(jì)算模型

圖1為一細(xì)長(zhǎng)直梁，兩端具有柔性約束邊界條件，梁受承受爆炸荷載p(x,t)作用，表達(dá)式為p=p0(1-t/td)，其中td為作用時(shí)間。兩端柔性嵌固，綜合考慮了各類約束情況，包括：豎向彈性支承系數(shù)k，豎向粘性支承系數(shù)e，水平方向彈性支撐剛度c，兩端抗彎剛度系數(shù)為gk，端部有集中質(zhì)量為m0。

圖1 復(fù)雜約束條件下梁的計(jì)算模型

模型邊界條件較多，需建立多個(gè)平衡方程，不利于得到結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的解析解，可將邊界約束分為二部分，一是豎向彈性與阻尼約束情況，二是水平約束與抗彎約束情況。

1.1 彈性階段

在彈性階段，梁端處的主要位移發(fā)生在豎直方向，而水平位移和截面轉(zhuǎn)動(dòng)主要發(fā)生在塑性階段，彈性階段非常小，可忽略彈性階段水平位移和截面轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的影響。

僅豎向彈性和阻尼約束下，結(jié)構(gòu)位移可表示為:

y(x,t)=u(t)+pF(x)T(t)

(1)

式中：F(x)為簡(jiǎn)支梁的振型，T(t)是位移動(dòng)力函數(shù)，它的最大值即為動(dòng)力系數(shù)。

將式(1)代入到梁的振動(dòng)方程式，有:

(2)

式中：ω為對(duì)應(yīng)于振型函數(shù)F(x)的振動(dòng)頻率，

彈性支座上集中質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)方程

(3)

式(2)、(3)組成求解方程組并無(wú)量綱化，有：

(4)

λ2=ω2ml/(2k)

在三角形爆炸荷載作用下，當(dāng)滿足0

(5)

式中：Ai,Bi,Di,Ei為系數(shù)，均可由初始條件解得。

1.2 塑性階段

許多的結(jié)構(gòu)靜力試驗(yàn)已證明，在靜載作用下，端部水平和抗彎約束對(duì)結(jié)構(gòu)受力的影響主要是在塑性階段，結(jié)構(gòu)在爆炸等動(dòng)荷載作用下，兩類約束對(duì)結(jié)構(gòu)的影響亦是如此[10]。

進(jìn)入塑性階段的時(shí)刻τ可由下式求得。

(6)

式中：T(τ)為動(dòng)力函數(shù)，My,d為動(dòng)力屈服彎矩，Mp為靜載p0作用下的跨中彎矩。

1.2.1 豎向彈性和阻尼約束

進(jìn)入塑性階段，假定跨中出現(xiàn)一個(gè)塑性鉸，梁是由兩塊剛體通過(guò)塑性鉸連結(jié)而成的體系，轉(zhuǎn)角截面仍符合平截面假定。利用虛功原理，可推導(dǎo)出塑性階段梁的運(yùn)動(dòng)方程組。

(7)

式中:ms=0.5ml+m0，kM為屈服彎矩的動(dòng)力系數(shù)，kM=My,d/Mp。

塑性階段開(kāi)始時(shí)的初始條件為：

(8)

式中：

(9)

其中，

(10)

可求得方程式組(7)的解為:

(11)

1.2.2 水平和抗彎約束

梁形成塑性鉸后，邊界產(chǎn)生的推力作用會(huì)隨著結(jié)構(gòu)的變形發(fā)展而不斷增加，首先假定該推力不會(huì)超過(guò)受壓混凝土破壞時(shí)的極限壓力值，即

pH,max

(12)

式中：pH,max、pHn分別為結(jié)構(gòu)受到的極限推力和受壓區(qū)混凝土達(dá)到極限壓應(yīng)變時(shí)的推力值。

計(jì)算時(shí)，豎直方向考慮慣性力，水平方面則忽略慣性力，只考慮水平推力，模型如圖2所示。

圖2 水平彈性約束與抗彎約束梁的計(jì)算模型

此時(shí)位移表達(dá)式:

w=φ(t)x, 0≤x≤l/2

(13)

利用虛位移原理，推得塑性階段梁的運(yùn)動(dòng)方程，考慮豎向慣性力及水平推力pH=2c·φ(t)z。

pHzcδφ-gkφδφ=0

簡(jiǎn)化得：

(14)

式(14)也可簡(jiǎn)化為

(15)

式(15)的初始條件為：當(dāng)塑性階段開(kāi)始時(shí)刻，忽略彈性階段兩端截面轉(zhuǎn)角，則t=τ時(shí)有：

(16)

根據(jù)式(15)，并結(jié)合初始條件(16)，可求得

(17)

(18)

2 計(jì)算結(jié)果及分析

假定一等效的鋼筋混凝土梁承受三角形爆炸荷載，沿梁均勻分布，截面尺寸為b×h=0.2 m×0.5 m，跨度l=5 m；理想彈塑性材料，等效彈性模量E=3×104MPa，密度2 500 kg/m3，屈服強(qiáng)度f(wàn)y=17.2 MPa。

定義相對(duì)線剛度系數(shù)和相對(duì)抗彎剛度系數(shù)

(19)

式中：W為梁截面抗彎模量。

雖然彈性階段由于結(jié)構(gòu)撓曲變形引起的水平推力和端截面轉(zhuǎn)動(dòng)有限，但彈性階段的動(dòng)力計(jì)算必不可少，目的是由連續(xù)性條件求得塑性階段初始條件。

假定Qc是梁的靜力屈服荷載，當(dāng)爆炸荷載峰值p0>0.8Qc時(shí)，梁會(huì)進(jìn)入塑性階段，計(jì)算時(shí)取p0=80 kN，td=0.05 s，并定義塑性位移動(dòng)力函數(shù)為:

(20)

式中：yst為靜載p0作用下梁的最大彈性撓度。彈性階段內(nèi)，則有kf=T(t)。

圖3是爆炸荷載作用下不同豎向彈性約束剛度λ=2、5、6、10時(shí)梁的中點(diǎn)位移時(shí)程曲線，該位移是指由梁彎曲變形引起的撓度，不包含支座引起的剛性位移。其中λ=2和λ=5時(shí)，結(jié)構(gòu)未能進(jìn)入塑性階段，最大位移函數(shù)值分別為0.2和0.3，且豎向剛度越小時(shí)，其位移越小。λ=6和λ=10時(shí)，結(jié)構(gòu)均進(jìn)入塑性階段，與彈性階段相比，位移較大，位移系數(shù)分別為3.1和3.6，且相對(duì)剛度越小，其值越小。引起結(jié)構(gòu)動(dòng)力系數(shù)減小的原因主要有：一是支座豎向位移引起結(jié)構(gòu)附加慣性力，消耗一部分能量；二是豎向彈性約束本身變形存儲(chǔ)部分能量。豎向彈性約束可主動(dòng)調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)減小強(qiáng)動(dòng)載下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，相對(duì)提高結(jié)構(gòu)的抗力。提高的效果與彈性支承的剛度、載荷作用時(shí)間的長(zhǎng)短以及振動(dòng)衰減的程度相關(guān)[3]。

圖3 豎向彈性約束對(duì)位移的影響

分別計(jì)算水平剛度系數(shù)ξ=0(簡(jiǎn)支)、0.1、0.2、0.5時(shí)梁的動(dòng)力位移，如圖4所示，為不同水平約束剛度梁的豎向跨中位移時(shí)程曲線。可以看出，在塑性階段，水平約束剛度對(duì)結(jié)構(gòu)位移的影響顯著。當(dāng)水平支撐剛度ξ=0時(shí)，即簡(jiǎn)支梁情況，塑性位移動(dòng)力函數(shù)的峰值是1.55，當(dāng)支承剛度分別增大到ξ=0.1、0.2和0.5時(shí)，峰值相應(yīng)減小到1.29、1.1、0.9，說(shuō)明隨著支撐剛度增大，結(jié)構(gòu)的位移動(dòng)力函數(shù)會(huì)相應(yīng)減小。簡(jiǎn)支情況，即兩端點(diǎn)可水平自由運(yùn)動(dòng)時(shí)，位移最大。以上表明：水平支撐約束的存在，降低了梁位移的變形和動(dòng)力系數(shù)，結(jié)構(gòu)抗力可相對(duì)程度地得到提高。還可看出，水平支承剛度越小，動(dòng)力函數(shù)到達(dá)峰值的時(shí)間就越遲，說(shuō)明彈性支承剛度的減小會(huì)增大結(jié)構(gòu)的振動(dòng)周期。

圖4 水平約束剛度對(duì)塑性位移函數(shù)的影響

對(duì)于梁承受均布平臺(tái)荷載p0情況，結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)可用三角形荷載作用的解令td→∞變換得到,圖5為平臺(tái)荷載和三角形荷載計(jì)算結(jié)果的對(duì)比圖。

兩類荷載的峰值相等，平臺(tái)荷載可認(rèn)為作用時(shí)間非常長(zhǎng)，td→∞。從圖6中可看出，相同水平約束剛度條件下，平臺(tái)荷載下結(jié)構(gòu)的塑性位移動(dòng)力函數(shù)均高于相同邊界條件的三角形荷載下結(jié)構(gòu)的位移動(dòng)力函數(shù)，表明荷載的作用時(shí)間越長(zhǎng)，對(duì)結(jié)構(gòu)承載越不利。

圖5 兩類動(dòng)荷載下水平約束剛度的影響比較

圖6為水平剛度系數(shù)ξ=0.2保持不變，不同屈服彎矩強(qiáng)化系數(shù)δM對(duì)梁塑性位移系數(shù)的影響曲線。δM是由于結(jié)構(gòu)受瞬時(shí)動(dòng)力荷載作用，快速加載對(duì)材料強(qiáng)度起增強(qiáng)作用，導(dǎo)致屈服彎矩與靜載下屈服彎矩之比大于1。當(dāng)δM=1.0時(shí)，即不考慮動(dòng)力強(qiáng)化作用，從圖6中可以看出，梁的動(dòng)力函數(shù)值最大；當(dāng)考慮加載速率對(duì)材料強(qiáng)度的影響時(shí)，δM>1，且隨著δM的增大，結(jié)構(gòu)的位移動(dòng)力系數(shù)相應(yīng)減小，說(shuō)明考慮材料的動(dòng)力增強(qiáng)作用可有效提高結(jié)構(gòu)的抗爆潛力。

圖6 屈服彎矩動(dòng)力強(qiáng)化系數(shù)的影響

圖7為不同抗彎約束剛度梁的跨中豎向位移時(shí)程曲線。在塑性階段，抗彎約束直接限制剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)結(jié)構(gòu)位移的影響顯著。當(dāng)抗彎剛度系數(shù)η=0時(shí)，即兩端簡(jiǎn)支情況，塑性位移動(dòng)力函數(shù)的峰值是1.55，當(dāng)抗彎剛度系數(shù)分別增大到η=0.1、0.2和0.5時(shí)，峰值相應(yīng)減小到1.0、0.81、0.58，分別減小35%、48%、63%，表明抗彎剛度的增加，中點(diǎn)的位移動(dòng)力系數(shù)會(huì)相應(yīng)減小。通過(guò)調(diào)整抗彎約束剛度，也可相對(duì)提高梁的抗爆能力。

圖7 抗彎約束剛度對(duì)位移函數(shù)的影響

3 結(jié) 論

(1) 文中建立了復(fù)雜約束條件下抗爆梁在彈性階段和塑性階段的理論解析方法，可對(duì)復(fù)雜約束條件下的梁式結(jié)構(gòu)進(jìn)行彈塑性動(dòng)力響應(yīng)分析。

(2) 豎向彈性約束可調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)，引起附加慣性力,消耗更多爆炸能量，減小強(qiáng)動(dòng)載下結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)，相對(duì)提高結(jié)構(gòu)的抗力。

(3) 在塑性階段，水平彈性約束和抗彎約束影響梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)顯著。水平支撐約束的存在，使梁截面在變形過(guò)程中產(chǎn)生橫向壓力，降低位移動(dòng)力系數(shù)；抗彎剛度的增加，同樣會(huì)減小的結(jié)構(gòu)位移動(dòng)力系數(shù)，結(jié)構(gòu)抗力可相對(duì)地得到提高，可通過(guò)調(diào)整水平約束或者抗彎剛度來(lái)提高梁式結(jié)構(gòu)的抗爆承載潛力。

(4) 平臺(tái)荷載作用下結(jié)構(gòu)的塑性位移動(dòng)力函數(shù)均高于同等條件下的三角形荷載下的位移動(dòng)力函數(shù)，說(shuō)明平臺(tái)荷載對(duì)結(jié)構(gòu)承載更不利。

(5) 當(dāng)考慮加載速率對(duì)材料強(qiáng)度的影響時(shí)，即δM>1，隨著δM的增加，結(jié)構(gòu)的位移動(dòng)力系數(shù)相應(yīng)減小，可有效提高結(jié)構(gòu)的抗爆潛力。

參 考 文 獻(xiàn)

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