基于Hammerstein模型的柴油機(jī)隔振非線性系統(tǒng)振動(dòng)分析

肖 斌， 高 超， 李 勇

(東北電力大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，吉林 132012)

近些年，振動(dòng)主動(dòng)控制在理論、技術(shù)和方法上均得到長足發(fā)展，已在航空航天、船舶、車輛工程等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1]，并在動(dòng)力裝置[2]、設(shè)備和結(jié)構(gòu)[3]等減振降噪方面發(fā)揮了愈來愈重要的作用。然而，在動(dòng)力系統(tǒng)中，因主動(dòng)控制加強(qiáng)耦合作用及打破小振動(dòng)狀況等[4]而產(chǎn)生系統(tǒng)非線性，抑或因設(shè)計(jì)、選擇非線性吸振器、隔振器等[3]而引入系統(tǒng)非線性，使得主動(dòng)控制誤差通道及初級通道的振動(dòng)傳遞、響應(yīng)環(huán)節(jié)均具有非線性[4-5]。系統(tǒng)非線性，會(huì)掩蓋系統(tǒng)線性環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特征，終將影響動(dòng)力系統(tǒng)的建模、振動(dòng)分析、控制策略設(shè)計(jì)的合理和有效性。考慮系統(tǒng)非線性特征進(jìn)行系統(tǒng)振動(dòng)分析，對于振動(dòng)主動(dòng)控制非線性系統(tǒng)是一個(gè)不可回避的問題。

針對系統(tǒng)中存在的非線性，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[6]、非線性控制模型[7-9]等，通過建立非線性系統(tǒng)預(yù)測模型及其優(yōu)化控制，能夠獲取系統(tǒng)非線性特征；利用模塊化結(jié)構(gòu)非線性模型，例如Hammerstein模型、Wiener模型、Hammerstein-Wiener模型和Wiener-Hammerstein模型[10]，通過非線性系統(tǒng)辨識，能夠深入、直接研究系統(tǒng)非線性特征。其中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型[6]，具有逼近任意非線性映射的能力，通過預(yù)測模型估計(jì)系統(tǒng)非線性特征；其它模型的非線性控制，例如狀態(tài)反饋[7]、魯棒控制[8]和自適應(yīng)控制[9]等，在非線性系統(tǒng)線性化過程能夠獲取系統(tǒng)非線性特征；而Hammerstein模型，其模型結(jié)構(gòu)清晰、參數(shù)辨識方法多樣，例如過參數(shù)化法、子空間法、分離最小二乘法、盲識別法和迭代法等[11]，應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，例如非線性系統(tǒng)辨識[12]、信號處理[13]、自適應(yīng)控制[9]等，能夠深刻地描述非線性系統(tǒng)特征[10]。因而，對于純輸入型非線性系統(tǒng)，基于Hammerstein模型的系統(tǒng)辨識是合適的。于是，在獲得非線性特征基礎(chǔ)上，針對動(dòng)力系統(tǒng)線性環(huán)節(jié)，利用試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法，借助曲線擬合的模態(tài)參數(shù)辨識頻域方法[14-18]，基于系統(tǒng)頻響函數(shù)參數(shù)估計(jì)，獲得包括模態(tài)頻率、振型、阻尼比和參與因子等結(jié)構(gòu)動(dòng)力特征[14]。這既可準(zhǔn)確獲取初級通道及誤差通道的系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)、振動(dòng)傳遞及響應(yīng)特征，又為振動(dòng)主動(dòng)控制優(yōu)化作動(dòng)器的位置和確定誤差傳感器的類型、數(shù)量、最佳布置以及最大限度地實(shí)現(xiàn)控制策略提供基礎(chǔ)。

本文針對在振動(dòng)主動(dòng)控制中建立的柴油機(jī)隔振非線性系統(tǒng)，考慮誤差通道非線性，基于Hammerstein模型建立廣義頻響函數(shù)，以掃頻試驗(yàn)數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)分析非線性對其振動(dòng)特性的影響，并獲得線性頻響函數(shù)，最終基于曲線擬合的試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析方法，獲取系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特征，為分析柴油機(jī)雙層隔振臺架的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特征、振動(dòng)傳遞特征和響應(yīng)特征以及實(shí)現(xiàn)其有效的振動(dòng)主動(dòng)控制奠定基礎(chǔ)。

1 柴油機(jī)隔振非線性系統(tǒng)

利用實(shí)際柴油機(jī)作為初級振源，建立柴油機(jī)隔振雙層隔振系統(tǒng)，進(jìn)行振動(dòng)主動(dòng)控制研究[1]。由于隔振系統(tǒng)存在耦合非線性振動(dòng)，加之作動(dòng)器為液壓伺服系統(tǒng)，如圖1所示，導(dǎo)致振動(dòng)主動(dòng)控制誤差通道存在嚴(yán)重的純輸入型非線性[4]，構(gòu)成Hammerstein型非線性系統(tǒng)。

圖1 柴油機(jī)主動(dòng)隔振非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡圖

在圖1中，柴油機(jī)主動(dòng)隔振非線性系統(tǒng)，主要由柴油機(jī)、測功器和聯(lián)軸器等組成的柴油機(jī)上層質(zhì)量子系統(tǒng)以及公共支架、隔振器-液壓作動(dòng)器、中間質(zhì)量、下層質(zhì)量和基礎(chǔ)梁等子系統(tǒng)構(gòu)成，其主動(dòng)控制誤差通道具有耦合作用，而通過采用四個(gè)中間質(zhì)量塊、四個(gè)作動(dòng)器和獨(dú)立控制通道等措施進(jìn)行硬件去耦，形成誤差通道四個(gè)去耦通道[1,4]。

2 Hammerstein模型及曲線擬合技術(shù)

2.1 基頻諧振廣義頻響函數(shù)

考慮柴油機(jī)隔振系統(tǒng)主動(dòng)控制誤差通道為純輸入型非線性系統(tǒng)，其系統(tǒng)模型描述基于Hammerstein模型由多項(xiàng)式微分方程給出，即[8]:

(1)

式中，t為時(shí)間，dp為p階微分算子，ap為p階輸出系數(shù)，cn,p1,…,pn為系統(tǒng)非線性輸入系數(shù)。

利用Volterra級數(shù)逼近式(1)，振動(dòng)分析忽略直流偏移量，通過階次截?cái)喃@得非線性系統(tǒng)N階模型[19]:

yN(t)=

(2)

式中，yN(·)為N階截?cái)嗄Ｐ蜁r(shí)域輸出，hn(·)為n階廣義脈沖響應(yīng)函數(shù),其n維Fourier變換Hn(·)稱為n階廣義頻響函數(shù)。

對式(2)進(jìn)行Fourier變換得到系統(tǒng)頻域表達(dá):

(3)

在式(3)中，當(dāng)受單頻ω={ω1=,…,=ωn}激勵(lì)時(shí)，系統(tǒng)在激勵(lì)頻率上振動(dòng)響應(yīng)將受到高階次廣義頻響函數(shù)作用。于是，對于k=2,3,…，將對基頻響應(yīng)存在作用的n(=2k-1)階廣義頻響函數(shù)定義為n階基頻諧振廣義頻響函數(shù)，即:

(4)

若單頻激勵(lì)

u(t)=Aicos(ωit+φi)

(5)

式中，Ai、φi、ωi分別為激勵(lì)幅值、初相位和圓頻率。

那么，在單頻激勵(lì)下，非線性系統(tǒng)Hammerstein模型的頻域響應(yīng)為:

(6)

2.2 曲線擬合方法

(7)

針對式(7)，為克服LS估計(jì)在低頻區(qū)間誤差缺乏敏感度缺點(diǎn)，Sanathanan和Koerner[15]提出一種多項(xiàng)式參數(shù)估計(jì)的SK算法，該算法的誤差準(zhǔn)則和誤差向量為:

(8)

WSK算法誤差準(zhǔn)則和誤差向量為[16]:

(9)

基于式(7)，Gauss-Newton算法(GN算法)是一種非線性LS參數(shù)估計(jì)法，WGN算法的誤差準(zhǔn)則和誤差向量為[16]:

(10)

針對誤差向量e，定義Jacobi陣J(i)=?e(i)/?θ(i)，給出二次型誤差準(zhǔn)則，即:

(11)

則對應(yīng)的參數(shù)估計(jì)迭代公式為:

J(i)θ(i+1)=J(i)θ(i)-e(i)

(12)

在迭代過程中，例如Mannetje和Whitfield[16]，通過適當(dāng)選擇權(quán)函數(shù)和松弛因子，能夠改善算法收斂性和收斂速度。

根據(jù)WSK、WGN算法的誤差準(zhǔn)則式(11)，需要利用迭代公式(12)估計(jì)參數(shù)向量θ。對此，Bayard[17]提出LS-TLS算法，在進(jìn)行估計(jì)參數(shù)向量θ時(shí)，回避了迭代過程。LS-TLS算法利用矩陣QR分解、SVD分解和稀疏矩陣計(jì)算等方法，直接實(shí)現(xiàn)參數(shù)向量的估計(jì)，發(fā)展了WSK、WGN算法[18]。

在誤差準(zhǔn)則式(11)中，LS-TLS算法的Jacobi矩陣具有稀疏矩陣結(jié)構(gòu)，即：

(13)

在式(13)中，對其分塊矩陣進(jìn)行QR分解:

Γk=[Qk,Γ1Qk,Γ2][Rk,Γ0]T

(14)

(15)

對矩陣Λ進(jìn)行QR分解，得

Λ=[QΛ1QΛ2][RΛ0]T

(16)

對矩陣RΛ進(jìn)行奇異值分解，得

RΛ=U∑VH

(17)

式中，∑=diag(σ1,…,σn+1)，V=[v1,…,vn+1]。

頻響函數(shù)分母多項(xiàng)式參數(shù)向量β，為最小奇異值所對應(yīng)的特征向量，即

(18)

而頻響函數(shù)分子多項(xiàng)式參數(shù)向量α，能夠通過下式給出，即

(19)

式中，y=[…R(Hm)F(Hm)…]T。

綜上，式(18)和(19)共同實(shí)現(xiàn)式(7)的參數(shù)辨識，即:

2.3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)估計(jì)

為辨識系統(tǒng)線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力參數(shù)，令s=jω，并忽略剩余模態(tài)，(1階廣義)頻響函數(shù)改寫成部分分式格式，即[14]

(20)

式中，pk、φk、Lk分別為第k個(gè)極點(diǎn)、模態(tài)振型、模態(tài)參與因子。

根據(jù)式(20)，系統(tǒng)模態(tài)頻率ωk和阻尼比ζk為[14]

pk=R(pk)+jF(pk)

(21)

ωk=|pk|

(22)

ζk=-R(pk)/ωk

(23)

3 方法的實(shí)現(xiàn)

3.1 曲線擬合

針對式(7)，利用曲線擬合技術(shù)，通過WSK、WGN和LS-TLS算法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，其參數(shù)估計(jì)過程如圖2所示。其中，WSK算法得到線性LS估計(jì)解，而WGN算法在WSK算法LS估計(jì)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步得到全局最優(yōu)估計(jì)，即：

(1) WSK算法迭代過程

為了改善參數(shù)估計(jì)過程中矩陣計(jì)算條件數(shù)，利用ωs=(ωmax-ωmin)作為因子對頻率軸ω進(jìn)行無量綱化處理，并通過下式對參數(shù)向量進(jìn)行賦初值，即

θ(0)=[βT,αT]=[1 0 … 0]T

(24)

通過LS-TLS算法對WSK算法求解，迭代過程直至收斂。

(2) WGN算法迭代過程

采用WSK算法迭代結(jié)果作為初始值，通過LS-TLS算法對WGN算法求解，迭代過程收斂，算法結(jié)束，獲得頻響函數(shù)全局最優(yōu)的參數(shù)辨識結(jié)果。

圖2 曲線擬合法對(基頻諧振廣義)頻響函數(shù)參數(shù)估計(jì)框圖

3.2 基于Hammerstein模型的振動(dòng)分析

根據(jù)式(6)，在單頻激勵(lì)下，Hammerstein模型的基頻(激勵(lì)頻率)響應(yīng)，不僅包含因(1階廣義)頻響函數(shù)作用產(chǎn)生的響應(yīng)成分，還包含因基頻諧振廣義頻響函數(shù)作用而產(chǎn)生的響應(yīng)成分。基于單頻激勵(lì)-響應(yīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行(1階廣義)頻響函數(shù)參數(shù)辨識，需要在基頻響應(yīng)R1(ωi)中剔除掉因基頻諧振廣義頻響函數(shù)作用而產(chǎn)生的響應(yīng)成分。因此基于Hammerstein模型曲線擬合的非線性系統(tǒng)振動(dòng)分析過程如下：

(2) 計(jì)算頻域輸入U(xiǎn)n。

(3) 根據(jù)式(6)，在基頻響應(yīng)R1(ωi)中剔除基頻諧振廣義頻響函數(shù)的作用，得到系統(tǒng)線性響應(yīng)。

(4) 基于單頻激勵(lì)-線性響應(yīng)頻響關(guān)系，利用曲線擬合技術(shù)進(jìn)行(1階廣義)頻響函數(shù)參數(shù)辨識。

(5) 基于頻響函數(shù)參數(shù)辨識結(jié)果，利用式(20)～(23)完成非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析。

4 試驗(yàn)結(jié)果及數(shù)據(jù)分析

在0～100 Hz頻段內(nèi)以間隔2 Hz對柴油機(jī)主動(dòng)隔振系統(tǒng)的誤差通道進(jìn)行掃頻試驗(yàn)，獲得該非線性系統(tǒng)的模態(tài)試驗(yàn)數(shù)據(jù)。在此基礎(chǔ)上，基于Hammerstein模型曲線擬合方法，對柴油機(jī)主動(dòng)隔振非線性系統(tǒng)去耦誤差通道的2#通道，進(jìn)行非線性系統(tǒng)振動(dòng)分析。

柴油機(jī)主動(dòng)隔振系統(tǒng)誤差通道為純輸入型非線性系統(tǒng)，且前5階非線性為系統(tǒng)包含的主要非線性[4]。因而本文在誤差通道2#通道的非線性系統(tǒng)振動(dòng)分析中采用了5階非線性Hammerstein模型。

根據(jù)式(6)，5階非線性Hammerstein模型的非線性系統(tǒng)分析，需要第3、5階基頻諧振廣義頻響函數(shù)。因此，利用Hammerstein模型曲線擬合方法，在無量綱頻率軸[0 1]上獲得第3、5階基頻諧振廣義頻響函數(shù)，其幅頻曲線如圖3和圖4所示。

圖3 誤差通道2#通道第3階基頻諧振廣義頻響函數(shù)幅頻曲線

由圖3和圖4可知，在約10 Hz(f*=0.1)及以上頻段內(nèi)，系統(tǒng)的第3、5階基頻諧振廣義頻響函數(shù)均具有很大的(≥40 dB)增益值，可見系統(tǒng)第3、5階非線性是不可忽略的，其存在必然影響系統(tǒng)基頻響應(yīng)。

圖5和圖6分別給出了(1階廣義)頻響函數(shù)的幅頻和相頻曲線。在圖5和圖6中，H∑,1為忽略系統(tǒng)非線性而直接通過激勵(lì)-響應(yīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)辨識出的頻響函數(shù)；H1,1為在激勵(lì)-響應(yīng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)中剔除第3、5階基頻諧振廣義頻響函數(shù)作用而辨識出的頻響函數(shù)。

圖4 誤差通道2#通道第5階基頻諧振廣義頻響函數(shù)幅頻曲線

H∑,1—harmonic generalized FRFs;H1,1—Linear FRF

H∑,1—harmonic generalized FRFs;H1,1—Linear FRF

在圖5中，在15 Hz(f*=0.15)以下及在30 Hz(f*=0.3)以上的頻率范圍，H1,1和H∑,1幅頻曲線存在一定的差異，而其差異則反映第3、5階基頻諧振廣義頻響函數(shù)對系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的作用。在圖6中，在15 Hz(f*=0.15)以下及在30 Hz(f*=0.3)以上的頻率范圍，H1,1和H∑,1相頻曲線存在明顯差異且其相位曲線穿過φ=±90°，這反映第3、5階基頻諧振廣義頻響函數(shù)的作用不僅影響系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)還可能改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力特征。可見，第3、5階非線性的存在不僅影響了振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)還會(huì)改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特征；當(dāng)系統(tǒng)非線性不可忽略時(shí)，利用H1,1較之H∑,1能夠獲得更可靠的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特征。

在獲得(1階廣義)頻響函數(shù)H1,1基礎(chǔ)上，利用曲線擬合技術(shù)通過式(21)～(23)估計(jì)系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)，然而因中間節(jié)點(diǎn)缺失而未能根據(jù)式(20)給出模態(tài)振型。于是，針對誤差通道2#通道，借助模態(tài)參數(shù)估計(jì)穩(wěn)定圖如圖7所示，辨識動(dòng)力系統(tǒng)的固有頻率、模態(tài)阻尼等結(jié)構(gòu)動(dòng)力特征(見表1)。

°—unstable poles;+—stable poles;-—HL FRF curve;OP—the order of characteristic polynomial

表1 誤差通道2#通道的模態(tài)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

a阻尼適當(dāng)，可靠模態(tài)參數(shù)

b阻尼過大，過擬合現(xiàn)象

c阻尼過小，過擬合現(xiàn)象

綜上所述，利用Hammerstein模型曲線擬合方法，能夠消除系統(tǒng)非線性的影響，獲得誤差通道2#通道可靠的線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力特征，實(shí)現(xiàn)了柴油機(jī)主動(dòng)隔振非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析。

5 結(jié) 論

在柴油機(jī)隔振系統(tǒng)主動(dòng)控制誤差通道2#通道振動(dòng)分析過程，考慮誤差通道純輸入型非線性特征，利用Hammerstein模型曲線擬合方法實(shí)現(xiàn)其線性動(dòng)力系統(tǒng)辨識及模態(tài)參數(shù)估計(jì)，并得到如下一些結(jié)論：

(1) 系統(tǒng)非線性存在不僅影響振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)還會(huì)改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)動(dòng)力特征，而基于Hammerstein模型曲線擬合方法能夠消除其在動(dòng)力系統(tǒng)振動(dòng)分析的影響。

(2) 曲線擬合技術(shù)是一種頻域模態(tài)參數(shù)辨識方法，能夠辨識出動(dòng)力系統(tǒng)可靠的模態(tài)參數(shù)。

(3) 通過考慮系統(tǒng)非線性，基于Hammerstein模型曲線擬合方法能夠獲得柴油機(jī)主動(dòng)隔振非線性系統(tǒng)2#通道可靠的線性結(jié)構(gòu)動(dòng)力特征。

然而，本文提出的非線性系統(tǒng)振動(dòng)分析方法，僅適用于Hammerstein模型系統(tǒng)，而對于Wiener模型或Hammerstein-Wiener模型的非線性系統(tǒng)的振動(dòng)分析，仍需進(jìn)一步開展研究工作。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]楊鐵軍.柴油機(jī)裝置有源隔振技術(shù)研究[D]. 哈爾濱:哈爾濱工程大學(xué),2001.

[2]李維嘉,曹青松.船舶振動(dòng)主動(dòng)控制的研究進(jìn)展與評述[J].中國造船. 2007,48(2): 68-79.

LI Wei-jia, CAO Qing-song. Advances and review on the research of the active control of ship vibration[J]. Shipbuilding of China. 2007,48(2): 68-79.

[3]王 軍,楊亞東,張家應(yīng),等.面向結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制的壓電作動(dòng)器優(yōu)化配置研究[J].航空學(xué)報(bào),2012,33(3): 494-500.

WANG Jun, YANG Ya-dong, ZHANG Jia-ying., et al. Investigation of piezoelectric actuator optimal configuration for structural vibration control[J]. Acta Aeronautica et Astronau-tica Sinica, 2012, 33(3): 494-500.

[4]肖 斌,劉學(xué)廣,劉志剛,等.柴油機(jī)隔振系統(tǒng)液壓作動(dòng)器線性化控制試驗(yàn)研究[J].中國機(jī)械工程.2007, 16 (24): 2933-2938.

XIAO Bin, LIU Xue-guang, LIU Zhi-gang, et al. Experimental investigation on linearization control for hydraulic-servo actuator of diesel vibration isolation system[J].China Mechanical Engineering, 2007,16 (24): 2933-2938.

[5]聶永紅,程軍圣.有源噪聲控制次級聲源的非線性建模[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào), 2011, 24(5): 562-567.

NIE Yong-hong, CHENG Jun-sheng. Nonlinearity modeling of secondary sound source in active noise control[J]. Journal of Vibration Engineering, 2011,24(5):562-567.

[6]薛福珍,柏 潔.基于先驗(yàn)知識和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的非線性建模與預(yù)測控制[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào), 2004, 16(5):1057-1063.

XUE Fu-zhen, BAI Jie. Nonlinear modeling and predictive control based on prior knowledge and neural networks[J]. Journal of System Simulation, 2004, 16(5):1057-1063.

[7]羅曉曙,陳關(guān)榮,汪秉宏,等. 狀態(tài)反饋和參數(shù)調(diào)整控制離散非線性系統(tǒng)的倍周期分岔和混沌[J].物理學(xué)報(bào), 2003, 52(4): 790-794.

LUO Xiao-shu, CHEN Guan-rong, WANG Bing-hong, et al. Control of period-doubling bifurcation and chaos in a discrete nonlinear system by the feedback of states and parameter adjustment[J]. Acta Physica Sinica, 2003, 52(4): 790-794.

[8]曹建福,韓崇昭,方洋旺.非線性系統(tǒng)理論及應(yīng)用[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,2001

[9]Ding F, Chen T, Iwai Z. Adaptive digital control of Hammerstein nonlinear systems with limited output sampling, SIAM J. Control Optim, 2006, 45 (6): 2257-2276.

[10]王 峰,邢科義,徐小平.辨識Hammerstein模型方法研究[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào), 2011, 23(6): 1090-1092,1136.

WANG Feng, XING Ke-yi, XU Xiao-ping. Study on method for identification of Hammerstein model[J]. Journal of System Simulation, 2011, 23(6): 1090-1092,1136.

[11]Ding F, Liu X P, Liu G J. Identification methods for Hammerstein nonlinear systems[J]. Digital Signal Processing, 2011, 21: 215-238.

[12]劉 棟,陶 濤,梅雪松.伺服系統(tǒng)Hammerstein非線性模型及參數(shù)辨識方法研究[J].西安交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2010, 44(3): 42-44.

LIU Dong, TAO Tao, MEI Xue-song. Nonlinear Hammerstein model and parameter identification for servo drive system[J]. Journal of Xi’an Jiaotong University, 2010, 44(3): 42-44.

[13]Khosrow L. A Modified Volterra-Wiener-Hammerstein model for loudspeaker precompensation[J]. Signals, Systems and Computers, 2005: 344-348.

[14]傅志方.振動(dòng)模態(tài)分析與參數(shù)辨識[M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,1990年.

[15]Sanathanan C K, Koerner J. Transfer function synthesis as the ratio of two complex polynomials[J]. IEEE Transactions on Automatic Control.1963, 9 (1): 56-58.

[16]Pintelon R, Guillaume P, Rolain Y, et al. Parametric identification of transfer function in the frequency domain, a survey[J].Proceedings of the 32nd conference on Decision and Control,1993: 557-566.

[17]Bayard S D. High-order multivariable transfer function curve fitting: algorithms, sparse matrix methods and experimental results[J]. Automatica, 1994, 30 (9): 1439-1444.

[18]Verboven P, Cauberghe B, Guillaume P. Improved total least squares estimators for modal analysis[J]. Computers & Structures .2005, 83: 2077-2085.

[19]Kerschen G, Worden K, Vakakis A F, et al. Past, present and future of nonlinear system identification in structural dynamics[J]. Mechanical Systems and Signal Processing, 2006, 20: 505-592.

[20]Ruotolo R, Storer M D. A global smoothing technique for FRF data fitting[J]. Journal of Sound and Vibration. 2001, 239: 41-56.