考慮P-Δ效應的橋梁結構震后概率殘余位移分析

余 波， 劉 迪， 楊綠峰, 2

(1.廣西大學 土木建筑工程學院，工程防災與結構安全教育部重點實驗室， 南寧 530004；2.廣西壯族自治區住房和城鄉建設廳，南寧 530028)

峰值位移和殘余位移是基于性態的結構抗震設計的兩個重要指標[1-2]，前者反映了結構在地震中的最大非彈性變形，而后者反映了結構震后的可修性和可用性。目前，橋梁結構的抗震設計普遍關注峰值位移，強調結構的延性，通過較大的彈塑性變形來耗散地震能量，從而實現“大震不倒”的抗震設計目標[3-4]。然而，1995年日本阪神地震和2008年四川汶川地震的震害顯示，基于峰值位移設計的橋梁結構雖然可以保證整體不發生倒塌，但是產生較大的震后殘余位移難以修復，造成巨大的經濟損失[5-6]。所以橋梁結構的抗震設計還應充分考慮殘余位移的影響，以實現經濟性和安全性二者的平衡。

橋梁結構殘余位移的影響因素眾多。為了得到普適性規律，目前大多將橋梁結構簡化為單自由度體系進行分析[1,6-7]。Kawashima等[1]分析了自振周期、場地條件、屈服后剛度比等因素對雙線性單自由度體系的殘余位移的影響，發現自振周期、場地條件、震級和震中距等因素的影響較小；李芳寶等[6]分析了近場具有脈沖地層運動的雙線性單自由度體系的殘余位移，發現場地類型、自振周期和延性水平對殘余位移的影響不大；歐陽承新等[7]選用5條強震記錄，分析了屈服后剛度比、延性水平、自振周期、阻尼比等因素對雙線性單自由度體系的殘余位移的影響；Christopoulos等[8]分析了屈服后剛度比和滯回模型對殘余位移的影響；Ruiz-García等[9]分析了屈服后剛度比和剛度退化系數對殘余位移比(殘余位移與彈性峰值位移的比值)的均值和變異系數的影響。上述研究表明，屈服后剛度比是影響殘余位移的重要因素。值得注意的是，由于橋梁結構通常屬于高柔結構，強震作用下的墩頂側向位移顯著，豎向荷載通過側向位移作用產生的P-Δ效應不容忽視[10-12]。P-Δ效應不僅可以使結構的屈服后剛度出現明顯下降段，而且可以導致結構由往復振動轉變為單向偏移，從而顯著地增加結構的殘余變形[11]。然而，目前有關P-Δ效應對橋梁結構震后概率殘余位移的影響規律缺乏定量分析的依據和結論。

鑒于此，本文根據動力平衡原理，建立考慮P-Δ效應的橋梁結構非彈性地震動力響應分析的運動控制微分方程，然后結合所篩選的69條強震記錄，利用概率統計方法定量地分析P-Δ效應、屈服后剛度比、規一化屈服強度和自振周期等因素對震后殘余位移的概率統計特征的影響，進而分析殘余位移與峰值位移之間的相關性，并建立殘余位移的概率分布模型和經驗預測方程。

1 考慮P-Δ效應的非彈性地震動力分析

如圖1所示，橋梁結構通常可以簡化為單自由度(SDOF)體系[1,6-7]進行分析。在水平地震作用下，橋梁墩頂發生側向位移，豎向地震激勵和橋梁結構自重通過側向位移作用，在墩底產生附加彎矩，而附加彎矩進一步增大墩頂側向位移，從而引起P-Δ效應[10-12]。根據動力平衡原理[10]，考慮P-Δ效應的橋梁結構非彈性地震動力響應分析的運動控制微分方程為：

(1)

圖1 考慮P-Δ效應的橋梁結構動力分析模型

相對側向位移u和非線性滯回位移z之間的關系為[13]：

(2)

假設非彈性SDOF體系的屈服位移為uy，所對應的線彈性體系在地震作用下的峰值位移為u0，則可以定義以下無量綱量：

φ=uy/u0，μ=u/uy，μz=z/uy

(3)

其中，φ為規一化屈服強度；μ為規一化側向位移；μz為規一化非線性滯回位移。根據式(3)，可將式(1)和(2)表示為：

(4)

(5)

式中：ωn=(k/m)0.5和ξ=c/(2mωn)分別表示非彈性SDOF體系在初始線彈性階段的自振圓頻率(rad/s)和阻尼比；θ=mg/(kh)為穩定系數。

(6)

利用Gear法[14]求解上式所定義的一階偏微分方程組，可以得到規一化位移時程μ(t)和殘余位移ur，進而可以確定非彈性SDOF體系的規一化峰值位移μmax、峰值位移umax和歸一化殘余位移μr：

(7)

式中：T為地震加速度持時。

2 強震記錄的篩選

本文選用美國太平洋地震工程研究中心(PEER)所建立的NGA強震記錄數據庫[15]，采用以下準則篩選強震記錄[10]：①震源位于美國加利福尼亞州(震源的經度在112°W與127°W之間，緯度在30°N與42°N之間)；②地震記錄的場地條件為NEHRP分類[15]中的B類或C類；③地震記錄監測設備安置在自由場地或單層輕型結構的地表，即屬于Geomatrix’s分類[15]中的Ⅰ類或A類；④地震記錄具有完整的三個加速度分量，且同時滿足高通濾波器拐角頻率≤0.5 Hz和低通濾波器拐角頻率≥40 Hz。通過篩選，可以確定有13次地震的69條強震記錄符合上述條件，見表1。

表1 所篩選的69條強震記錄

3 殘余位移的概率統計特征

3.1 殘余位移的均值

假定橋梁結構的自振周期Tn從0.05 s到3.0 s變化，規一化屈服強度φ分別取0.2、0.5和0.7，屈服后剛度比α分別取0.03和0.05，穩定系數θ分別取0.00、0.01和0.03，阻尼比ξ=5%，模型參數{β,γ,n}={0.5，0.5，2}。利用表1中所篩選的69條強震記錄進行非彈性動力時程分析。

不同參數取值情況下的規一化殘余位移μr的均值如圖2所示。由圖2可知，當規一化屈服強度φ較小如φ=0.2時，隨著自振周期Tn的增大，μr的均值呈現先減小后增大趨勢，在Tn=0.2 s左右達到最小值；當φ較大如(φ≥0.5)時，隨著Tn的增大，μr的均值呈現逐漸減小趨勢，當Tn≥0.5 s時，μr的均值趨于穩定并保持在0.2左右；總體而言，規一化屈服強度φ越大，自振周期Tn、穩定系數θ和屈服后剛度比α對μr的均值的影響越小。

當不考慮P-Δ效應時，屈服后剛度比α是影響規一化殘余位移的重要參數[1]。由圖2可知，屈服后剛度比α越大，規一化殘余位移μr的均值越小，而且α取不同值時μr的均值的變化趨勢基本一致。也就是說，增大橋梁結構的屈服后剛度比，可以有效減小橋梁結構的震后殘余位移。

由圖2可知，μr的均值隨著穩定系數θ的增大而增大，這種變化趨勢在規一化屈服強度較小φ=0.2時最為明顯。當θ=0.03時，μr的均值可以達到θ=0.01時μr的均值的2倍以上，可以達到不考慮P-Δ效應θ=0.00時μr的均值的3.7倍以上。由此說明，P-Δ效應對μr的均值影響顯著。

不同參數取值情況下的殘余位移ur的均值如圖3所示。由圖3可知，隨著自振周期Tn的增大，ur的均值呈現逐漸增大趨勢，也就是說剛性橋梁結構的殘余位移相對較小，而柔性橋梁結構的殘余位移相對較大，這與實際情況相符；當規一化屈服強度φ、穩定系數θ和屈服后剛度比α取不同值時，ur的均值隨著Tn的變化趨勢基本一致；規一化屈服強度φ越小，穩定系數θ和屈服后剛度比α對ur的均值影響越大。

3.2 殘余位移的變異系數

在不同的參數取值情況下，規一化殘余位移μr的變異系數(COV)如圖4所示。由圖4可知，穩定系數θ和屈服后剛度比α對μr的變異系數的影響相對較小；隨著自振周期Tn的增大，μr的變異系數總體呈現逐漸減小趨勢；當Tn≥1.0 s時，μr的變異系數趨于穩定并保持在1.0左右；當規一化屈服強度φ和自振周期Tn較小時，μr的變異系數可以達到2.5以上，也就是說剛性橋梁的殘余位移的離散性更大。

不同參數取值情況下殘余位移ur的變異系數如圖5所示。由圖5可知，ur的變異系數在整個自振周期范圍內的波動較大，當規一化屈服強度φ=0.2時，ur的變異系數隨著自振周期Tn的增大而增大，當Tn=3.0s時，ur的變異系數最大可以達到4.0左右；當φ較大(如φ≥0.5)時，穩定系數θ和屈服后剛度比α對ur的變異系數的影響相對較小。

結合圖3～圖5可知，穩定系數θ、屈服后剛度比α和規一化屈服強度φ對殘余位移ur和規一化殘余位移μr的均值的影響相對較大，而對ur和μr的變異系數的影響相對較小。由此可見，橋梁結構的ur和μr的均值對θ、α和φ的取值更為敏感。

圖2 規一化殘余位移(μr)的均值

圖3 殘余位移(ur)的均值

3.3 殘余位移的經驗概率分布模型

由于地震的發生以及地震加速度的傳播均具有較強的隨機性，所以橋梁結構的規一化殘余位移μr也具有顯著的隨機性，因此在橋梁結構的抗震設計以及震后可修復性和可用性評估中除了需要確定規一化殘余位移μr的均值和變異系數外，還有必要進一步確定μr的經驗概率分布模型。

假定橋梁結構的自振周期Tn=0.5 s，屈服后剛度比α=0.05，規一化屈服強度φ取0.2和0.7，穩定系數θ分別取0.00、0.01和0.03，將69條強震記錄作用下的規一化殘余位移μr的樣本點分別描繪在威布爾分布、對數正態分布、正態分布、瑞利分布、極值分布、指數分布6種概率紙上，如圖6所示。由圖6可知，μr的樣本點在威布爾和對數正態分布概率紙上的分布比較趨近于直線，而在指數分布、正態分布、瑞利分布以及極值分布四種概率紙上的分布偏離直線較遠，可以初步說明μr更加趨近于服從威布爾和對數正態分布。

為了進一步定量檢驗μr的經驗概率分布模型，利用K-S檢驗法對6種假定的概率分布模型進行檢驗。當顯著性水平取0.05時，K-S檢驗的判別結果見表2。由表2可知，在不同的參數取值情況下，都不能拒絕μr服從威布爾分布和對數正態分布的假定，而不能接受μr服從正態分布、瑞利分布、極值分布或指數分布的假設。結合圖6和表2可知，規一化殘余位移μr可以描述為威布爾分布或對數正態分布隨機變量。

表2 概率分布模型的K-S檢驗結果

圖4 規一化殘余位移μr的變異系數

圖5 殘余位移ur的變異系數

圖6 規一化殘余位移μr在不同概率紙上的分布

4 殘余位移的經驗預測模型

4.1 殘余位移與峰值位移之間的相關性

對于峰值位移umax與殘余位移ur之間的相關性，目前存在兩種截然不同的觀點：一種觀點認為二者之間沒有必然聯系，需要作為獨立的參數來研究[7]；另一種觀點認為二者之間具有一定的相關性，可以通過殘余位移來預測峰值位移[16]。

下面利用所篩選的69條強震記錄作用下的非彈性動力時程分析的結果來分析橋梁結構的峰值位移umax與殘余位移ur之間的相關性。umax和ur之間的散點分布如圖7所示。由圖7可知，umax和ur之間具有較強的線性相關性，當穩定系數θ分別取0.00、0.01和0.03時，umax和ur之間的相關系數ρ分別為0.898 0、0.896 6和0.857 5，說明P-Δ效應可以略微減小umax和ur之間的相關性。

4.2 殘余位移的經驗預測方程

由圖7可知，峰值位移umax與殘余位移ur之間具有較高的線性相關性，所以有必要進一步分析二者的比值ur/umax。利用比值ur/umax，不僅可以確定殘余位移與峰值位移之間的相對大小，而且可以根據殘余位移來確定峰值位移或根據峰值位移來確定殘余位移。如圖8所示，ur/umax的均值mur/umax隨著自振周期Tn和穩定系數θ的增大而逐漸增大，當Tn=3.0 s和θ=0.03時，mur/umax可以達到0.24左右，說明此時的殘余位移可以達到峰值位移的24%左右；隨著規一化屈服強度φ的增大，mur/umax逐漸減小，P-Δ效應對mur/umax的影響也逐漸減小。ur/umax的變異系數υur/umax如圖9所示。由圖9可知，υur/umax隨著自振周期Tn和穩定系數θ的增大而逐漸減小，當Tn≤0.5s時，υur/umax的變化較為顯著，隨著Tn的增大而迅速減小；當Tn≥0.5 s時，υur/umax的變化趨于穩定，其值保持在0.5左右；隨著規一化屈服強度φ的增大，P-Δ效應對υur/umax的影響逐漸減小。

圖7 殘余位移ur與峰值位移umax之間的相關性

圖8 mur/umax的散點分布和擬合曲線

圖9 υur/umax的散點分布和擬合曲線

為了便于工程應用，有必要建立殘余位移與峰值位移之間比值ur/umax的經驗預測方程。根據非線性回歸分析，可以建立ur/umax的均值mur/umax和變異系數υur/umax的預測方程為：

(8)

υur/umax=b1Tnb2+b3

(9)

式中：ai和bi(i=1,2,3)為擬合參數。以穩定系數θ取0.00、0.01和0.03、規一化屈服強度φ取0.2、0.5和0.7為例，mur/umax和υur/umax的擬合曲線分別見圖8和9所示，對應的擬合參數分別見表3和表4。

表3 mur/umax的擬合參數

表4 υur/umax的擬合參數

5 結 論

通過大量的非彈性地震動力響應分析，定量地分析了P-Δ效應、屈服后剛度比、規一化屈服強度和自振周期等因素對殘余位移的概率統計特征的影響，并建立了殘余位移的概率分布模型和經驗預測方程。根據計算結果，可以得出以下結論：

(1)P-Δ效應、屈服后剛度比和規一化屈服強度對殘余位移的均值影響較大，而對殘余位移的變異系數影響相對較小；

(2)對于本文所選的地震波，殘余位移和峰值位移之間具有較強的線性相關性，其相關系數在0.89左右；殘余位移和峰值位移比值的均值隨著自振周期Tn和穩定系數θ的增大而增大，而變異系數隨Tn和θ的增大而減小；

(3)規一化殘余位移可以描述為對數正態分布和威布爾分布隨機變量。

參 考 文 獻

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