超大型浮式儲油船的水彈性響應預報

翟鋼軍， 程 勇， 馬 哲

(大連理工大學 深海工程研究中心,遼寧 大連 116024)

隨著我國工業化進程的加快和國民經濟的迅速發展，我國的石油消費量呈迅速上升的勢頭，而我國石油資源供應能力有限，因此借鑒國際先進經驗，迅速建立國家石油戰略儲備，是最現實、最可靠的手段。目前石油儲備主要是針對原油儲備，其方式有5種[1]：地上浮頂油罐儲備方式、地中油罐儲備方式、地下巖洞儲備方式、地下鹽穴儲備方式和海上石油儲備方式。結合我國實際情況，采用以海上戰略石油儲備為主的多樣化儲備方式更加適合我國人口密度、地理環境和工業分布狀況的特點。

圖1 海上石油儲備基地布置圖

海上石油儲備基地如圖1所示，主要由數艘儲油船并排靠泊組成，其中系泊系統由若干系纜樁和橡膠護舷構成。儲油船屬于超大型浮式結構物(VLFS)，即水平尺度與高度的比值非常大，是一個極為扁平的柔性結構物[2]。由于儲油船的彈性變形與剛體位移幾乎屬于同一量級，計算結構在流體作用下的水動力特性時，不能再把船體當作單一的剛體進行計算，必須分析儲油船在流體荷載作用下的底部變形，以及船體變形對流場的影響，這是一個典型的流固耦合問題，需用水彈性理論進一步分析。

水彈性力學成立于70年代，由Bishop等[3]提出，它需要考慮慣性力以及流體荷載和結構彈性力之間的耦合作用，關系到水動力學和結構動力學兩門學科以及它們之間的聯系，屬于典型的交叉學科。日本、美國、英國和韓國等相繼對超大型浮式結構物的水彈性進行了研究，推行了一系列VLFS研究計劃，如Wu等[4]通過特征函數展開法來求解彈性薄板的二維水彈性問題；Hong等[5]分析了連接OWC防波堤的VLFS的頻域水彈性響應和漂移力；Murai等[6]提出了一種子結構法來加速水彈性計算且不丟失原有精度；Fu等[7]預測了兩個柔性連接的VLFS水彈性響應；Watanabe 等[8]提出了一個圓柱形VLFS的標準水彈性方法；Pham 等[9]進一步分析了配有減振裝置的圓柱形VLFS的水彈性問題。我國也有很多學者從事該方面研究，如吳有生[10]發展了適用非常廣泛的三維水彈性理論；崔維成等[2,11-12]總結了VLFS的研究現狀和一些關鍵問題，并運用模態展開法分別計算了梁模型和矩形平板模型的水彈性響應；滕斌等[13]學者介紹了計算水彈性的模態展開法和直接計算法兩種方法，并計算了五種振型函數下結構的水彈性動力學；張淑華等[14]學者采用直接法計算了彈性平板模型的撓度幅值。

對于超大型浮式儲油船的水動力分析，上海交通大學的李文龍等[16]基于三維勢流理論，建立了儲油船的剛體運動方程，并計算了相關的水動力參數。然而儲油船屬于超大型結構，其彈性變形甚至比剛性位移更為重要，因此必須給予考慮。本文采用模態分析法，將船的水彈性位移表示成一系列模態振型的疊加，應用邊界元法求出繞射勢和一系列模態上單位速度運動引起的輻射勢。再通過儲油船的彈性體運動方程求出各模態的振型幅值，最后回代到水彈性位移表達式中，求出儲油船的水彈性響應。在儲油船的水彈性力學分析中，本文假設儲油船為一薄板模型，通過與滕斌等[13]的數值結果及Maeda等[15]的實驗結果進行對比，驗證了本文方法的可行性，進一步分析了不同水深及波要素對船體運動響應及水動力參數的影響。

1 儲油船的水彈性分析

考慮波浪與儲油船相互作用時，儲油船長為L，寬為B，吃水為d，且開敞水域水深為h，選定坐標系如圖2所示，x-y平面位于未干擾自由水面，根據右手定則z軸垂直向上。整個流域Ω由儲油船底面Sb，側面Sc，自由水面Sf，無窮遠柱面S∞和海底面Sd面組成。

儲油船在流場中受流體作用過程中，包括結構和流場兩部分計算，船受到流體荷載作用要產生變形，屬于結構計算，而船體的存在和變形改變了流場，屬于流場計算，反之，流場的變化也對船體的彈性變形產生影響，總之兩者相互聯系，相互耦合。其中對流域的求解可采用邊界元法，對結構的彈性運動方程求解可采用直接法或模態分析法(本文采用該方法)，下面將對這兩個方面進行詳細論述。

圖2 坐標示意圖

1.1 流場控制方程和邊界條件

假定流體為無旋、不可壓縮的理想流體，則流體運動可以通過速度勢Φ來表述。當考慮入射波浪為一頻率為ω的規則波時，所有含時間變量t的物理量均可分離出時間分量，表達如下：

Φ=Re{φ(x,y,z)e-iωt}

(1a)

W(x,y,t)=Re{w(x,y)e-iωt}

(1b)

P(x,y,t)=Re{p(x,y)e-iωt}

(1c)

式中：W(x,y,t)為船的垂向運動響應；P(x,y,t)為船底部所受的流體壓力。

進一步假定波浪的波陡和船體運動量足夠小，滿足線性勢流理論。因此，復速度勢φ滿足以下邊界值定解問題：

2φ=0 在整個流域

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

ω2=gktanh(kh)

(7)

式中：n為單位法向量，指出流域為正；r為參考點到坐標原點的水平距離；復值變量w(x,y)為儲油船底部的垂直位移，包括剛體位移和彈性變形兩部分。

1.2 儲油船運動方程

對于超大型浮式儲油船，水平尺度遠大于垂直尺度，因此可將其簡化為彈性薄板，則問題轉化為求解彈性薄板在波浪作用下的水彈性響應。典型的薄板振動微分方程為：

D4W(x,y,t)=Q(x,y,t)

(8)

式中：D為薄板的彎曲剛度；Q為薄板單位面積上的橫向荷載，包括慣性力和流體作用力兩部分，表達如下：

(9)

式中：ms為薄板單位面積質量，W(x,y,t)和P(x,y,t)表達如上。將式(1b),式(1c)代入到式(8)中可得儲油船的彈性運動方程為：

D4w(x,y)-ω2msw(x,y)=p(x,y)

(10)

對于自由漂浮的儲油船，其端部邊界上的彎矩和剪力為零：

(11)

(12)

式中：v是泊松比。

求出彈性位移后，儲油船內部彎矩可求得為：

(13a)

(13b)

2 儲油船的運動響應及速度勢的模態展開形式

由儲油船的彈性運動方程(10)可以看出，結構運動響應w(x,y)和流體運動是耦合在一起的，并且由物面條件式(5)可知流體運動可由結構運動響應得到。因此，將問題分解為速度勢的水動力學問題和薄板振動的結構動力學問題，船的運動響應和速度勢都進行模態展開。

2.1 振型函數的一般形式

對于儲油船的振型函數可以表示成x和y兩方向振型函數的乘積形式，因此以一維梁模型為例。振型函數的選取分為干模態法和濕模態法，本文采取前者方法。干模態法中，以在空氣中自由振動的振動模態為自然模態。在水彈性問題中，自然模態包括兩種表達形式，分別由Maeda等[15,17]推導得到。對于一些難以求出自然模態的復雜結構來說，Eatock Taylor等[18-19]推出了一種非常簡單的振型函數表達式：

(14)

式中：f1(x)表示剛體振型模態，本文采取此振型函數進行儲油船的水彈性分析。

根據振型函數的表達形式，可得儲油船的運動響應函數w(x,y)表達式：

(15)

式中：ζj為j模態上的振型幅值。

考慮到線性勢流理論的假定，復速度勢φ包括入射波產生的入射勢、結構存在形成的繞射勢以及物體運動產生的輻射勢之和，表示如下：

φ(x,y,z)=φI(x,y,z)+
φD(x,y,z)+φR(x,y,z)

(16)

(17)

(18)

2.2 速度勢及水動壓力分析

關于繞射勢和輻射勢邊界值問題的數值求解，通常采用格林函數法。將繞射勢φD和輻射勢φj(j=1,….N)分別與格林函數代入到格林第二公式中，得邊界積分方程：

(19)

其中(x0,y0,z0)和(x,y,z)分別為源點和場點坐標，G為滿足除物面條件外其他所有邊界條件的有限水深格林函數：

(20)

v=ω2/g為深水波數，

k0為色散方程ω2=gktanh(kh)的根，

J0為第一類貝塞爾函數。

積分方程(19)經過物面單元離散，可表示為離散線性方程組形式：

[A]{φj}={B}

(21)

由于儲油船關于x-z和y-z兩平面對稱，此時系數矩陣及向量可表示為:

(22)

圖3 對稱區域簡化示意圖

各參數定義如圖3所示，對于矩陣A中各元素，滿足以下對稱關系：

A11=A22=A33=A44

(23)

A12=A21=A34=A43

(24)

A13=A31=A24=A42

(25)

A14=A41=A23=A32

(26)

為減小矩陣維數，可采用以下轉換:

(27)

其中矩陣R滿足以下關系：

(28)

這樣將式(27)和(28)代入線性方程組(21)可得：

(29)

根據矩陣[A]和[R]的特征，矩陣[A]是一個塊對角矩陣，則方程(29)為:

(30)

進一步將線性方程組(30)轉化為四個區域的求解形式，各區域表達式如下：

區域1：

(31)

(32)

(33)

(34)

區域2：

(35)

(36)

(37)

(38)

區域3：

(39)

(40)

(41)

(42)

區域4：

(43)

(44)

(45)

(46)

求得速度勢后，儲油船底板所受的壓力分布p(x,y)為：

p(x,y)=iωρ[φI+φD+φR]-ρgw(x,y)

(47)

2.3 儲油船的水彈性運動方程求解

由邊界元法求出速度勢及底板壓力分布后，將(15)和(47)式代入薄板的振動微分方程(10)可得：

(48)

對上述方程采用Galerkin積分法，即方程兩邊同時乘以fi(i=1,2,…,N)，并沿儲油船底部積分可得：

(49)

3 數值結果分析

根據上述數值方法，本文采用Fortran語言進行程序開發，并將計算結果與已知實驗和數值結果進行比較，驗證了本文程序的可行性。進一步利用所開發的程序，對儲油船在不同水深及波長下的水彈性響應及變形、彎矩、廣義波浪激勵力和廣義水動力系數進行了分析。

3.1 程序的驗證

為了驗證本文數值方法及程序的可行性，選用Maeda等[15]實驗模型作為算例，并將計算結果與實驗結果以及文獻[13]的數值結果進行比較，如圖4所示。實驗模型的主要參數如表1所示。為了保證數值收斂和準確性，通常1個波浪長內至少要包含14個單元，因此模型沿板長方向劃分60個單元，板寬方向16個單元，板高方向1個單元。

表1 實驗模型主要參數

圖4為波長分別2 m和4 m時，薄板左側即迎浪端的水彈性響應位移最大時的結果。由圖可見，本文計算結果與實驗及文獻[5]結果基本吻合，只是在兩端位移數值上，本文計算結果稍大。且由圖可觀察到，波長較小時結構變形程度要大于波長較大時的變形程度。

圖4 波長為2 m和 4 m時薄板水彈性位移分布

3.2 廣義波浪激勵力和廣義水動力系數的計算

本文所采用的儲油船數值模型按原型比尺1∶100取參數值：長L=4 m，寬B=0.9 m，吃水d=0.25 m，水深h=0.4 m、0.7 m、1 m，泊松比v=0.3，彎曲剛度D=50.832 Nm。型長方向劃分100個單元，型寬方向劃分20個單元，水深方向劃分5個單元。對不同水深條件下，運動方程(49)中儲油船所受的廣義波浪激勵力Fi隨相對波長變化進行了分析(取前6階模態)，如圖5所示。由圖可知，隨著水深的增加，同階模態激勵力變化趨勢基本一致，且1、3階模態激勵力基本不變，其他階模態激勵力緩慢降低。

圖5 水深0.4 m,0.7 m和1.0 m時廣義波浪激勵力Fi計算結果圖

圖6 水深0.4 m時儲油船廣義附加質量和輻射阻尼計算結果圖

此外，對不同水深條件下，運動方程(49)中儲油船的廣義附加質量Maii和輻射阻尼Bbii隨波長的變化也進行了分析，如圖6～8所示。其中橫縱坐標取無量綱形式，廣義附加質量和輻射阻尼都取到前6階模態。由圖可知，不同水深下的水動力系數變化趨勢也不相同：當水深較淺時廣義附加質量表現為低頻特征，廣義輻射阻尼表現為波頻特征；隨著水深的增加，廣義附加質量也逐漸表現為波頻特征；當水深增加到一定程度時，水動力系數表現為波頻和高頻兩種特征，因此水深的選取對儲油船的安全穩定至關重要。從圖中可發現前6階模態水動力系數的累加基本可近似表達總的水動力系數值，且第1階模態即剛性模態水動力系數所占比例最大，第2階模態的水動力系數所占比例較小，第4階模態的廣義附加質量在無量綱波數0.5～1.25時高于第3階模態值，其余模態水動力系數依模態階數降低。

3.3 不同水深下儲油船的水彈性響應及變形

進一步研究不同水深條件下，儲油船在波長分別為0.8 m和1.0 m時的水彈性響應，結果如圖9所示。由圖可得，當水深從0.4 m～0.7 m變化時，儲油船水彈性響應逐漸減小，但當水深增大到1.0 m時水彈性響應突然增大，并且水深為0.4 m～0.7 m時，結構水彈性響應對波長的敏感度小于水深1.0 m時結果。另外，由圖可知儲油船的迎浪端水彈性變形比較大，這一點在設計時必須引起注意。

本文計算了整個儲油船底板的彈性變形，下面給出了隨著水深變化，儲油船迎浪端出現最大響應時的彈性變形圖，如圖10～13所示，其中左邊為波長0.8 m時計算結果，右邊是波長1.0 m計算結果。由圖可發現，水深為0.4～0.7 m時，結構水彈性響應對波長的敏感度要小于水深為1.0 m時的結果。

圖9 波長分別為0.8 m和1.0 m時儲油船的水彈性響應

圖10 水深0.4 m時儲油船底板變形圖

圖11 水深0.55 m時儲油船底板變形圖

圖12 水深0.7 m時儲油船底板變形圖

圖13 水深1.0 m時儲油船底板變形圖

圖14 波長為0.8 m和1.0 m時儲油船的彎矩響應分布

3.4 儲油船彎矩響應分布

根據方程(13)計算不同水深時整個儲油船的彎矩分布，如圖14所示，其中上圖為波長0.8 m時的彎矩響應分布，下圖為波長1.0 m時的彎矩響應分布。由圖可知，當水深從0.4～0.7 m變化時，整個儲油船的彎矩分布逐漸降低，到水深0.7 m時基本穩定，但當水深增加到1.0 m時，彎矩又突然增大，因此0.7 m水深可作為儲油船錨泊地點的相對理想水深；對于相同水深時，波長較大時的彎矩分布峰值大于波長較小的情況。

4 結 論

本文采用模態分析法中的模態展開法，將儲油船的水彈性響應及輻射勢用一系列模態疊加表示，再應用基于三維勢流理論的邊界積分方程和薄板振動微分方程求出各模態幅值，最后回代入儲油船的運動表達式得到水彈性。主要得出以下結論：

(1)通過與已知實驗及數值結果比較，驗證了本文方法能夠比較準確地預報超大型浮體水彈性響應。

(2)隨著水深的增加，儲油船所受的同階模態廣義波浪激勵力變化趨勢基本一致，但廣義水動力系數變化趨勢并不相同。廣義附加質量隨著水深的增加由低頻特征變為波頻特征最后同時具有波頻和高頻特征，廣義輻射阻尼由波頻特征變為同時具有波頻和高頻特征。

(3)隨著水深的增加，儲油船的水彈性響應、整個結構變形和彎矩響應分布均隨之減小，到一定水深時趨于穩定，但當水深繼續增大時，水彈性響應和彎矩會增加，因此超大型浮體系泊水深的選取對于水彈性響應計算具有重要影響。

(4)整個儲油船的變形程度隨著入射波波長的增加而減小，這是由于船底部流體壓力分布的變化程度隨著波長的增加而減小造成的。

參 考 文 獻

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