基于微分求積法分析旋轉(zhuǎn)圓板的橫向振動

王忠民， 王 昭， 張 榮， 李會俠

(西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，西安 710048)

旋轉(zhuǎn)圓板在航空、航天、機械工程等高科技領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，如渦輪發(fā)動機、計算機硬盤和光驅(qū)等。在運行過程中，其彎曲振動會導(dǎo)致失穩(wěn)和斷裂，從而使得旋轉(zhuǎn)機械系統(tǒng)發(fā)生破壞，因此，旋轉(zhuǎn)圓形薄板振動和穩(wěn)定性的研究具有重要的實際意義。由于旋轉(zhuǎn)圓板受徑向離心慣性力的作用，使得運動微分方程的系數(shù)為變系數(shù)，從而求解和分析難度增大。幾十年來，一些學(xué)者對于旋轉(zhuǎn)圓板的橫向振動問題進行了系統(tǒng)的研究。關(guān)于2006年以前研究成果可參看文獻[1]。Bauer等[1]對等厚度旋轉(zhuǎn)圓板的橫向振動和穩(wěn)定性問題，采用Ritz-Galerkin法求解變系數(shù)運動微分方程，得到了不同邊界條件下旋轉(zhuǎn)圓板的固有頻率隨角速度的變化規(guī)律。Baddour等[2]考慮了旋轉(zhuǎn)圓盤的面內(nèi)慣性效應(yīng)的影響，建立了旋轉(zhuǎn)圓盤面內(nèi)和橫向振動的非線性耦合模型，采用Galerkin和正則攝動法，得到了圓盤的內(nèi)共振及不穩(wěn)定的可能性。Ranjan等[3]用有限單元法分析了在圓心處帶有剛性核的旋轉(zhuǎn)圓盤自由和強迫振動，并研究了壓電片對旋轉(zhuǎn)圓盤的振動控制問題。Hasheml等[4]對轉(zhuǎn)動厚板，基于Mindlin板理論和二階應(yīng)變—位移關(guān)系，應(yīng)用Kane動力學(xué)方法導(dǎo)出了非線性運動微分方程，采用有限元法，分析了邊長比、厚度比、輪轂半徑比和圓盤轉(zhuǎn)速對固有頻率的影響。Khorassny等[5]采用模態(tài)展開法，研究內(nèi)邊界沿軸向可自由移動、外邊界由線彈簧約束的環(huán)形旋轉(zhuǎn)圓盤的線性振動行為，以及剛性平移、向前或向后行波對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響等。Genta等[6]發(fā)展了環(huán)形有限元法，研究了旋轉(zhuǎn)葉盤的二階和高階諧波振型，拓展了以往研究局限于零解和一階諧波振型的研究。Li等[7]采用Galerkin法，分析了轉(zhuǎn)動層合板向前和向后行波的動力特性。在上述求解方法中，Galerkin法或模態(tài)展開法求解的精度在很大程度上受到了模態(tài)函數(shù)的選取以及項數(shù)的制約。

本文對旋轉(zhuǎn)實心圓板，針對在沿徑向線性分布離心慣性力作用下的旋轉(zhuǎn)圓板的變系數(shù)運動微分方程，采用微分求積法離散方程和邊界條件，得到了周邊固支、簡支(且沿徑向不可移)和周邊完全自由三種邊界條件下旋轉(zhuǎn)圓板的前兩階復(fù)頻率的實部和虛部隨旋轉(zhuǎn)角速度的變化情況，有效地分析了旋轉(zhuǎn)圓板的橫向振動特性和穩(wěn)定性。

1 旋轉(zhuǎn)圓板的橫向振動微分方程

圖1 旋轉(zhuǎn)圓板示意圖

板厚為h、半徑為R的等厚度圓板繞其中心軸O以常角速度Ω旋轉(zhuǎn)如圖1所示。設(shè)材料密度為ρ，彈性模量為E，泊松比為ν，板的抗彎剛度為D。選取極坐標，徑向坐標為r，環(huán)向坐標為θ，單位面積的徑向慣性力可表示為qr=ρhΩ2r，即是在板中面內(nèi)的沿徑向的線性分布力。基于Kirchhoff薄板理論[8]，旋轉(zhuǎn)圓板以橫向撓度w(r,t)表示的運動微分方程為:

(1)

1.1 基于彈性力學(xué)的平面應(yīng)力問題求解Nr和Nθ

勻速旋轉(zhuǎn)圓形薄板在離心慣性力作用下，其幾何、載荷和約束情況均為軸對稱，應(yīng)力分量與環(huán)向坐標θ無關(guān)，且τrθ為零。設(shè)ur為圓板中面內(nèi)的徑向位移(環(huán)向位移vθ=0)，由徑向的平衡微分方程、物理方程、平面軸對稱問題的幾何方程和引入的應(yīng)力函數(shù)φ(r)[9]得:

(2)

(3)

1.1.1 周邊固支和周邊簡支板

(4)

(5a)

(5b)

1.1.2 周邊自由板

對周邊自由板，邊界條件為σrr=R=0，得[9]

(6)

(7a)

(7b)

1.2 運動微分方程及邊界條件

引入下列無量綱量:

(8)

則方程(1)以無量綱量可表示為:

(9)

對周邊固支和周邊簡支板，有:

對周邊自由板，有:

式中,λ稱為無量綱角速度。

(10)

式中ω為系統(tǒng)的無量綱振動頻率。

在圓心x=0處，以無量綱量表示的邊界條件為:

(11)

在外周邊(x=1)處，三種邊界條件分別為:

固支：

(12)

簡支：

(13)

自由：

(14)

2 DQ法求解

微分求積法[10-11](簡稱DQ)的實質(zhì)是用全域上全部節(jié)點的函數(shù)值進行加權(quán)求和來表示函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在給定節(jié)點處的值，因而可以將微分方程離散成以節(jié)點處的函數(shù)值為未知數(shù)的一組代數(shù)方程組。以一元函數(shù)y(x)為例，設(shè)在區(qū)間[0,1]上連續(xù)可微，其一階導(dǎo)數(shù)可寫為

(15)

(16)

類似的，在第i個節(jié)點處函數(shù)的二階、三階、四階導(dǎo)數(shù)值可表示為

(17)

式中:Bik、Cik、Dik分別稱為二階導(dǎo)數(shù)、三階導(dǎo)數(shù)、四階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)系數(shù)。各階導(dǎo)數(shù)加權(quán)系數(shù)之間的關(guān)系為

(18)

DQ法中的兩個關(guān)鍵因素：一是如何確定權(quán)系數(shù);二是如何布置節(jié)點。本文中，插值基函數(shù)采用Lagrange多項式，節(jié)點的選取形式為

(19)

對含變系數(shù)的四階常微分方程(10)，其微分求積形式為

(20)

在式(20)中，若外邊界為簡支和固支，有

若為自由邊

在圓心x=0處，邊界條件的微分求積形式為

(21a)

(21b)

在外周邊x=1處，邊界條件(12)、(13)、(14)的微分求積形式分別為:

固支：

(22)

簡支：

(23)

自由：

(24a)

將式(20)和邊界條件的微分求積形式聯(lián)立，寫成矩陣形式

(ω2[Q]+[K]){y}=0

(25)

其中[Q]、 [K]為方陣；{y}為由振型函數(shù)在各節(jié)點處函數(shù)值組成的向量。根據(jù)線性代數(shù)理論，方程組(25)存在非零解的充分和必要條件是系數(shù)行列式等于零，即得特征方程

|ω2[Q]+[K]|=0

(26)

3 數(shù)值計算與分析

為了說明上述方法的有效性，首先計算無旋轉(zhuǎn)實心圓板的橫向軸對稱自由振動問題，這只要在振型微分方程(10)中令λ=0即可。在三種邊界條件下圓板的橫向軸對稱自由振動問題的前四階固有頻率與已有解的比較如表1所示，其中對周邊自由的圓板存在與剛體振型相應(yīng)的零固有頻率。計算中節(jié)點數(shù)N=13。

對旋轉(zhuǎn)圓板，角速度對圓板的橫向軸對稱振動特性及穩(wěn)定性有很大的影響。下面計算三種周界約束下旋轉(zhuǎn)圓板的無量綱固有頻率與無量綱角速度的變化關(guān)系，分析其橫向振動特性及穩(wěn)定性。

3.1 周邊簡支的旋轉(zhuǎn)圓板

在周邊為簡支且沿圓板徑向不可移的約束條件下，旋轉(zhuǎn)圓板前兩階無量綱固有頻率與無量綱角速度的變化曲線如圖2所示。從圖2可知，當(dāng)無量綱角速度λ=0時，ω為實數(shù)，即為圓板自由振動的無量綱固有頻率。隨著無量綱角速度的增加，無量綱固有頻率實部Re(ω)減小，虛部lm(ω)保持為零。當(dāng)無量綱角速度增加到λ1=3.96時，第一階模態(tài)頻率的實部Re(ω)變?yōu)榱悖撕驲e(ω)一直為零，而虛部lm(ω)為正負兩個分支， 這說明旋轉(zhuǎn)圓板呈現(xiàn)了發(fā)散失穩(wěn)。因而無量綱臨界角速度λ1=3.96又稱為第一階臨界發(fā)散角速度。同樣對二階無量綱固有頻率與無量綱角速度的變化曲線也有類似的特性，λ2=100.9稱為第二階臨界發(fā)散角速度。

3.2 周邊固支的旋轉(zhuǎn)圓板

在周邊為固支且沿圓板徑向不可移的約束條件下，旋轉(zhuǎn)圓板前兩階無量綱固有頻率與無量綱角速度的變化曲線如圖3所示。與周邊簡支的旋轉(zhuǎn)圓板不同的是，其一、二階無量綱固有頻率隨著無量綱角速度從零的增加，無量綱固有頻率實部Re(ω)非單調(diào)減小，而是先增大再減小。其失穩(wěn)特性和周邊簡支的旋轉(zhuǎn)圓板相同，即均為一階、二階模態(tài)上發(fā)散失穩(wěn)，一、二階無量綱臨界發(fā)散角速度分別為λ1=39，λ2=205.9。

表1 三種邊界條件下實心圓板的前四階軸對稱固有頻率與已有解的比較

圖2 周邊簡支旋轉(zhuǎn)圓板的ω隨λ的變化情況

3.3 周邊自由的旋轉(zhuǎn)圓板

在周邊完全自由的情況下，由無旋轉(zhuǎn)圓板(或靜止圓板，見表1)和旋轉(zhuǎn)圓板的計算結(jié)果知，出現(xiàn)了零固有頻率，其振型相應(yīng)于圓板的剛體平移運動。從周邊自由的旋轉(zhuǎn)圓板前兩階無量綱固有頻率與無量綱角速度的變化曲線(圖4)可知，隨著無量綱角速度的增加，旋轉(zhuǎn)圓板前兩階無量綱固有頻率(即復(fù)頻率的實部)也在增大，且復(fù)頻率的虛部為零，不存在無量綱臨界角速度和失穩(wěn)。出現(xiàn)這一現(xiàn)象的原因是，對周邊完全自由圓板，在沿圓板徑向線性分布的離心慣性力作用下，從式(7a)和式(7b)知，圓板面內(nèi)板單位寬度的徑向拉壓力Nr和環(huán)向拉壓力Nθ均為拉力。隨著無量綱角速度的增大，Nr和Nθ線性增大，使得圓板的撓度減小，因相當(dāng)于增加了旋轉(zhuǎn)圓板的彎曲剛度，從而使無量綱角速度增大。

與完全自由旋轉(zhuǎn)圓板不同，對周邊為固支、簡支且沿圓板徑向不可移的旋轉(zhuǎn)圓板，在沿圓板徑向線性分布的離心慣性力作用下，由于沿圓板徑向不可移約束的作用，從式(5a)和式(5b)知，圓板面內(nèi)板單位寬度的徑向拉壓力Nr和環(huán)向拉壓力Nθ為負值，即為壓力。因此對周邊為固支和簡支旋轉(zhuǎn)圓板，呈現(xiàn)了無量綱角速度減小且趨于零的現(xiàn)象，使圓板發(fā)生了靜力失穩(wěn)。

圖3 周邊固支旋轉(zhuǎn)圓板的ω隨λ的變化情況

圖4 周邊自由旋轉(zhuǎn)圓板的ω隨λ的變化情況

4 結(jié) 論

基于薄板的小變形理論，采用微分求積法，研究了均質(zhì)等厚度勻速旋轉(zhuǎn)圓板的橫向振動和穩(wěn)定性問題，得到了周邊固支、簡支(沿徑向不可移)和周邊完全自由三種邊界條件下旋轉(zhuǎn)圓板的前兩階復(fù)頻率的實部和虛部隨旋轉(zhuǎn)角速度的變化情況。對周邊固支、簡支旋轉(zhuǎn)圓板，一般來說，復(fù)頻率的實部隨角速度的增大而減小且趨于零，得到了一、二階臨界發(fā)散角速度；對周邊完全自由旋轉(zhuǎn)圓板，復(fù)頻率的實部隨角速度的增大而增大，不發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象。上述結(jié)論對旋轉(zhuǎn)圓盤系統(tǒng)的設(shè)計與運行提供了一定的參考依據(jù)。

參 考 文 獻

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