混有空氣的孔隙式粘滯流體阻尼器模型及性能研究

何小偉， 吳天行， 王譽蓉,2

(1.上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240；2.寧夏大學 機械工程學院，銀川 750021)

孔隙式粘滯流體阻尼器(圖1)通過活塞在充滿流體的缸體內往復運動將振動和沖擊的能量轉換為熱能，降低結構在共振頻率附近的動態響應，從而降低結構的局部受力和變形量[1]。通常認為粘滯流體不可壓縮[2]，因此不考慮阻尼器的彈性。但實際上粘滯流體是可壓縮的，所以阻尼器具有彈性，存在附加剛度。尤其當流體混入空氣后，阻尼器在小振幅工況下性能將發生明顯改變。在工程實際中，阻尼器流體中或多或少會混入空氣。混有空氣的流體將降低阻尼器效能,其附加剛度可影響振動系統的動態特性。

圖1 阻尼器示意圖

為了分析流體阻尼器的特性，國內外研究人員提出了各種力學模型，如剛度和阻尼串聯的Maxwell模型[3]、剛度與阻尼并聯的Kelvin模型[4]、分數導數模型等[5]。Miyamoto等[6]在試驗的基礎上建立了包括眾多元件，適用于特定工況的數學模型和程序；Hou等[7]在Kelvin模型的基礎上通過分離測量得到的阻力發現了阻尼力和剛度力的非線性特點，并根據試驗數據提出了剛度力的計算公式。但已有研究對流體彈性的影響大多基于試驗數據，對混有空氣的流體阻尼器性能研究得也不夠深入。由于阻尼器的實際性能對減振效果和振動系統特性有重要影響，所以正確預測和評價混有空氣后流體阻尼器效能和動態特性的改變是非常重要的。

本文從混有空氣的流體非線性阻尼力和非線性彈性力串聯模型出發，通過計算非線性阻尼器的等效線性阻尼和彈性，建立了流體阻尼器的線性并聯模型；分析了混有空氣的流體阻尼器在不同頻率和位移工況下效能和附加剛度的變化；并通過試驗驗證了方法和模型的正確性。論文采用的方法和建立的模型可用于預測混有空氣的孔隙式粘滯流體阻尼器的實際性能，具有重要的工程實際價值。

1 考慮流體彈性的非線性串聯模型

流體和空氣的可壓縮性使粘滯流體阻尼器附加了與阻尼串聯的彈簧。阻尼器的力學模型和運動過程可用圖2表示，其中彈簧和阻尼都具有非線性。

圖2 阻尼器模型

1.1 非線性串聯模型的阻尼力

流體流經阻尼孔為層流時阻尼力的計算式[8-9]如下：

(1)

式中，ρ為流體密度，υc為阻尼孔內流體的速度；A3為活塞有效面積π(D2-d2)/4，其中D為活塞直徑，d為活塞桿直徑；Cq為流量系數，其取值與速度等因素有關，見參考文獻[8]。由式(1)可見，阻尼力與流量系數和速度之間的關系是非線性的。

1.2 非線性串聯模型的剛度

純流體的壓縮性可用體積彈性模量Ef表示:

(2)

在實際計算中，純液壓油的體積彈性模量可取為700 MPa[10]。壓力為p時混氣流體的體積彈性模量可由下式計算：

(3)

式中，pa為初始氣壓，Vg為混入的空氣體積，Vf為純流體體積。混氣流體與純流體彈性模量的比值隨外界壓力的變化見圖3。

圖3 混入空氣后的流體體積彈性模量

阻尼器串聯模型中的剛度[11]可按下式計算：

(4)

式中，L為受壓流體的液柱長度。流體中混入空氣后，E隨外力p而變化，所以剛度k也是動態變化的，并且與活塞位移是非線性關系。

2 非線性模型的等效線性化

以活塞運動中心位置為位移零點，建立阻尼器活塞運動的力學模型。并假設：① 不計活塞的摩擦力和慣性力；② 運動中流體的溫度不變；③ 運動中流體的動力粘度不變，其值取最大剪切速率下的動力粘度。

2.1 非線性模型的數值計算方法

對活塞桿施加周期性位移激勵，采用數值方法計算作用于活塞的阻尼力/彈性力。活塞運動應滿足下列力平衡條件和位移連續條件：

F=-Fc,Fk=Fc,x=xc+xk

(5)

式中，x、xc、xk分別為作用于活塞的已知位移激勵、活塞因流體流過阻尼孔導致兩側腔室體積改變而產生的位移、活塞因流體受壓而產生的彈性位移。xc和xk簡稱為阻尼位移和彈性位移，均為未知量。F、Fc、Fk則分別是作用于活塞的外力、阻尼力和彈性力，也是未知的。因為是串聯模型，所以彈性力和阻尼力相等。根據以上條件可以確定活塞在各個時刻的阻尼位移和彈性位移，以及阻尼力和彈性力。

數值計算中步長取Δt，激勵位移、阻尼位移和彈性位移的變化量分別定義為：

Δxi=xi+1-xi, Δxci=xci+1-xci,Δxki=xki+1-xki

(6)

具體計算步驟如下：

(1)設初始時刻t0阻尼位移為0，彈性位移和阻尼力也為0；

(2)ti至ti+1時刻的激勵位移變化Δxi為已知，ti時刻的阻尼力Fci、阻尼孔流體速度υci和剛度ki也已知。設ti+1時刻阻尼孔內流體速度為υci+1，由式(1)確定ti+1時刻阻尼力：

(7)

(3)計算阻尼位移變化Δxci：

Δxci=(υci+υci+1)Δt/2·nA0/A3

(8)

式中n為相同結構的阻尼孔個數，A0為單個阻尼孔面積。

(4)ti+1時刻的剛度ki+1用式(4)計算，彈性位移變化Δxki由ti和ti+1時刻的阻尼力決定，根據下式計算：

Fci+1-Fci=(ki+ki+1)Δxki/2

(9)

(5)判斷第i+1輪計算是否完成的收斂條件為

|Δxci+Δxki-Δxi|≤ε

(10)

式中，ε為很小的正數，用于控制計算精度。計算過程中在±2υmax(υmax為不考慮流體壓縮時阻尼孔內的最大流速)之間搜索ti+1時刻流體速度υci+1的最優值，使收斂條件得到滿足，得到Δxki和Δxci的最終解。完成后繼續進行下一輪計算。

2.2 等效線性化阻尼cs和剛度ks

在非線性串聯模型數值解的基礎上，將非線性模型轉換成用等效阻尼和等效剛度表示的線性模型。

按照消耗能量相等原則計算等效線性阻尼cs。計算非線性仿真中一個周期的滯回曲線所包圍的面積，即消耗的能量W。將W用cs表示：csυi表示某一時間段的阻尼力，這一時間段內的位移為υiΔt，將每一段的阻尼力與位移的乘積相加便等于W，于是等效阻尼cs可表示為：

(11)

(12)

2.3 線性并聯模型的剛度kp和阻尼cp

由于用串聯模型不易直觀地分析和判斷彈性力和阻尼力各自對系統的影響，人們習慣采用剛度和阻尼并聯的模型。在等效線性阻尼和等效線性剛度的基礎上，將非線性串聯模型轉化為線性并聯模型。串聯模型的位移連續方程和力平衡方程為：

(13)

式中，x為總位移，xk、xc分別是彈性位移和阻尼位移。Fk和Fc為彈性力和阻尼力。

由式(13)可得頻域中阻尼位移xc的表達式：

(14)

和外力F的表達式：

(15)

從而得到線性并聯模型的剛度和阻尼系數[12]：

(16)

2.4 混氣流體阻尼器并聯模型分析

分析混入不同體積空氣時流體阻尼器線性并聯模型中kp和cp隨振幅的變化。本文仿真和試驗用阻尼器參數為：油缸內徑D=63 mm，活塞桿直徑d=20 mm，行程50 mm，活塞開有兩個14 mm長的阻尼孔。圖4和圖5表示不同混氣量的流體阻尼器在不同頻率激勵下其等效并聯阻尼和剛度與位移振幅的關系。計算時流體動力粘度取200 cP，阻尼孔直徑為2 mm。

圖4 3 Hz時混入空氣比例對kp和cp的影響

圖5 混氣2%時激勵頻率對kp和cp的影響

分析圖4和圖5的仿真計算結果可得出以下結論：

(1)kp和cp均隨振幅與頻率升高而增大。

(2)cp在不同混氣比例下差別較小，例如混氣2 %與無空氣時相差不多，而且差別隨振幅變化很小。

(3)kp在無空氣時數值較小，隨振幅增加亦不大；但混氣后kp增長很快，且隨振幅顯著增加。

(4)cp在小振幅時很小，隨頻率變化也比較小，這說明流體阻尼器在小振幅時耗能作用比較弱、效率比較低。隨著振幅增加，cp逐漸變大，耗能作用和效率不斷提高，同時cp隨頻率升高而增大的趨勢愈發明顯。

(5)相比阻尼系數cp，剛度系數kp受混氣量和頻率的影響更大，尤其是混氣流體阻尼器的附加剛度kp隨混氣量和頻率的提高迅速增大。

2.5 線性模型與非線性模型比較

為了驗證線性并聯模型的正確性及適用性，對不同參數的流體阻尼器用非線性串聯模型和線性并聯模型在多種工況下進行仿真，然后進行分析對比。圖6-8為未混氣工況，圖9為混氣工況。

分析圖6～圖9的仿真結果，可得出下列結論：

(1)從圖6可見，兩種模型的結果很接近，且滯回曲線面積和阻尼力均隨頻率的增加而增大。

(2)從圖7可見，兩種模型的結果同樣很接近；阻尼孔直徑減小使阻尼力增大，非線性特征更明顯。

圖6 頻率的影響，阻尼孔直徑2 mm，動力粘度200 cP

圖7 阻尼孔直徑的影響，激勵頻率3 Hz，動力粘度200 cP

圖8 粘度的影響，激勵頻率3 Hz，阻尼孔直徑2 mm

圖9 混氣比例的影響，阻尼孔直徑2 mm，激勵頻率3 Hz，動力粘度200 cP

(3)從圖8可以看到，阻尼力隨著粘度的增加而增大，兩種模型結果也很接近。

(4)從圖9可見，兩種模型的結果比較接近；隨著混氣量的增加，阻尼力呈減小趨勢。

綜上所述，在不同參數和工況下，阻尼器線性模型的計算結果與非線性模型的計算結果是一致的，從而驗證了線性模型的正確性。雖然線性模型無法在任一點上與非線性模型重合，但是對阻尼器耗能而言，也就是滯回曲線面積，兩者幾乎是一致的。

3 試驗結果與仿真模型比較

阻尼器試驗原理見圖10，采用溝槽凸輪機構進行激勵，凸輪從動桿與阻尼器活塞桿連接，其運動軌跡為幅值3mm的簡諧曲線。激勵頻率由凸輪轉速決定，凸輪轉速用變頻調速電機控制。

試驗采用100號抗磨液壓油(40 ℃時運動粘度的平均值為100 cSt)和350 cSt二甲基硅油(25 ℃時運動粘度的平均值為350cSt)，阻尼孔直徑為2.0 mm、2.2 mm和2.4 mm，活塞上開有兩個尺寸相同的阻尼孔。

圖12 力的幅頻圖

試驗時采集力和位移數據，經濾波去噪聲后進行FFT變換，得到頻域的位移X(ω)和力F(ω)。圖11為力和位移時間歷程。圖12為力的頻譜，集中在激勵頻率3.5 Hz，其他頻率分量基本為0。理論上純阻尼力的相位超前位移90°，但由于流體彈性的影響，存在與位移同相的彈性力，故力的相位超前不足90°。

線性并聯模型在頻域內力與位移之間關系為

F(ω)=kpX(ω)+cpiωX(ω)

(17)

從式(17)可得阻尼系數cp和剛度系數kp為

(18)

3.1 排氣完全的阻尼器

采用350cSt二甲基硅油，密度為970 kg/m3，阻尼孔直徑分別為2 mm和2.4 mm。阻尼器注油時應采取抽真空措施才能做到完全排氣，但受試驗條件限制無法做到抽真空，只能通過其他措施盡可能將空氣排凈。

圖13 未混氣試驗結果與線性模型比較

圖14 未混氣試驗結果與線性模型比較

圖13為二種阻尼孔、激勵頻率為3 Hz的試驗結果，圖14為2 mm阻尼孔、激勵頻率2 Hz和4 Hz的試驗結果。從圖可見，試驗曲線與線性模型仿真結果的一致性比較好。實際上兩種流體在1-5 Hz頻率范圍的試驗與仿真結果一致性都比較好，限于篇幅這里只給出部分結果。受力傳感器螺紋連接強度限制，更高頻率的試驗沒有進行。但頻率增加時，阻尼力增大，活塞與油缸間摩擦力影響減小，故可推測試驗結果會變得更好。

表1列出2 mm阻尼孔的試驗數據，并與仿真計算結果進行對比。表中理想情況表示流體為不可壓縮，z=kp/(cpω)用于衡量kp的相對影響，kp為負時z無意義。

表1 阻尼器試驗結果與仿真數據

從表1可見，試驗和仿真得到的cp差別很小，兩者最大相差僅有4.4 %。同時試驗數據表明，cp和kp都隨頻率提高而增加，這與模型仿真計算結果相符。

而kp的誤差則較大，試驗數據在2 Hz時甚至出現了負剛度。阻尼器實際上存在摩擦力和慣性力，試驗裝置連接處也存在間隙，這些都是產生誤差的原因。這些因素在模型中則未加考慮。試驗數據在4 Hz時kp大于仿真結果，估計是阻尼器未能實現完全排氣的緣故。

3.2 混有空氣的阻尼器

采用100號抗磨液壓油，密度為870 kg/m3，阻尼孔直徑為2.2 mm，流體混有2.7 %空氣。圖15為試驗結果曲線，試驗數據列于表2，并與仿真結果比較。

圖15 混氣2.7%試驗結果與模型比較

從表2可見，混氣試驗和仿真計算得到的cp在各個頻率都比較接近，最大差別在3 Hz，也只有4 %。這說明模型在不同頻率都能較好地預測阻尼器特性。

與排氣完全的阻尼器相比可以發現，混氣阻尼器試驗得到的kp與仿真計算的差別大大減小。同時還可發現，當阻尼器混入空氣后，阻尼器的附加剛度kp大大增加，尤其隨頻率升高而迅速增加。而阻尼系數cp則由于阻尼器混入空氣而減小，使阻尼器效能降低。這些由模型預測的阻尼器特性通過試驗得到驗證。

此外，由于阻尼器混氣后cp減小kp增加，附加剛度kp的影響顯著上升。用于衡量彈性力與阻尼力之比的z值顯著增加：在激勵頻率4 Hz時阻尼系數cp為28.3 kN·s/m，附加剛度kp為137.8 kN/m，z值可達0.194。

表2 混氣2.7%阻尼器試驗與仿真數據

4 流體阻尼器附加剛度的影響

這里討論振動系統若采用流體阻尼器作為減振措施時，阻尼器附加剛度對原系統的影響。

系統的剛度和阻尼可以合并用復剛度k*表示：

k*=k(1+iη)

(19)

式中，k為系統原有剛度，η=ωcp/k為復剛度的阻尼部分。η實際上代表阻尼力與彈性力之比值。

流體阻尼器具有附加剛度kp，需要判斷kp是否會對原系統的固有頻率等特性產生影響。當zη<0.1時，可以不考慮阻尼器附加剛度的影響。z值代表了阻尼器附加剛度的彈性力與阻尼力之比值，而zη值代表附加剛度對原有剛度的相對改變量。若附加剛度小于系統原剛度的10 %，對原系統的影響完全可以忽略不計。

根據表2的試驗和仿真數據，z值在4 Hz時最大為0.2左右。但是在其他參數和工況下z的計算結果是不同的。用線性模型計算2.5節的阻尼器，不同阻尼孔尺寸的z值計算結果為：d=0.8 mm，z=0.48；d=0.5 mm，z=2.19。此外，η值的確定除了cp外還要知道振動系統原有的剛度。

因此估計流體阻尼器的附加剛度對原振動系統是否有影響，需要根據阻尼器參數、粘度、混氣量、頻率和振幅等數據，通過模型預測才能作出判斷。

5 結 論

考慮流體阻尼器混有空氣后可壓縮性發生改變，用數值方法計算了阻尼器串聯模型的非線性阻尼力/彈性力、阻尼位移和彈性位移，并將非線性串聯模型轉化為等效線性并聯模型，用于分析和預測混有空氣的孔隙式粘滯流體阻尼器動態性能。通過對阻尼器動態特性的試驗研究，驗證了計算方法和阻尼器等效線性模型，并得到下列具有工程實際價值的結論：

(1)流體混入空氣對等效阻尼影響較小，但對等效剛度影響很大。混入空氣后流體可壓縮性雖然得到提高，但阻尼器并聯剛度反而顯著變大。

(2)無論流體是否混入空氣，振幅對等效阻尼系數影響很大。振幅增大時阻尼器效能明顯提高，等效剛度也隨之增加；振幅過小則阻尼器效能明顯降低。

(3)孔隙式粘滯流體阻尼器的等效阻尼和剛度隨振動頻率變化顯著。高頻振動時阻尼器等效阻尼和效能提高，而附加剛度隨頻率提高增加更為迅速。

(4)流體阻尼器的附加剛度是否對原振動系統有實質性影響，需要根據具體的阻尼器參數和工況通過模型預測進行判斷。

參 考 文 獻

[1]Taylor D, Duflot P. Fluid viscous dampers used for seismic energy dissipation in structures[R]. Taylor Device Inc, Technical Article.

[2]Sheng L H, Lee D. Performance of viscous damper and its acceptance criteria[J]. Earth Engineering, 2003:1031-1039.

[3]張同忠. 粘滯阻尼器和鉛阻尼器的理論與試驗研究[D]. 北京：北京工業大學，2004.

[4]Feng M Q, Kim J M, Shinozuka M, et al. Viscoelastic dampers at expansion joints for seismic protection of bridges[J]. Journal of Bridge Engineering, 2000, 5(1)：67-74.

[5]周 云. 粘滯阻尼減震結構設計[M]武漢：武漢理工大學，2006.

[6]Miyamoto H k, Gilani A S J, Wada A, et al. Limit states and failure mechanisms of viscous dampers and implications for large earthquakes [J]. Earthquake Engng Struct. Dyn. 2010,39 (11):1279-1297.

[7]Hou C Y, Hsu D S, Chen H Y. Experimental verification of the restoring-stiffness concept used in fluid damper for seismic dissipation[J]. Struct. Design Tall Spec. Build, 2005, 14(1):1-13.

[8]盛世超. 液壓流體力學[M]. 北京：機械工業出版社，1981.

[19]葉正強. 粘滯流體阻尼器消能減振技術的理論、試驗與應用研究[D]. 南京：東南大學，2003.

[10]李壯云. 液壓氣動與液力工程手冊[M]. 北京：電子工業出版社，2008,2.

[11]Rittweger A, Albus J, Homung E, et al. Passive damping device for aerospace structures[J]. Acta Astronautia 2002,50(10):597-608.

[12]Singh M P, Verm N P, Moreschi L M. Seismic analysis and design with maxwell dampers[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2003,129(3):273-282.