懸掛式人行橋基頻估算及考慮車致振動效應的行人舒適性評價

馬如進， 田 雨， 陳艾榮

(同濟大學 橋梁工程系，上海 200092)

對于橋下凈空較高的城市跨線橋梁，為了減少行人的爬坡高度及長度，同時需控制人行橋的橋面標高，這時可采用將人行與車行分離的方案，主橋僅滿足車行功能，利用主橋較高的梁下凈空在其下方設置專用人行橋滿足人行功能。將人行橋作為車行橋的懸掛結構，形成一個組合式橋梁，解決人車通行問題，這種結構形式的優點有：①降低了人行橋橋面標高及行人爬坡高度；②人行橋依靠車行橋提供支撐，可降低自重及材料用量；③可先施工車行橋，再施工懸掛式人行橋，施工便捷。

將人行橋作為車行橋的懸掛結構，在國內尚無應用先例。人行橋通過吊桿與車行橋相連，兩橋之間具有聯動效應，結構的動力特性必然由車行橋與人行橋共同決定。由于人行橋的動力特性尤其是自振頻率對其行人舒適性有重要影響[1-3]，因此確定懸掛式人行橋的自振頻率是非常重要的。雖然可以通過有限元方法得到較精確的結果，但是如采用簡便實用的估算方法獲得結構基頻從概念上對行人舒適性的優劣進行判斷仍然重要。另一方面，由于車行橋的振動會通過吊桿傳遞給人行橋，因此懸掛式人行橋的行人舒適性評價中不僅需要考慮人行激勵下的振動響應，還需考慮車致振動效應對行人舒適性的影響。因此，有必要針對考慮車致振動效應的懸掛式人行橋行人舒適性評價開展研究。

目前對于多種常見大型橋型固有振動頻率估算方面的研究已經較為成熟[4-5]，但對于懸掛式人行橋這一新型結構形式并無針對性分析。此外，現代車橋振動分析理論以采用更加接近真實的車輛模型和將橋梁理想化為多質量的有限元理論為主要特點，同時考慮路面粗糙度對車輛動力效應的影響，在此基礎上對多種橋型的車橋振動問題的研究已有相當的成果[6-7]，但對于將人行橋懸掛于車行橋下的這一結構形式亦無針對性的分析。

本文根據能量原理推導了簡支懸掛式人行橋豎彎及側彎振動基頻估算公式，公式給出了車行橋與人行橋的剛度比及質量比對結構自振頻率的影響規律，并通過有限元計算結果進行了驗證；利用分離迭代車橋耦合振動數值分析方法，對一座大跨度懸掛式人行橋的工程實例開展了車致振動效應評價，研究表明車行橋路面粗糙度、車速、車流密度對懸掛式人行橋的振動有很大影響，在懸掛式人行橋與車行主橋的剛度比很小的情況下，考慮車行橋隨機車流通過時，下懸人行橋的振動加速度峰值會略大于車行橋，并達到僅人行激勵引起的加速度峰值的一半以上，懸掛式人行橋的行人舒適性評價中應考慮車致振動效應的影響。

1 懸掛式人行橋基頻估算

將人行橋作為車行橋的懸掛結構，形成一個組合式橋梁，如圖1所示，車行橋與人行橋均為單跨等截面簡支梁。

圖1 簡支懸掛式人行橋

1.1 豎彎振動基頻

車行橋通過吊桿對人行橋提供豎向剛度，所以人行橋的豎彎振動頻率很大程度上受到車行橋的影響，計算時必須將車行橋與人行橋一起考慮。假設低階豎彎振動時吊桿不伸縮且保持豎直，吊桿順橋向布置足夠密集，車行橋與人行橋的豎彎可用相同的位移函數η(x,t)表示，則豎彎振動時總應變能為：

(1)

豎彎振動時總動能為：

(2)

式中，L為橋梁長度；E1I1、E2I2分別為車行橋與人行橋的豎向抗彎剛度；m1、m2分別為車行橋與人行橋的順橋向質量線密度；β1=E2I2/E1I1為人行橋與車行橋的剛度比系數，β2=m2/m1為人行橋與車行橋的質量比系數。

將豎彎振動位移函數表示為：

η(x,t)=Aψ(x)sin(ωt+θ)

(3)

ψ(x)為滿足邊界條件的近似振型函數。將式(3)代入式(1)、式(2)，使最大勢能等于最大動能，即Vmax=Tmax，得出懸掛式人行橋豎彎振動頻率為：

f=γ·f1

(4)

其中

(5)

(6)

式中，γ是量綱為1的系數，f1為僅車行橋自身豎彎振動的頻率。

取一階豎彎振型ψ(x)為正弦曲線，則有懸掛式人行橋豎彎振動基頻為：

(7)

可見，懸掛式人行橋豎彎振動基頻可以視為僅車行橋自身豎彎振動的基頻f1乘以一個系數γ，γ由人行橋與車行橋的剛度比及質量比決定，見式(5)。由于這種結構形式是由車行橋通過吊桿對人行橋提供支撐，因此系數γ是一個小于1的折減系數。

1.2 側彎振動基頻

懸掛式人行橋側彎振動時，車行橋對人行橋的約束很小，人行橋的側彎振動可以看成單跨簡支梁的橫向振動，基頻為

(8)

式中E2I2H為人行橋主梁的橫向抗彎剛度。

1.3 算例比較

給出兩算例，橋梁跨徑均為88 m；均采用相同的鋼主梁人行橋，主梁截面參數A=0.5 m2，Iz=0.08 m4，Iy=3.86 m4；算例1中車行橋采用預應力混凝土主梁，主梁截面參數A=28 m2，Iz=120 m4，Iy=3 950 m4；算例2中車行橋采用鋼主梁，主梁截面參數A=2 m2，Iz=4.44 m4，Iy=229 m4。兩算例的本文公式結果及有限元分析結果列于表 1。

表1 本文公式結果與有限元分析結果對比

可以看出，本文公式估算結果與有限元計算結果非常接近，用本文公式可快速估算懸掛式人行橋基頻并具有很好的精度。

以上兩算例中車行橋自身豎彎基頻基本相同且采用相同的人行橋，但算例2中懸掛式人行橋豎彎基頻明顯小于算例1中的值，這是由于兩算例中剛度比β1及質量比β2有差別導致折減系數γ不同。由于懸掛式人行橋需要車行橋來提供豎向支撐，所以一般情況下人行橋與車行橋的剛度比將明顯小于質量比，折減系數小于1。但對于不同的人行橋與車行橋的剛度比和質量比，折減系數會有較大差異。多數情況下車行主橋的剛度和質量都遠高于人行橋，這時懸掛式人行橋的豎彎基頻將比較接近車行橋自身的豎彎基頻，但接近程度受式(5)所定義的折減系數的影響。此外兩算例中人行橋側彎基頻相同，這也印證了人行橋側彎基頻只由其自身特性決定，與車行橋無關。

2 車橋耦合振動分析方法

2.1 路面粗糙度模型

路面粗糙度是引起車輛振動的主要激勵源，常表達為功率譜密度函數的隨機過程模擬，由Dodds和Robson提出的公路路面粗糙度PSD函數為[8]：

(9)

2.2 車輛橋梁空間耦合關系

2.2.1 幾何耦合關系

車輛和橋梁在車輪與橋面接觸處具有相同的豎向位移，橋梁的豎向變形對于車輛而言相當于附加路面粗糙度，橋梁變形引起的附加路面粗糙度和路面粗糙度進行疊加形成等效粗糙度，將等效粗糙度作為豎向激勵源進行輸入。橋梁側向和扭轉振動對車輛動力響應的影響主要通過將橋梁側向加速度和扭轉加速度作為基礎激勵對車輛模型進行輸入。

若第i個車輪與橋面接觸點位置處的路面粗糙度為rci(x)，則考慮橋梁位移后的第i個車輪處的豎向等效粗糙度、側向加速度和扭轉加速度分別為

Zci=rci(x)+wb+eiθxb

(10)

(11)

(12)

式中：wb、vb分別是車輪與橋面接觸點處橋梁截面豎向及側向位移；ei、hi分別為橋梁截面形心至車輪與橋面接觸點位置的水平距離和豎直距離；θxb為橋梁截面繞其形心的轉角。

2.2.2 力學耦合關系

車輪施加給橋面的豎向力由下式得到：

(13)

式中，Clzi，Klzi為第i個車輪對應的阻尼系數和剛度系數；Zci為第i個車輪與橋面接觸點處的等效粗糙度；Zsi為車體在第i個車輪處的位移；FGi為第i個車輪的分擔的重力。

2.3 車橋系統運動方程求解及程序實現

橋梁及車輛的運動方程可分別表示為

(14)

(15)

式中，Fbg和Fvg分別是作用在橋梁和車輛的與橋梁車輛的運動無關的荷載(如自重)；Fvb,Fbv分別表示車-橋系統間的相互作用力。

車橋系統運動方程的求解采用分離迭代法，具體求解步驟見文獻[9]。

3 人行橋行人舒適性評價標準

人行橋行人舒適性評價可概括為：一定荷載作用下人行橋的振動響應是否滿足人體的舒適度要求。目前最常用的是根據一定形式的加速度指標所處的范圍來確定人的振感進而評價舒適性。

德國人行橋設計指南EN03[12]吸收了2000年以來的新的研究成果，規定行人舒適性的標準由人行橋的峰值加速度來表示，推薦了4個舒適性級別，見表2。

表2 EN03中舒適性標準[12]

本文將依據BS 5400、EN 1990和EN03中規定的標準評價懸掛式人行橋的行人舒適性。

4 工程實例

國內首座在建懸掛于車行橋下的人行橋，結構立面及斷面見圖2。車行橋為58 m+94 m+58 m跨徑的變截面預應力混凝土連續箱梁橋，其主梁由兩幅單箱雙室箱梁組成，采用吊桿懸掛鋼箱主梁人行橋，人行橋跨徑為94 m。

圖2 橋梁立面及斷面圖

4.1 動力特性

建立結構空間有限元模型，分析其動力特性，得出各階頻率及振型，如表 3所示，可以看出，全橋結構的多數振型都包含車行橋的振動，且車行橋的振動又會耦合懸掛式人行橋的振動，顯示出這種結構形式車行橋與人行橋之間具有明顯的聯動效應。結果表明，懸掛式人行橋豎彎基頻為1.3 Hz，低于但非常接近車行橋自身的豎彎基頻1.317 7 Hz，側彎頻率不受車行橋影響。該橋動力特性分析所得結果與前文所得出的規律相互吻合。

表3 結構部分振型及頻率

4.2 車輛荷載作用下橋梁振動響應

4.2.1 重車并行通過時的橋梁響應

考慮沿車行橋橋面每個車道中心線行駛30噸重車，并行勻速行駛。給定不同的車速40 km/h，60 km/h，80 km/h，100 km/h，不同的路面狀況“路面好”與“路面差”，其中“路面好”和“路面差”分別對應于ISO規范中“非常好”和“一般”的路面粗糙度。將四種車速和兩種路面狀況組合，分別計算這八個工況的重車并行通過時的橋梁振動響應。根據計算結果，繪出重車并行通過時橋梁跨中豎向位移及加速度峰值隨車速變化的曲線，見圖3。所有工況的橋梁橫橋向振動響應都極小，本文未做討論。

圖3 重車并行通過時車行橋與人行橋跨中振動響應峰值與車速的關系

可以看出，路面粗糙度對車致振動效應的影響很大，“路面差”的情況下車致振動效應明顯大于“路面好”的情況。橋梁跨中的響應并非隨著車速的增加而增大，總體而言，車速為60 km/h時的橋梁動力響應大于其他車速時的響應，這主要由于在60 km/h車速時，車橋系統更易發生共振。人行橋與車行橋響應峰值之比基本不隨車速而變，各工況人行橋響應峰值均明顯小于車行橋。

重車并行通過橋梁的8個工況中，車速60 km/h、“路面差”條件下橋梁的動力響應最大，此時車行橋與人行橋的跨中豎向位移峰值分別為2.29 mm和1.89 mm，跨中豎向加速度峰值分別為0.556 m/s2和0.425 m/s2，跨中豎向位移時程見圖4。

圖4 跨中豎向位移時程(重車并行、車速60 km/h、路面差)

從響應時程曲線能夠看出，人行橋的振動與車行橋的振動具有較高的同步性。雖然振動響應時程顯示出人行橋的振動響應在有些時段會大于車行橋，但各工況人行橋響應峰值均小于車行橋。所以可以認為，重車并行通過時，此懸掛式人行橋并沒有放大車行橋的車致振動效應。

4.2.2 隨機車流通過時的橋梁響應

模擬了“稀疏車流”和“密集車流”兩種隨機車流樣本，并同時考慮“路面好”與“路面差”兩種路面狀況，將兩種隨機車流樣本和兩種路面狀況組合，分別計算這四個工況的隨機車流通過時的橋梁響應。結果表明四個工況中，“密集車流”、“路面差”條件下橋梁的動力響應最大，此時車行橋與人行橋的跨中豎向加速度峰值分別為0.342 m/s2和0.359 m/s2，跨中豎向加速度時程見圖5。

圖5 跨中豎向加速度時程(密集車流，路面差)

從響應的時程曲線能夠看出，隨機車流通過時人行橋的振動與車行橋的振動仍然具有較高的同步性。人行橋的振動響應在某些時段大于車行橋，且人行橋跨中豎向加速度峰值略大于車行橋。所以當考慮實際運營狀態的隨機車流通過時，此懸掛式人行橋可能會放大車行橋的車致振動效應，但放大的幅度較小。

4.2.3 橋梁振動響應的頻譜分析

車橋耦合振動的分析是在時間域內進行的，得到的是橋梁振動響應的時域結果。將響應的時間歷程轉換為頻域內的功率譜密度函數，得到振動響應的功率譜密度值-頻率值的關系曲線。

圖6 橋梁跨中豎向加速度功率譜密度(重車并行，路面差)

圖7 橋梁跨中豎向加速度功率譜密度(密集的隨機車流)

通過橋梁車致振動響應時域結果的頻譜分析可以發現，人行橋與車行橋的振動響應隨頻率的能量分布具有很高的一致性。有些工況中人行橋的加速度功率譜密度值在部分頻段內高于車行橋，這從頻域的角度說明某些工況中會出現人行橋的振動響應大于車行橋的情況。

4.3 考慮車致振動效應的行人舒適性評價

重車并行通過和隨機車流通過，人行橋跨中豎向峰值加速度最大分別為0.425 m/s2和0.359 m/s2，分別達到了僅人行激勵引起的豎向加速度峰值的62%和52%。可見，其行人舒適性評價中應考慮車致振動效應的影響。由于此懸掛式人行橋僅在人行激勵作用下其豎向加速度峰值已經較大，略高于或者接近于規范中規定的舒適度限值，所以進一步考慮車致振動效應的影響后此橋行人舒適性不滿足要求。

5 結 論

(1)推導了懸掛式人行橋基頻估算公式并通過有限元計算驗證了其精度。研究表明，懸掛式人行橋豎彎基頻一般情況下比較接近為其提供豎向支撐的車行橋自身的豎彎基頻，但接近程度受到由人行橋與車行橋的剛度比和質量比所定義的折減系數的影響。

(2)引入車輪與橋面接觸處的位移協調條件與車橋相互作用力的平衡關系，分別求解車輛與橋梁的運動方程，采用分離迭代法計算了某大跨度懸掛式人行橋車橋系統的響應，并對計算結果進行了頻譜分析。結果表明車輛激勵下人行橋的振動與車行橋的振動具有較高的同步性，路面粗糙度、車速、車流密度都會顯著影響車輛通過時橋梁的動力響應，當考慮實際運營狀態的隨機車流通過時，懸掛式人行橋可能會輕微放大車行橋的車致振動效應。

(3)研究表明，車行橋車致振動效應引起的人行橋跨中豎向峰值加速度可達到僅人行激勵引起的峰值加速度的一半以上，對于這種懸掛于車行橋之下的人行橋，其行人舒適性評價中應考慮車致振動效應的影響，且車致振動效應會降低其行人舒適性。

參 考 文 獻

[1]Pimentel R L,Pavic A, Waldron P. Evaluation of design requirements for footbridges excited by vertical forces from walking [J]. Canadian Journal of Civil Engineering, 2001, 28(5)：414-420.

[2]袁旭斌. 人行橋人致振動特性研究[D]. 上海：同濟大學, 2006.

[3]Bachmann H. Cases studies of structures with man-induced vibrations [J]. ASCE Journal of Structure Engineer, 1992, 118(3)：631-647.

[4]Harry H W, Joseph E S, Louis F G. Natural frequencies and modes of suspension bridges [J]. ASCE, 1984, 110(10):2471-2486.

[5]Ren W X, Peng X L,Lin Y Q. Experimental and analytical studies on dynamic characteristics of a large span cable-stayed bridge [J]. Engineering Structures, 2005,27(4)：535-548.

[6]李小珍, 張黎明, 張 潔. 公路橋梁與車輛耦合振動研究現狀與發展趨勢[J]. 工程力學, 2008, 25(3)：230-240.

LI Xiao-zhen, ZHANG Li-ming, ZHANG Jie. State-of-the-art review and trend of studies on coupling vibration for vehicle and highway bridge system [J]. Engineering Mechanics, 2008, 25(3)：230-240.

[7]Calcada R, Cunha A, Delgado R. Analysis of traffic-induced vibrations in a cable-stayed bridge [J]. Journal of Bridge Engineering, 2005, 10(4)：370-385.

[8]Dodds C J, Robson J D. The description of road surface roughness [J]. Journal of Sound and Vibration, 1973, 31(2)：175-183.

[9]韓萬水, 陳艾榮. 風-汽車-橋梁系統空間耦合振動研究[J]. 土木工程學報, 2007, 40(9)：53-58.

HAN Wan-shui, CHEN Ai-rong. Three-dimensional coupling vibration of wind-vehicle-bridge system [J]. China Civil Engineering Journal, 2007, 40(9)：53-58.

[10]BS 5400, Steel, Concrete and Composite Bridges-Part 2：Specification for Loads; Appendix C：Vibration Serviceability Requirements for Foot and Cycle Track Bridges, UK：British Standards Association, London, 1978.

[11]BS EN 1990：2002,Eurocode. Basis of structural design.

[12]Design of Footbridges Guideline EN03(2007),Germany, September, 2008.

[13]陳艾榮, 馬如進. 吳淞江大橋附屬人非橋行人舒適性及結構抗風穩定性研究[R]. 同濟大學橋梁工程系, 2012.