談系統牛頓第二定律的應用

白卓

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）17-0084-02

以牛頓第二定律為核心的牛頓運動定律是高中物理的主干知識，是高考的必考和重點考察內容，既有對牛頓第二定律單獨命題。也有與其他知識的綜合命題，且以各種題型出現。

中學生在用牛頓第二定律解題時，大多是把研究對象看成質點，運用 進行處理。而牛頓第二定律不僅對單個質點適用，對質點組或幾個質點的組成的系統也適用，并且有時對系統運用牛頓第二定律要比逐個對單個質點運用牛頓第二定律解題要簡便許多，可以省去一些中間環節，大大提高解題速度和減少錯誤的發生。所以有必要對單個質點和系統的牛頓第二定律進行相關的梳理。

現行高中教科版物理教材對牛頓第二定律的表述：“物體的加速度跟所受的合力成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向跟合力方向相同。”牛頓第二定律表達式：F合=ma。定律中所述物體是單個物體或有相同加速度的一個系統。

若把牛頓第二定律推廣到具有不同加速度系統則可表述為：系統受到的合力（系統以外的物體對系統內的物體的作用力的合力）等于系統內各物體的質量與其加速度乘積的矢量和。表達式為：F合=m1a1+m2a2+ ……+mnan。式中m1、m2、m3……分別為系統內各物體的質量，a1、a2、a3……為各物體的加速度，F合為這個系統受到的合力。相應的正交分解的表達式為：F合x =m1a1x+m2a2x+……+mnanx，F合y =m1a1y+m2a2y+……+mnany。式中a1x、a2x、a3x……為各物體在x軸上的分加速度，a1y、a2y、a3y……為各物體在y軸上的分加速度，F合x為系統在x軸上受到的合力，F合y為系統在y軸上受到的合力。

下面通過幾個實例加以說明：

1.如圖所示，一個箱子放在水平地面上，箱內有一固定的豎直桿，在桿上套著一個環，箱和桿的質量為M，環的質量為m，已知環沿著桿加速下滑，加速度為a，則此箱對地面的壓力為多少？ 分析與求解：本題既可以用隔離法也可以用系統牛頓第二定律處理

解法一：對m：mg-Ff=ma，對M： Mg+Ff=FN，FN=Mg+mg-ma。

解法二：建立豎直方向直線坐標系，以向下為正方向。對系統受力分析知，系統受豎直向下的重力（M+m）g，豎直向上的支持力FN，由系統的牛頓第二定律得：（M+m）g-FN=ma FN=Mg+mg-ma

2.傾如圖所示，傾角€%a=37€埃柿縈=5kg的粗糙斜面位于水平地面上。質量m=2kg的木塊置于斜頂端，從靜止開始勻加速下滑，經t=2s到達底端，運動路程L=4m，在此過程中斜面保持靜止（sin37€？0.6，cos37€？0.8，g取10m/s2）。求：

（1）地面對摩擦力大小與方向；

（2）地面對支持力大小；

分析與求解：本題同樣既可以用隔離法單獨對木塊和斜面進行相應的分析也可以用系統牛頓第二定律處理。

解法一：如圖所示，分別對木塊和斜面受力分析

L=at2 a==2m/s2

對木塊：mgsin€%a-f1=ma

對斜面：f2=N1sin€%a-f1cos€%a=3.2N，方向水平向左

地面對斜面的支持力N2=Mg+N1cos€%a+f1sin€%a=67.6N

解法二：對系統受力進行分析，系統受豎直向下的重力（M+m）g， 豎直向上的支持力N2，水平向左的摩擦力f2。建立水平和豎直方向的直角坐標系，ax=acos€%a ay=asin€%a

由系統的牛頓第二定律得：

f2=max （M+m）g-N=may

f2=macos€%a=3.2N，方向水平向左

N2=（M+m）g-masin€%a=67.6N

3.（2013安徽第4問）如圖所示，質量為M、傾角為€%Z的斜面體（斜面光滑且足夠長）放在粗糙的水平地面上，底部與地面的動摩擦因數為€%e，斜面頂端與勁度系數為K、自然長度為L的輕質彈簧相連，彈簧的另一端連接著質量為m的物塊。壓縮彈簧使其長度為3L/4時將物塊由靜止開始釋放，且物塊在以后的運動中，斜面體始終處于靜止狀態。重力加速度為g。

（1）求物塊處于平衡位置時彈簧的長度；

（2）選物塊的平衡位置為坐標原點，沿斜面向下為正方向建立坐標軸，用x表示物塊相對于平衡位置的位移，證明物塊做簡諧運動；

（3）求彈簧的最大伸長量；

（4）為使斜面始終處于靜止狀態，動摩擦因數€%e應滿足什么條件（假設滑動摩擦力等于最大靜摩擦力）？

分析與求解：本文僅就第（4）問用系統牛頓第二定律處理加以說明，至于隔離法分析物塊和斜面求解的方法請參考高考參考答案。結合前面幾問分析知，在物塊具有最大向上加速度時保持不動，則整個過程保持不動。即：am=gsin€%Z+KL/4m建立水平和豎直方向的直角坐標系得：amx=acos€%Z amy=asin€%Z

物塊運動時，要斜面靜止則需要€%e（Mg+mg-mamy）≥mamx

聯立求解得：€%e≥

終上所述，若一個系統內各物體的加速度不相同，又不需求系統內物體間的相互作用力時，利用上式求解系統所受的外力，因減少了求未知的內力，這就大大簡化了數學運算，使問題的處理較簡捷。用這種方法處理問題要抓住兩點：（1）分析系統受到的外力；（2）建立直角坐標系將系統內各物體的加速度正交分解，用系統牛頓第二定律正交分解表達式求解。

（責任編輯 易 凡）endprint

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）17-0084-02

以牛頓第二定律為核心的牛頓運動定律是高中物理的主干知識，是高考的必考和重點考察內容，既有對牛頓第二定律單獨命題。也有與其他知識的綜合命題，且以各種題型出現。

中學生在用牛頓第二定律解題時，大多是把研究對象看成質點，運用 進行處理。而牛頓第二定律不僅對單個質點適用，對質點組或幾個質點的組成的系統也適用，并且有時對系統運用牛頓第二定律要比逐個對單個質點運用牛頓第二定律解題要簡便許多，可以省去一些中間環節，大大提高解題速度和減少錯誤的發生。所以有必要對單個質點和系統的牛頓第二定律進行相關的梳理。

現行高中教科版物理教材對牛頓第二定律的表述：“物體的加速度跟所受的合力成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向跟合力方向相同。”牛頓第二定律表達式：F合=ma。定律中所述物體是單個物體或有相同加速度的一個系統。

若把牛頓第二定律推廣到具有不同加速度系統則可表述為：系統受到的合力（系統以外的物體對系統內的物體的作用力的合力）等于系統內各物體的質量與其加速度乘積的矢量和。表達式為：F合=m1a1+m2a2+ ……+mnan。式中m1、m2、m3……分別為系統內各物體的質量，a1、a2、a3……為各物體的加速度，F合為這個系統受到的合力。相應的正交分解的表達式為：F合x =m1a1x+m2a2x+……+mnanx，F合y =m1a1y+m2a2y+……+mnany。式中a1x、a2x、a3x……為各物體在x軸上的分加速度，a1y、a2y、a3y……為各物體在y軸上的分加速度，F合x為系統在x軸上受到的合力，F合y為系統在y軸上受到的合力。

下面通過幾個實例加以說明：

1.如圖所示，一個箱子放在水平地面上，箱內有一固定的豎直桿，在桿上套著一個環，箱和桿的質量為M，環的質量為m，已知環沿著桿加速下滑，加速度為a，則此箱對地面的壓力為多少？ 分析與求解：本題既可以用隔離法也可以用系統牛頓第二定律處理

解法一：對m：mg-Ff=ma，對M： Mg+Ff=FN，FN=Mg+mg-ma。

解法二：建立豎直方向直線坐標系，以向下為正方向。對系統受力分析知，系統受豎直向下的重力（M+m）g，豎直向上的支持力FN，由系統的牛頓第二定律得：（M+m）g-FN=ma FN=Mg+mg-ma

2.傾如圖所示，傾角€%a=37€埃柿縈=5kg的粗糙斜面位于水平地面上。質量m=2kg的木塊置于斜頂端，從靜止開始勻加速下滑，經t=2s到達底端，運動路程L=4m，在此過程中斜面保持靜止（sin37€？0.6，cos37€？0.8，g取10m/s2）。求：

（1）地面對摩擦力大小與方向；

（2）地面對支持力大小；

分析與求解：本題同樣既可以用隔離法單獨對木塊和斜面進行相應的分析也可以用系統牛頓第二定律處理。

解法一：如圖所示，分別對木塊和斜面受力分析

L=at2 a==2m/s2

對木塊：mgsin€%a-f1=ma

對斜面：f2=N1sin€%a-f1cos€%a=3.2N，方向水平向左

地面對斜面的支持力N2=Mg+N1cos€%a+f1sin€%a=67.6N

解法二：對系統受力進行分析，系統受豎直向下的重力（M+m）g， 豎直向上的支持力N2，水平向左的摩擦力f2。建立水平和豎直方向的直角坐標系，ax=acos€%a ay=asin€%a

由系統的牛頓第二定律得：

f2=max （M+m）g-N=may

f2=macos€%a=3.2N，方向水平向左

N2=（M+m）g-masin€%a=67.6N

3.（2013安徽第4問）如圖所示，質量為M、傾角為€%Z的斜面體（斜面光滑且足夠長）放在粗糙的水平地面上，底部與地面的動摩擦因數為€%e，斜面頂端與勁度系數為K、自然長度為L的輕質彈簧相連，彈簧的另一端連接著質量為m的物塊。壓縮彈簧使其長度為3L/4時將物塊由靜止開始釋放，且物塊在以后的運動中，斜面體始終處于靜止狀態。重力加速度為g。

（1）求物塊處于平衡位置時彈簧的長度；

（2）選物塊的平衡位置為坐標原點，沿斜面向下為正方向建立坐標軸，用x表示物塊相對于平衡位置的位移，證明物塊做簡諧運動；

（3）求彈簧的最大伸長量；

（4）為使斜面始終處于靜止狀態，動摩擦因數€%e應滿足什么條件（假設滑動摩擦力等于最大靜摩擦力）？

分析與求解：本文僅就第（4）問用系統牛頓第二定律處理加以說明，至于隔離法分析物塊和斜面求解的方法請參考高考參考答案。結合前面幾問分析知，在物塊具有最大向上加速度時保持不動，則整個過程保持不動。即：am=gsin€%Z+KL/4m建立水平和豎直方向的直角坐標系得：amx=acos€%Z amy=asin€%Z

物塊運動時，要斜面靜止則需要€%e（Mg+mg-mamy）≥mamx

聯立求解得：€%e≥

終上所述，若一個系統內各物體的加速度不相同，又不需求系統內物體間的相互作用力時，利用上式求解系統所受的外力，因減少了求未知的內力，這就大大簡化了數學運算，使問題的處理較簡捷。用這種方法處理問題要抓住兩點：（1）分析系統受到的外力；（2）建立直角坐標系將系統內各物體的加速度正交分解，用系統牛頓第二定律正交分解表達式求解。

（責任編輯 易 凡）endprint

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）17-0084-02

以牛頓第二定律為核心的牛頓運動定律是高中物理的主干知識，是高考的必考和重點考察內容，既有對牛頓第二定律單獨命題。也有與其他知識的綜合命題，且以各種題型出現。

中學生在用牛頓第二定律解題時，大多是把研究對象看成質點，運用 進行處理。而牛頓第二定律不僅對單個質點適用，對質點組或幾個質點的組成的系統也適用，并且有時對系統運用牛頓第二定律要比逐個對單個質點運用牛頓第二定律解題要簡便許多，可以省去一些中間環節，大大提高解題速度和減少錯誤的發生。所以有必要對單個質點和系統的牛頓第二定律進行相關的梳理。

現行高中教科版物理教材對牛頓第二定律的表述：“物體的加速度跟所受的合力成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向跟合力方向相同。”牛頓第二定律表達式：F合=ma。定律中所述物體是單個物體或有相同加速度的一個系統。

若把牛頓第二定律推廣到具有不同加速度系統則可表述為：系統受到的合力（系統以外的物體對系統內的物體的作用力的合力）等于系統內各物體的質量與其加速度乘積的矢量和。表達式為：F合=m1a1+m2a2+ ……+mnan。式中m1、m2、m3……分別為系統內各物體的質量，a1、a2、a3……為各物體的加速度，F合為這個系統受到的合力。相應的正交分解的表達式為：F合x =m1a1x+m2a2x+……+mnanx，F合y =m1a1y+m2a2y+……+mnany。式中a1x、a2x、a3x……為各物體在x軸上的分加速度，a1y、a2y、a3y……為各物體在y軸上的分加速度，F合x為系統在x軸上受到的合力，F合y為系統在y軸上受到的合力。

下面通過幾個實例加以說明：

1.如圖所示，一個箱子放在水平地面上，箱內有一固定的豎直桿，在桿上套著一個環，箱和桿的質量為M，環的質量為m，已知環沿著桿加速下滑，加速度為a，則此箱對地面的壓力為多少？ 分析與求解：本題既可以用隔離法也可以用系統牛頓第二定律處理

解法一：對m：mg-Ff=ma，對M： Mg+Ff=FN，FN=Mg+mg-ma。

解法二：建立豎直方向直線坐標系，以向下為正方向。對系統受力分析知，系統受豎直向下的重力（M+m）g，豎直向上的支持力FN，由系統的牛頓第二定律得：（M+m）g-FN=ma FN=Mg+mg-ma

2.傾如圖所示，傾角€%a=37€埃柿縈=5kg的粗糙斜面位于水平地面上。質量m=2kg的木塊置于斜頂端，從靜止開始勻加速下滑，經t=2s到達底端，運動路程L=4m，在此過程中斜面保持靜止（sin37€？0.6，cos37€？0.8，g取10m/s2）。求：

（1）地面對摩擦力大小與方向；

（2）地面對支持力大小；

分析與求解：本題同樣既可以用隔離法單獨對木塊和斜面進行相應的分析也可以用系統牛頓第二定律處理。

解法一：如圖所示，分別對木塊和斜面受力分析

L=at2 a==2m/s2

對木塊：mgsin€%a-f1=ma

對斜面：f2=N1sin€%a-f1cos€%a=3.2N，方向水平向左

地面對斜面的支持力N2=Mg+N1cos€%a+f1sin€%a=67.6N

解法二：對系統受力進行分析，系統受豎直向下的重力（M+m）g， 豎直向上的支持力N2，水平向左的摩擦力f2。建立水平和豎直方向的直角坐標系，ax=acos€%a ay=asin€%a

由系統的牛頓第二定律得：

f2=max （M+m）g-N=may

f2=macos€%a=3.2N，方向水平向左

N2=（M+m）g-masin€%a=67.6N

3.（2013安徽第4問）如圖所示，質量為M、傾角為€%Z的斜面體（斜面光滑且足夠長）放在粗糙的水平地面上，底部與地面的動摩擦因數為€%e，斜面頂端與勁度系數為K、自然長度為L的輕質彈簧相連，彈簧的另一端連接著質量為m的物塊。壓縮彈簧使其長度為3L/4時將物塊由靜止開始釋放，且物塊在以后的運動中，斜面體始終處于靜止狀態。重力加速度為g。

（1）求物塊處于平衡位置時彈簧的長度；

（2）選物塊的平衡位置為坐標原點，沿斜面向下為正方向建立坐標軸，用x表示物塊相對于平衡位置的位移，證明物塊做簡諧運動；

（3）求彈簧的最大伸長量；

（4）為使斜面始終處于靜止狀態，動摩擦因數€%e應滿足什么條件（假設滑動摩擦力等于最大靜摩擦力）？

分析與求解：本文僅就第（4）問用系統牛頓第二定律處理加以說明，至于隔離法分析物塊和斜面求解的方法請參考高考參考答案。結合前面幾問分析知，在物塊具有最大向上加速度時保持不動，則整個過程保持不動。即：am=gsin€%Z+KL/4m建立水平和豎直方向的直角坐標系得：amx=acos€%Z amy=asin€%Z

物塊運動時，要斜面靜止則需要€%e（Mg+mg-mamy）≥mamx

聯立求解得：€%e≥

終上所述，若一個系統內各物體的加速度不相同，又不需求系統內物體間的相互作用力時，利用上式求解系統所受的外力，因減少了求未知的內力，這就大大簡化了數學運算，使問題的處理較簡捷。用這種方法處理問題要抓住兩點：（1）分析系統受到的外力；（2）建立直角坐標系將系統內各物體的加速度正交分解，用系統牛頓第二定律正交分解表達式求解。

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