例談給定含參線性目標函數(shù)的最優(yōu)解問題

張文斌

（山西省洪洞縣第一中學，山西 洪洞）

“題設(shè)給出曾，贈滿足的二元一次不等式組，以及含參線性目標函數(shù)的最優(yōu)解的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍或參數(shù)的值”，此類問題的求解具有一定的難度，需要在變化過程中去靈活思考分析，同時還需要考慮全面，防止遺漏，請看以下歸類解析.

類型一：給定含參線性目標函數(shù)的最優(yōu)解“唯一”

一般地，根據(jù)曾，贈滿足的二元一次不等式組，以及含參線性目標函數(shù)的最優(yōu)解唯一，求參數(shù)的取值范圍，其關(guān)鍵是讓線性目標函數(shù)對應的直線繞著最優(yōu)解對應的點“旋轉(zhuǎn)分析”，以便考慮全面.

例1.已知實數(shù)曾，贈滿足線性約束條件，若目標函數(shù)z=k曾+贈當且僅當曾=3，贈=1時取得最小值，則實數(shù)k的取值范圍是________.

分析：由于目標函數(shù)z=k曾+贈中涉及參數(shù)k，所以動直線贈=-k曾+z（將z看作常量）的斜率不是常數(shù)，故本題需要根據(jù)最優(yōu)解唯一以及動直線的斜率與可行域中邊界直線的斜率的大小關(guān)系，加以靈活分析.

解析：如圖，先畫出可行域，易求得點粵（3，1）.于是，讓動直線贈=-k曾+z（將z看作常量）繞點粵“旋轉(zhuǎn)分析”易知：應滿足k粵悅＜-k＜k粵月.

故所求實數(shù)k的取值范圍是

評注：由于最優(yōu)解對應的點是唯一確定的，故可讓直線繞點“旋轉(zhuǎn)分析”，其目的是全面考慮動直線的各種可能位置中，有哪些是適合題意的.

類型二：給定含參線性目標函數(shù)的最優(yōu)解“有無窮多個”

一般地，根據(jù)曾，贈滿足的二元一次不等式組，以及含參線性目標函數(shù)的最優(yōu)解有無窮多個，求參數(shù)的值，其關(guān)鍵是將“平移直取得最小值時的最優(yōu)解有無窮多個，則實數(shù)k的值為（ ）線法”和“分類與整合思想”加以靈活、綜合運用，以便考慮全面.

例2.設(shè)變量曾，贈滿足約束條件，若z=k曾-贈（k∈R）

分析：由于目標函數(shù)z=k曾-贈中涉及參數(shù)k，所以動直線贈=k曾-z（將z看作常量）的斜率不是常數(shù)，故本題需要根據(jù)題設(shè)最優(yōu)解有無窮多個以及動直線的斜率與零的大小關(guān)系加以討論分析.

解析：如圖，畫出可行域，利用平移直線法分析可知：

當k＞0時，為滿足題意應使動直線贈=k曾-z與直線粵月的斜率相等，所以有k=1（對應最優(yōu)解為線段月悅上任一點的坐標）；

當k=0時，顯然不適合題意；

當k＜0時，為滿足題意應使動直線贈=k曾-z與直線月悅的斜率相等，所以有（對應最優(yōu)解為線段月悅上任一點的坐標）.

綜上可知，本題應選B.

評注：一般地，若最優(yōu)解有無窮多個，則最值情景一定滿足目標函數(shù)對應的動直線與可行域的邊界直線重合.特別提醒：動直線與邊界直線重合時，目標函數(shù)是取得最小值還是最大值，則需要根據(jù)教材給出的最值規(guī)律加以具體判斷.

綜上所述，處理此類問題的關(guān)鍵在于將靜態(tài)的問題放置到一系列的運動變換過程中去加以思考分析.這樣求解具體問題，有利于從運動變換的角度對問題進行探究.值得一提的是，我們要注意具體“動”的方式，通過在“動”中去關(guān)注、運用題設(shè)條件，從而可幫助我們順利分析、解決目標問題.