電感電流偽連續模式下Boost變換器的分數階建模與分析?

譚程 梁志珊

(中國石油大學(北京),地球物理與信息工程學院,北京 102249)

1 引 言

雖然分數階微積分理論擁有與整數階微積分幾乎一樣長的研究歷史,但由于缺乏明顯的幾何意義,使其應用一時受到了限制.直到近年來,在機械、物理、工程、信息科學、材料科學等領域發現存在分數階現象,使得分數階微積分理論有了實際的應用背景,從而成為了物理學和工程學的研究熱點[1?3].整數階微積分是相應分數階微積分的特例情況[4].已有的研究表明,相比于整數階的系統模型,其分數階模型能更透徹、更準確的反映系統的物理現象[5].

近年來,對電感和電容數學建模的研究結果表明:電感和電容本質上都是分數階的[6],整數階的電感和電容在實際中并不存在,基于分數階微積分理論建立的電感和電容模型更能反映其電特性[7,8],以往用來描述電感和電容電特性的整數階模型是不夠準確的甚至可能是錯誤的.然而,電感和電容又是開關功率變換器電路中不可或缺的電子器件.以往對開關功率變換器的模型研究都是建立在電感和電容是整數階基礎上的,顯然這與其分數階的本質是相違背的,是不科學的,這不能準確的反映開關功率變換器的動力學特性甚至可能會得出錯誤的結論.在已有的研究中,文獻[9]分析了分數階電容對功率因數校正變換器的影響,卻沒有考慮電感也是分數階的.文獻[10]所建立的分數階Buck-Boost變換器的模型也僅考慮了電容是分數階的.鑒于電感和電容本質上都是分數階的事實,文獻[11]對工作于電感電流連續模式(continuous conduction mode,CCM)下的Boost變換器進行了分數階區間數學模型和分數階狀態平均模型的建立和分析,但沒有進行電路模型的仿真驗證且分數階CCM Boost變換器的控制輸出傳遞函數具有右半平面零點(right half plane,RHP)問題;文獻[12]對工作于電感電流斷續模式(discontinuous conduction mode,DCM)下的Boost變換器進行了分數階區間數學模型和分數階狀態平均模型的建立和分析,但也沒有進行電路模型的仿真驗證且分數階DCM Boost變換器有電感電流紋波大、帶負載能力弱等問題.而工作于電感電流偽連續模式(pseudo continuous conduction mode,PCCM)下的Boost變換器(又稱三態Boost變換器)具有比CCM模式和DCM模式變換器更優良的工作性能[13].PCCM是一種介于CCM和DCM之間,Boost變換器的第三種工作模式[14].相對于CCM Boost變換器,PCCM Boost變換器的控制輸出傳遞函數不存在RHP問題,提高了系統的閉環穩定性和動態響應性能;相對于DCM Boost變換器,PCCM Boost變換器具有電感電流紋波小、帶負載能力強的優點.因此,對PCCM Boost變換器的分數階模型的研究是一項具有重要理論意義和實際應用價值的課題.

本文以PCCM Boost變換器為研究對象,推導出了PCCM Boost變換器的分數階區間數學模型和分數階狀態平均模型,對其電感電流和輸出電壓進行了理論分析以及傳遞函數的推導,并基于Matlab/Simulink的仿真環境,通過對推導的數學模型和電路模型進行仿真,分析了模型誤差產生的原因,驗證了分數階建模與理論分析的正確性.最后,指出了分數階Boost變換器工作于電感電流偽連續模式與連續模式、斷續模式的區別與聯系.

2 PCCM Boost變換器的分數階區間數學建模及分析

根據文獻[8]可知,分數階電感和分數階電容的數學模型為

其中,iL為流過分數階電感的電流,vL為分數階電感兩端的電壓,L為分數階電感值,iC為流經分數階電容的電流,vo為分數階電容兩端的電壓,C為分數階電容值,α和β分別為電感和電容的分數階階數且0＜α,β＜1.

Boost變換器工作于電感電流偽連續模式下的電路原理圖和時序脈沖及電感電流波形,如圖1所示.其中,vin為輸入電壓,R為負載電阻,PS1為控制開關管S1通斷的周期性脈沖信號,PS2為控制開關管S2通斷的周期性脈沖信號,周期均為T.則PCCM Boost變換器的工作原理為

1)工作模態1(0＜t＜d1T):周期性脈沖信號PS1為高電平,PS2為低電平時,開關管S1導通、S2關斷,二極管Di1承受反向電壓而關斷,持續時間為d1T.

2)工作模態2(d1T＜t＜(d1+d2)T):周期性脈沖信號PS1為低電平,PS2為低電平時,開關管S1關斷、S2關斷,二極管Di1承受正向電壓而導通,持續時間為d2T.

3)工作模態3((d1+d2)T＜t＜T):周期性脈沖信號PS1為低電平,PS2為高電平時,開關管S1關斷、S2導通,二極管Di1承受反向電壓而關斷,持續時間為d3T,其中d1+d2+d3=1.

圖1 PCCM Boost變換器 (a)電路原理圖;(b)時序脈沖及電感電流波形圖

3 PCCM Boost變換器分數階狀態平均模型的建立與分析

3.1 PCCM Boost變換器分數階狀態平均模型的建立

根據狀態平均法、PCCM Boost變換器三個工作模態的特點及分數階微積分的性質[15],對(2),(3),(4)式在一個工作周期T內求平均,可推導得到工作于電感電流偽連續模式下的狀態平均模型為

其中,〈vin〉,〈vo〉,〈iL〉分別為vin,vo,iL在一個周期內的平均值,令Vin,Vo,IL,D1,D2分別為vin,vo,iL,d1,d2的直流分量,?vin,?vo,?iL,?d1,?d2分別為vin,vo,iL,d1,d2的交流分量.因此,可對?vin,?vo,?iL,?d1,?d2作如下分解:

且

3.2 PCCM Boost變換器分數階狀態平均模型的分析

將(8)式中的直流分量分離出來,可得

根據Caputo分數階導數定義可知[15],常數的任意分數階導數等于零,則由(9)式可得系統處于穩態時的工作點為

此外,根據Caputo分數階導數定義,由(2)式可求得電感電流iL在(0,d1T)時間內的增加量,即電感電流紋波?iL為

將(6)式代入(11)式且忽略高階小量,并將其直流分量分離后,可得

其中,Γ(·)為伽馬函數[15].可見,電感電流紋波?iL不僅與電感L、輸入電壓直流分量Vin、占空比直流分量D1以及開關周期T有關,而且還與電感的階數α有關,并且與電感的階數α成反比例關系.與此同時,當α=1時,(12)式與用整數階模型所求的結果一致.

根據(10)式和(12)式可求得電感電流峰值iL?max和谷值iL?min的表達式分別為

由于PCCM Boost變換器獨特的工作模式,使其在工作模式1和工作模式3時,輸出電壓vo均處于下降過程,因此可知輸出電壓紋波?vo為

其中,?v1為處于工作模式1時的電壓減少量,?v2為處于工作模式3時的電壓減少量.

同理,根據(2)式和(4)式可求得輸出電壓vo在(0,d1T)和((d1+d2)T,T)時間內的減少量,即輸出電壓紋波?vo為

其中,Eβ(·)為Mittag-Leラe函數[15],Vo?max為輸出電壓峰值,其表達式為

將(10)式和(16)式代入(17)式可得

將(18)式代入(16)式可得電壓輸出紋波表達式為

根據電路模型和數學模型的電感電流iL和輸出電壓vo,可得所建數學模型的誤差百分比為

其中,bfbi為電感電流模型誤差百分比,bfbv為輸出電壓模型誤差百分比,iLd和vod分別為電路模型的電感電流和輸出電壓,iLs和vos分別為數學模型的電感電流和輸出電壓.

可見,輸出電壓紋波?vo不僅與電容C、輸入電壓直流分量Vin、占空比直流分量D1,D2,D3、負載電阻R以及開關周期T有關,而且還與電容的階數β有關,并且與電感的階數β成反比例關系.與此同時,當β=1時,(19)式與用整數階模型所求的結果一致.

3.3 PCCM Boost變換器分數階傳遞函數的分析

將(8)式的交流分量分離出來,可得

(22)式表明當占空比d1,d2的擾動變量==0時,輸入電壓vin的變化對輸出電壓vo的影響.

(23)式表明當輸入電壓vin的擾動變量=0,占空比d2的擾動變量=0時,占空比d1的變化對輸出電壓vo的影響.

輸出電壓?vo對占空比的傳遞函數Gvd2(s)為

(24)式表明當輸入電壓vin的擾動變量=0,占空比d1的擾動變量=0時,占空比d2的變化對輸出電壓vo的影響.

(25)式表明當占空比d1,d2的擾動變量==0時,輸入電壓vin的變化對電感電流iL的影響.

(26)式表明當輸入電壓vin的擾動變量=0,占空比d2的擾動變量=0時,占空比d1的變化對電感電流iL的影響.

輸出電流?iL對占空比的傳遞函數Gid2(s)為

(27)式表明當輸入電壓vin的擾動變量=0,占空比d1的擾動變量=0時,占空比d2的變化對電感電流iL的影響.

根據(23)式可知,分數階PCCM Boost變換器的控制輸出傳遞函數不存在RHP問題.當電感和電容的分數階階數α,β都等于1時,(22)–(27)式所示的分數階傳遞函數與文獻[14,16]所描述的整數階傳遞函數相一致,進一步說明了整數階系統是其分數階系統的特例情況,且在頻域和時域響應中,α,β這兩個參數對PCCM Boost變換器系統的動力學特性也產生了極大的影響.

4 數值仿真

4.1 分數階電感和電容的等效電路模型

根據文獻[17],基于分抗鏈[15]和改進的Oustaloup濾波器的分數階微積分算法[18],可以得到分數階電感和分數階電容的等效電路模型,如圖2和圖3所示.當Lα=3 mH,α=0.8時,圖2中各電阻值分別為RL1=7.16 k?,RL2=340.84 ?,RL3=34.25 ?,RL4=3.54 ?,RL5=367 m?,RL6=38 m?,RL7=4 m?,RL8=0.4 m?,RL9=42μ?,RL10=5μ?;各電感值分別為L1=95μH,L2=77μH,L3=131.6μH,L4=231.6 μH,L5=408 μH,L6=719.4 μH,L7=1.268 mH,L8=2.235 mH,L9=3.934 mH.當Cβ=100μH,β=0.8時,圖3中各電阻值分別為RC1=20 m?,RC2=160 m?,RC3=1.5 ?,RC4=14.6 ?,RC5=141 ?,RC6=1.36 k?,RC7=13.131 k?,RC8=126.742 k?,RC9=1.222 M?,RC10=102.85 M?;各電容值分別為C1=6.5μF,C2=13.98μF,C3=24.5μF,C4=43.2 μF,C5=76.2 μF,C6=134.2 μF,C7=236.6 μF,C8=417 μF,C9=736 μF,C10=560μF.

圖2 分數階電感等效電路模型

圖3 分數階電容等效電路模型

4.2 分數階PCCM Boost變換器的狀態平均模型與電路模型的仿真對比

文獻[11]和文獻[12]雖然分別建立了分數階CCM Boost變換器的數學模型和分數階DCM Boost變換器的數學模型,并進行了仿真,但由于PCCM Boost變換器獨特的工作模式,使得文獻[11]和文獻[12]所建立的仿真數學模型并不能適用于PCCM Boost變換器的數學模型仿真.因此,必須根據PCCM Boost變換器自身的特點,并根據文獻[18]所提出的改進的Oustaloup濾波器的分數階微積分算法和(5)式重新構建Matlab/Simulink數學模型,如圖4所示.其中,Fractional Ints?α為分數階積分單元,其內部結構如文獻[11]所示.在改進的Oustaloup濾波器的分數階微積分算法中,存在三個關鍵參數:擬合頻率下限ωb、擬合頻率上限ωh、濾波器階數2N+1.而在對實際分數階系統進行數值仿真時,需根據系統的頻率范圍選擇擬合頻率段(ωb,ωh)和N 值,一般取ωb·ωh=1. 選取電路參數為vin=24 V,L=3 mH,C=100μF,d1=0.4,d2=0.2,f=50 kHz.由于開關頻率f=50 kHz,即ω =2πf=3.14× 105rad/s,考慮還有高于開關頻率的高頻諧波存在,因而擬合頻率的選取需滿足條件ωh＞3.14×105rad/s.因此,選取ωh=1×106rad/s,ωb=1×10?6rad/s,N=10.根據分數階電感和電容的等效電路模型所建立的電路仿真模型,如圖5所示.

圖4 分數階PCCM Boost變換器Simulink數學仿真模型

圖5 分數階PCCM Boost變換器Simulink電路仿真模型

圖6 分數階PCCM Boost變換器電路模型仿真波形(a)電感電流iL;(b)輸出電壓vo

圖7 分數階PCCM Boost變換器電路模型與數學模型仿真波形比較 (a)電感電流iL;(b)輸出電壓vo

當取α=0.8,β=0.8時,根據文獻[11],可求得分數階Boost變換器工作于臨界狀態時的負載電阻值為R=1671.687 ?,則當R ＜ 1671.687 ?時,可保證系統工作于偽連續模式.因此,選取R=50 ?.當PCCM Boost變換器處于穩定運行狀態時,其電路模型的電感電流iL和輸出電壓vo的波形分別如圖6(a)和(b)所示.顯然,此種情況下Boost變換器工作于電感電流偽連續模式.對其電路模型的電感電流iL和輸出電壓vo在一個開關周期T內進行平均,并與其數學模型的電感電流iL和輸出電壓vo進行比較,如圖7(a)和(b)所示.由圖7結果可知,對PCCM Boost變換器所建的分數階數學模型是正確的.根據圖6(a)可測量出?iL=0.842 A,iL?min=6.800 A,iL?max=7.642 A,IL=7.211 A.根據圖6(b)可測量出?vo=3.200 V,vo?min=68.610 V,vo?max=71.810 V,Vo=70.210 V. 根據(10)式、(12)式、(13)式和(14)式可分別計算出?iL=0.720 A,iL?min=6.840 A,iL?max=7.560 A,IL=7.200 A;根據(10)式、(18)式和(19)式可分別計算出?vo=2.288 V,vo?min=70.856 V,vo?max=73.144 V,Vo=72.000 V.可知,對數學模型的理論分析和電路模型的仿真結果基本一致,從而表明對工作于偽連續模式下Boost變換器理論分析的正確性.

4.3 整數階PCCM Boost變換器狀態平均模型與電路模型的仿真對比

圖8 整數階PCCM Boost變換器Simulink數學仿真模型

圖9 整數階PCCM Boost變換器Simulink電路仿真模型

當把圖4中的分數階積分單元換為整數階積分單元時,即采用了整數階數學模型來描述PCCM Boost變換器,則其整數階Matlab/Simulink數學仿真模型如圖8所示;當用整數階電感和電容取代圖5中的分數階電感和電容時,則其整數階電路模型如圖9所示,其電路模型的電感電流iL和輸出電壓vo的波形分別如圖10(a)和(b)所示.可見,系統工作于電感電流偽連續模式.對其電路模型的電感電流iL和輸出電壓vo在一個開關周期T內進行平均,并和其數學模型的電感電流iL和輸出電壓vo進行比較,如圖11(a)和(b)所示.根據圖10(a)可測量出?iL=0.063 A,iL?min=7.092 A,iL?max=7.155 A,IL=7.124 A;根據圖10(b)可測量出?vo=0.230 V,vo?min=70.042 V,vo?max=70.650 V,Vo=70.540 V. 根據(10)式、(12)式、(13)式和(14)式可分別計算出?iL=0.064 A,iL?min=7.168 A,iL?max=7.232 A,IL=7.200 A;根據(10)式、(18)式和(19)式可分別計算出?vo=0.240 V,vo?min=71.880 V,vo?max=72.120 V,Vo=72.000 V.

圖10 整數階PCCM Boost變換器電路模型仿真波形(a)電感電流iL;(b)輸出電壓vo

對比整數階α=1,β=1和分數階α=0.8,β=0.8PCCM Boost變換器的數值仿真結果,可知電感電流直流分量IL和輸出電壓直流分量Vo沒有發生變化;而電感電流紋波?iL、電感電流峰值iL?max和谷值iL?min、輸出電壓紋波?vo、輸出電壓的峰值vo?max和谷值vo?min以及動態響應過程中的上升時間、延遲時間、調節時間、峰值時間、超調量都發生了很大的變化.這就表明用整數階模型描述本應該用分數階模型描述的PCCM Boost變換器,將會在電感電流紋波?iL、電感電流峰值iL?max和谷值iL?min、輸出電壓紋波?vo、輸出電壓的峰值vo?max和谷值vo?min以及動態響應過程中的上升時間、延遲時間、調節時間、峰值時間、超調量等方面得到錯誤的結果.因此,基于實際電感和電容本質上都是分數階的事實,為了能夠更好的描述工作于電感電流偽連續模式下Boost變換器的動力學特性,須采用其分數階形式的數學模型.

圖11 整數階PCCM Boost變換器電路模型與數學模型仿真波形比較 (a)電感電流iL;(b)輸出電壓vo

圖12 模型誤差百分比 (a)電感電流iL;(b)輸出電壓vo

4.4 模型誤差分析

根據(20)式可得模型誤差百分比曲線,如圖12所示.由文獻[19]可知,狀態空間平均法僅是平均法的一階近似,所建的狀態空間模型僅能近似的表示電路模型.因此,圖12所示的模型誤差百分比是合理的,所建立的PCCM Boost變換器的分數階數學模型是正確的.根據圖12可知,模型誤差與電感階數α和電容階數β有關.因此,須采用分數階數學模型來描述PCCM Boost變換器的動力學特性.

5 結 論

本文基于分數階微積分理論,建立了PCCM Boost變換器的分數階數學模型并進行了相應的理論分析;通過對其數學模型和電路模型的仿真對比,可得出如下結論

1)所建的PCCM Boost變換器的分數階數學模型可以準確的描述其電路模型.

2)對于分數階PCCM Boost變換器,所建分數階數學模型的誤差是由于狀態平均法只是平均法的近似而產生的,且其模型誤差百分比與電感L的分數階階數α和電容C的分數階階數β有關,即在其他參數不變的情況下,隨著電感L的分數階階數α和電容C的分數階階數β的增大而減小.

3)分數階PCCM Boost變換器的數學模型形式上雖然和分數階DCM Boost變換器一樣,但由于PCCM Boost變換器不同于DCM Boost變換器的工作特點,使得DCM Boost變換器分數階模型得出的結論并不能直接應用于PCCM Boost變換器的分數階模型理論分析.

4)分數階PCCM Boost變換器的數學模型形式上雖然和分數階CCM Boost變換器不一樣,但通過理論分析及仿真驗證,可知CCM Boost變換器分數階模型得出的結論能夠直接應用于PCCM Boost變換器的分數階模型理論分析.

5)對于分數階PCCM Boost變換器,在其他參數不變的情況下,其動態響應過程隨著電感L的分數階階數α和電容C的分數階階數β的增大而增大,即其階躍響應的上升時間、延遲時間、調節時間、峰值時間、超調量都將增大.

綜上所述,基于電感和電容本質上是分數階的事實,本文所建的PCCM Boost變換器的分數階數學模型是正確的,能夠真實的反映PCCM Boost變換器的動力學特性.

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