乘性和加性α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下的過阻尼單穩(wěn)隨機(jī)共振現(xiàn)象?

焦尚彬 任超 李鵬華 張青 謝國

(西安理工大學(xué)自動(dòng)化與信息工程學(xué)院,西安 710048)

1 引 言

傳統(tǒng)的微弱信號(hào)檢測(cè)方法大多都是通過抑制噪聲來實(shí)現(xiàn)微弱信號(hào)檢測(cè)的,而隨機(jī)共振(stochastic resonance,SR)噪聲增強(qiáng)的反常機(jī)理為微弱信號(hào)的檢測(cè)開辟了新的思路.SR最早被發(fā)現(xiàn)存在于非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)中,隨著研究的不斷深入,1993年Stocks等[1]首次發(fā)現(xiàn)了欠阻尼單穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的SR現(xiàn)象,隨后單穩(wěn)SR現(xiàn)象受到了學(xué)者們的關(guān)注,并取得了相應(yīng)的進(jìn)展[2?11].康等[12]研究了單模非線性光學(xué)系統(tǒng)中的單穩(wěn)SR現(xiàn)象,并對(duì)單穩(wěn)系統(tǒng)發(fā)生SR的一般條件給予了分析,認(rèn)為無論在多穩(wěn)或單穩(wěn)情形下,SR現(xiàn)象都會(huì)發(fā)生.Guo等[13,14]研究了乘性和加性高斯噪聲共同作用下的單穩(wěn)SR現(xiàn)象,通過分析發(fā)現(xiàn)加入乘性噪聲后可將單穩(wěn)系統(tǒng)等效為雙穩(wěn)系統(tǒng)進(jìn)行研究.

綜觀已有的單穩(wěn)SR研究成果,其基本上都是假設(shè)在高斯噪聲的條件下取得的.α穩(wěn)定分布是一種能夠保持自然噪聲過程的產(chǎn)生機(jī)理和傳播條件的極限分布,它能夠非常好地與實(shí)際數(shù)據(jù)相符合,高斯分布只是它的一個(gè)特例[15],故用α穩(wěn)定分布描述的α穩(wěn)定噪聲要比高斯噪聲更具有代表性,近幾年來α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下的雙穩(wěn)SR現(xiàn)象受到了學(xué)者們的廣泛關(guān)注,并且取得了很大的進(jìn)展[16?21].而α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下的單穩(wěn)SR現(xiàn)象的相關(guān)研究只是剛剛起步.Dybiec[22]研究了受周期性調(diào)制Lévy噪聲擾動(dòng)的四階單勢(shì)阱系統(tǒng)的SR現(xiàn)象.相對(duì)于雙穩(wěn)系統(tǒng)而言,單穩(wěn)系統(tǒng)具有系統(tǒng)參數(shù)少、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn),故對(duì)其進(jìn)行研究是十分有意義的.在實(shí)際中,待檢測(cè)信號(hào)頻率可能不止一個(gè),并且可能是高頻信號(hào),這就超出了SR理論所要求的頻率范圍[23].因此,需要對(duì)多個(gè)低頻、高頻微弱信號(hào)的檢測(cè)問題展開研究.然而到目前為止,有關(guān)α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下多頻微弱信號(hào)檢測(cè)的單穩(wěn)SR現(xiàn)象的研究尚未見相關(guān)報(bào)道.

文獻(xiàn)[24]已對(duì)α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下的多頻雙穩(wěn)SR現(xiàn)象進(jìn)行了研究,所得結(jié)論可為實(shí)現(xiàn)α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下雙穩(wěn)SR系統(tǒng)參數(shù)的自適應(yīng)調(diào)節(jié)奠定基礎(chǔ).本文在文獻(xiàn)[24]的研究基礎(chǔ)上,對(duì)α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下的多頻單穩(wěn)SR現(xiàn)象進(jìn)行了研究,主要研究?jī)?nèi)容包括以下幾個(gè)方面:本文在對(duì)稱和非對(duì)稱、乘性和加性α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下,先對(duì)多個(gè)低頻微弱信號(hào)激勵(lì)的單穩(wěn)SR現(xiàn)象進(jìn)行研究,隨后結(jié)合參數(shù)補(bǔ)償?shù)姆椒▽?duì)多個(gè)高頻微弱信號(hào)激勵(lì)的單穩(wěn)SR現(xiàn)象進(jìn)行研究,探究α穩(wěn)定噪聲特征指數(shù)α(0＜α≤2)、對(duì)稱參數(shù)β(?1≤β≤1),單穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)a及乘性α穩(wěn)定噪聲放大系數(shù)D對(duì)共振輸出效應(yīng)的作用規(guī)律.針對(duì)α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下的單穩(wěn)SR現(xiàn)象,得出了與文獻(xiàn)[24]所研究的雙穩(wěn)SR現(xiàn)象不一樣的結(jié)論.

2 模型與方法

由于α穩(wěn)定分布模型(即特征函數(shù))及α穩(wěn)定噪聲的產(chǎn)生方法(Janicki-Weron算法,JW算法)已在文獻(xiàn)[24—26]中有了詳細(xì)的說明,故本文中不再贅述.由α穩(wěn)定分布的特征函數(shù)可知,α穩(wěn)定噪聲的分布特征是由特征指數(shù)α∈(0,2]、對(duì)稱參數(shù)β∈[?1,1]、尺度參數(shù)σ∈[0,+∞)及位置參數(shù)μ∈(?∞,+∞)四個(gè)參數(shù)來決定的,通常記α穩(wěn)定分布為Sα(σ,β,μ).

2.1 單穩(wěn)SR系統(tǒng)模型

單穩(wěn)SR系統(tǒng)有多種模型[2?5,13,27],本文僅考慮其中一種典型模型所描述的α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下的過阻尼單穩(wěn)SR系統(tǒng),其模型如下:

式中,U(x)為非線性單穩(wěn)態(tài)勢(shì)函數(shù),U(x)=(a/4)x4,a為系統(tǒng)參數(shù),且a＞ 0;ηα(t)為加性α穩(wěn)定噪聲,代表外噪聲;s(t)為輸入信號(hào),在本文中為多頻疊加信號(hào),如下式所示:

式中,Ai為第i路信號(hào)幅值,fi為第i路信號(hào)頻率,n表示輸入信號(hào)的數(shù)量.

過阻尼單穩(wěn)SR系統(tǒng)因其勢(shì)函數(shù)為單勢(shì)阱而得名,但隨著乘性噪聲的加入,其可以形成勢(shì)壘,產(chǎn)生兩個(gè)勢(shì)阱,進(jìn)而可以等效為雙穩(wěn)SR系統(tǒng)來研究.由于乘性噪聲是隨機(jī)變化的,故所形成勢(shì)壘的高度也就是一個(gè)隨機(jī)量,這與雙穩(wěn)SR系統(tǒng)是有所區(qū)別的.受乘性和加性α穩(wěn)定噪聲驅(qū)動(dòng)的過阻尼單穩(wěn)SR系統(tǒng)可用如下的朗之萬(Langevin)方程[6,13]進(jìn)行描述:

式中,ξα(t)為乘性α穩(wěn)定噪聲,代表信號(hào)在傳輸過程中信道內(nèi)部依附于信號(hào)而存在的內(nèi)噪聲,其噪聲分布參數(shù)設(shè)置與ηα(t)相同;D代表ξα(t)的放大系數(shù),通過改變D可以間接地改變?chǔ)桅?t)的強(qiáng)度;其余參數(shù)含義不變.

本文采用四階龍格-庫塔(Runge-Kutta)算法對(duì)(3)式進(jìn)行求解,具體解法見文獻(xiàn)[18,21,24].由于特征指數(shù)α越小,α穩(wěn)定分布的脈沖性就越強(qiáng),這就導(dǎo)致粒子在長(zhǎng)時(shí)間跳躍過程中路徑變化很快以至無限大,因此,在數(shù)值模擬中需要對(duì)輸出信號(hào) x(t)進(jìn)行人為的截?cái)郲19,21,28],來解決粒子跳躍軌跡無限大的問題,文中所采取的截?cái)啻胧?當(dāng)|x(t)|＞ 5時(shí),令x(t)=sign(x(t))×5.

2.2 信噪比增益及平均信噪比增益

信噪比增益是衡量SR系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)增強(qiáng)和改善作用的重要指標(biāo),只有當(dāng)信噪比增益大于1時(shí),才能說明SR系統(tǒng)對(duì)信號(hào)具有明顯的增強(qiáng)和改善作用[23,29],并且信噪比增益越大檢測(cè)效果越好.假設(shè)輸入信號(hào)為(2)式所示多頻信號(hào),第 i路信號(hào)的信噪比增益記為Gi,則其定義如下:

式中,SP(ωi)in和SP(ωi)out分別表示SR前后第i路信號(hào)的功率,NP(ωi)in和NP(ωi)out分別表示在第i路輸入信號(hào)頻率處系統(tǒng)的輸入輸出平均噪聲功率.

為了衡量SR系統(tǒng)對(duì)多個(gè)頻率信號(hào)的整體檢測(cè)效果,利用平均信噪比增益對(duì)SR系統(tǒng)輸出效應(yīng)進(jìn)行衡量.平均信噪比增益記為MG,其定義如下:

式中各參數(shù)含義不變.

2.3 參數(shù)補(bǔ)償SR

目前,處理高頻微弱信號(hào)的方法有二次采樣[30?32]、調(diào)制[33]以及參數(shù)補(bǔ)償[24,34,35]等. 與二次采樣、調(diào)制等方法相比,參數(shù)補(bǔ)償法不受采樣頻率以及要求待檢測(cè)信號(hào)頻率已知等因素的影響,只需知道待檢測(cè)信號(hào)頻率所處的大致頻段即可,從而提高了高頻微弱信號(hào)檢測(cè)的靈活性,因此本文采用參數(shù)補(bǔ)償?shù)姆椒▉韺?shí)現(xiàn)高頻微弱信號(hào)的SR檢測(cè),其原理如下:

假設(shè)輸入信號(hào)s(t)=Asin(2πft),則(3)式變?yōu)?/p>

對(duì)(6)式左右兩邊同時(shí)對(duì) t進(jìn)行積分可得系統(tǒng)輸出為

從(7)式右邊第二項(xiàng)可以看出,輸入信號(hào)s(t)在經(jīng)過單穩(wěn)系統(tǒng)時(shí),其幅值會(huì)被積分環(huán)節(jié)(阻尼項(xiàng))縮減為原信號(hào)的1/2πf,輸入信號(hào)的頻率越高,被縮減的程度就越大,這樣高頻信號(hào)即使經(jīng)過單穩(wěn)系統(tǒng)的處理,輸出信號(hào)中也無法發(fā)現(xiàn)高頻信號(hào)的存在.因此,可以在Langevin方程中加入一個(gè)放大環(huán)節(jié)來抵消阻尼項(xiàng)的影響.加入放大環(huán)節(jié)后的Langevin方程變?yōu)?/p>

式中,K為補(bǔ)償參數(shù),理論上K的取值要與2πf相當(dāng),但在仿真實(shí)驗(yàn)中,為了取得相對(duì)較好的檢測(cè)效果,K的取值一般要大于2πf;其余參數(shù)含義不變.

3 α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下的多頻微弱信號(hào)檢測(cè)及單穩(wěn)SR現(xiàn)象

根據(jù)SR的相關(guān)理論可知,勢(shì)壘的高低直接影響著SR系統(tǒng)的輸出效應(yīng).勢(shì)壘高度越高,就要求輸入信號(hào)和噪聲具有較多的能量才能產(chǎn)生SR現(xiàn)象;反之,產(chǎn)生SR現(xiàn)象所要求的輸入信號(hào)和噪聲能量就越小.根據(jù)雙穩(wěn)系統(tǒng)勢(shì)壘高度的定義式[23]可得乘性α穩(wěn)定噪聲作用下單穩(wěn)系統(tǒng)勢(shì)壘高度的表達(dá)式為

從式中可以看出勢(shì)壘高度是由系統(tǒng)參數(shù)a、α穩(wěn)定噪聲分布參數(shù)(α,β,σ,μ)及乘性α穩(wěn)定噪聲放大系數(shù)D共同決定的,因此,本文將在α和β分別取不同值時(shí),研究在一定范圍內(nèi)通過調(diào)節(jié)a或D來實(shí)現(xiàn)高、低頻(均為多頻)微弱信號(hào)檢測(cè)的SR現(xiàn)象,探究不同α,β,a和D對(duì)系統(tǒng)共振輸出效應(yīng)的作用規(guī)律.需要說明的是,文中所給出的MG隨a和D的演變規(guī)律曲線均是取20次實(shí)驗(yàn)的平均值繪制而成的.

3.1 低頻(多頻)微弱信號(hào)檢測(cè)的單穩(wěn)SR現(xiàn)象

在研究低頻(多頻)微弱信號(hào)檢測(cè)的單穩(wěn)SR現(xiàn)象時(shí),仿真實(shí)驗(yàn)中所選取的淹沒在α穩(wěn)定噪聲中的輸入信號(hào)為

式中,A1=A2=A3=0.8,f1=0.01 Hz,f2=0.03 Hz,f3=0.05 Hz.另外,令α穩(wěn)定噪聲服從S1(1,0,0),a=0.1,D=0.374,采樣頻率為fs=7.306 Hz.仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖1所示.

圖1(a)為輸入信號(hào)與α穩(wěn)定噪聲混合信號(hào)的時(shí)域圖,圖1(b)為圖1(a)的局部放大圖.從圖1(a)和(b)中可以看出,輸入信號(hào)完全被α穩(wěn)定噪聲所淹沒,無法從時(shí)域圖中得到輸入信號(hào)的時(shí)域信息.對(duì)上述混合信號(hào)進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)得到其功率譜如圖1(c)所示,從該圖中也無法得到輸入信號(hào)的頻率信息.將該混合信號(hào)作為輸入信號(hào)送入單穩(wěn)SR系統(tǒng),然后調(diào)節(jié)a和D,當(dāng)a=0.1和D=0.374時(shí),SR系統(tǒng)輸出功率譜如圖1(d)所示,從圖中可以清晰地看出,在頻率0.01 Hz,0.03 Hz及0.05 Hz處出現(xiàn)了三個(gè)明顯的尖峰,這三個(gè)尖峰所對(duì)應(yīng)的頻率恰恰就是混合信號(hào)中三個(gè)輸入信號(hào)的頻率.說明通過改變a和D有效地調(diào)節(jié)了勢(shì)壘高度使粒子有足夠的能量越過勢(shì)壘,在加入乘性α穩(wěn)定噪聲后的單穩(wěn)系統(tǒng)的兩個(gè)勢(shì)阱間周期性的跳躍,即達(dá)到了SR狀態(tài),實(shí)現(xiàn)了α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下多個(gè)低頻微弱信號(hào)的單穩(wěn)SR檢測(cè).

圖1 (a)系統(tǒng)輸入時(shí)域圖;(b)系統(tǒng)輸入時(shí)域圖的局部放大圖;(c)系統(tǒng)輸入功率譜圖;(d)系統(tǒng)輸出功率譜圖(多個(gè)低頻信號(hào))

為了明確多個(gè)低頻微弱信號(hào)檢測(cè)時(shí)α,β,a及D與單穩(wěn)系統(tǒng)的共振輸出效應(yīng)之間的關(guān)系,展開如下仿真實(shí)驗(yàn)研究.

3.1.1 不同特征指數(shù)α下的低頻單穩(wěn)SR

令α分別為0.5,0.8,1,1.2和1.5,其余噪聲分布參數(shù)分別為β=0,σ=1,μ=0,s(t)和fs不變.固定D=0.374,仿真實(shí)驗(yàn)得到MG隨a的演變規(guī)律曲線如圖2所示.固定a=0.1,仿真實(shí)驗(yàn)得到MG隨D的演變規(guī)律曲線如圖3所示.

圖2 不同α作用下MG隨a的演變規(guī)律曲線(低頻)

圖3 不同α作用下MG隨D的演變規(guī)律曲線(低頻)

從圖2中可以看出,當(dāng)α取不同值時(shí),MG隨a均是非線性變化的,且對(duì)于每一個(gè)α,MG都存在一個(gè)最大值,說明對(duì)于a而言,存在一個(gè)最優(yōu)值可使系統(tǒng)產(chǎn)生最佳的SR效應(yīng).通過對(duì)α=1時(shí)MG隨a的演變規(guī)律曲線分析發(fā)現(xiàn),當(dāng)a從零開始逐漸增大到0.1的過程中,勢(shì)壘高度在不斷的降低,此時(shí)粒子發(fā)生躍遷所需的能量也在逐漸減少,即粒子逐漸變得更容易發(fā)生躍遷,因此,MG隨著a的增大呈上升趨勢(shì);當(dāng)a=0.1時(shí),輸入信號(hào)、噪聲及非線性系統(tǒng)三者之間達(dá)到了最佳的匹配關(guān)系,系統(tǒng)產(chǎn)生了最佳的SR效應(yīng),MG也達(dá)到了最大值;當(dāng)a從0.1開始繼續(xù)增大時(shí),勢(shì)壘高度仍在不斷的降低,以至于使加入乘性α穩(wěn)定噪聲的單穩(wěn)系統(tǒng)的雙勢(shì)阱又逐漸變成了單勢(shì)阱,此過程中,粒子也將從在雙勢(shì)阱中的周期性躍遷逐漸變?yōu)閱蝿?shì)阱內(nèi)的小幅波動(dòng),SR現(xiàn)象隨之逐漸消失,故MG隨著a的繼續(xù)增大呈逐漸下降的趨勢(shì).從圖3中也可以看出,當(dāng)α取不同值時(shí),MG隨D也是非線性變化的,且對(duì)于每一個(gè)α,MG都存在一個(gè)最大值,說明對(duì)于D而言,也存在一個(gè)最優(yōu)值可使系統(tǒng)產(chǎn)生最佳的SR效應(yīng).通過對(duì)α=1時(shí)MG隨D的演變規(guī)律曲線分析發(fā)現(xiàn),當(dāng)D從零開始逐漸增大到0.374的過程中,隨著乘性α穩(wěn)定噪聲的加入,單穩(wěn)系統(tǒng)的勢(shì)函數(shù)逐漸由單勢(shì)阱變成了雙勢(shì)阱,粒子也將從在單勢(shì)阱內(nèi)的小幅波動(dòng)逐漸變?yōu)殡p勢(shì)阱中的周期性躍遷,SR現(xiàn)象隨之逐漸產(chǎn)生,故MG隨著D的增大呈逐漸上升的趨勢(shì);當(dāng)D=0.374時(shí),輸入信號(hào)、噪聲及非線性系統(tǒng)三者之間達(dá)到了最佳的匹配關(guān)系,系統(tǒng)產(chǎn)生了最佳的SR效應(yīng),MG也達(dá)到了最大值;當(dāng)D從0.374開始繼續(xù)增大時(shí),勢(shì)壘高度在不斷的增加,輸入信號(hào)和噪聲所提供的能量逐漸不足以使粒子在兩個(gè)勢(shì)阱間周期性的躍遷,SR現(xiàn)象隨之逐漸消失,故MG隨著D的繼續(xù)增大呈逐漸下降的趨勢(shì).當(dāng)α分別為0.5,0.8,1.2和1.5時(shí),MG隨a或D的演變規(guī)律曲線所呈現(xiàn)出的非線性特征及其機(jī)理與α=1時(shí)的情形是相同的.另外還發(fā)現(xiàn),當(dāng)α取不同值時(shí),共振效應(yīng)相對(duì)較好的a或D區(qū)間基本都集中在同一個(gè)區(qū)域;當(dāng)α＞1時(shí),隨著α的增大,單穩(wěn)系統(tǒng)的共振輸出效應(yīng)呈逐漸遞減的趨勢(shì),當(dāng)α＜1時(shí),隨著α的減小,單穩(wěn)系統(tǒng)的共振輸出效應(yīng)呈逐漸遞減的趨勢(shì).

3.1.2 不同對(duì)稱參數(shù)β下的低頻單穩(wěn)SR

令β分別為?1,0和1,其余噪聲分布參數(shù)分別為α=1.2,σ=1,μ=0,s(t)和fs不變.固定D=0.374,仿真實(shí)驗(yàn)得到MG隨a的演變規(guī)律曲線如圖4所示.固定a=0.1,仿真實(shí)驗(yàn)得到MG隨D的演變規(guī)律曲線如圖5所示.

從圖4和圖5中可以看出,當(dāng)β取不同值時(shí),MG隨a或D均是非線性變化的,且對(duì)于每一個(gè)β,MG都存在一個(gè)最大值,說明對(duì)于a或D而言,存在一個(gè)最優(yōu)值可使系統(tǒng)產(chǎn)生最佳的SR效應(yīng);當(dāng)β取不同值時(shí),共振效應(yīng)相對(duì)較好的a或D區(qū)間基本都集中在同一個(gè)區(qū)域;β=0時(shí)的MG要高于β≠0時(shí)的MG,即α穩(wěn)定噪聲呈對(duì)稱分布時(shí)單穩(wěn)系統(tǒng)的共振輸出效應(yīng)要好于非對(duì)稱分布時(shí)的情形.

圖4 不同β作用下MG隨a的演變規(guī)律曲線(低頻)

圖5 不同β作用下MG隨D的演變規(guī)律曲線(低頻)

3.2 高頻(多頻)微弱信號(hào)檢測(cè)的單穩(wěn)SR現(xiàn)象

在研究高頻(多頻)微弱信號(hào)檢測(cè)的單穩(wěn)SR現(xiàn)象時(shí),仿真實(shí)驗(yàn)所選取的輸入信號(hào)如(10)式所示,其中A1=A2=A3=1,f1=1000 Hz,f2=2000 Hz,f3=3000 Hz.另外,令α穩(wěn)定噪聲服從S1(1,0,0),a=0.01,D=0.374,fs=204800 Hz,K=100000.仿真實(shí)驗(yàn),結(jié)果如圖6所示.

圖6(a)和(b)分別為輸入信號(hào)與α穩(wěn)定噪聲混合信號(hào)的時(shí)域圖和功率譜圖,從這兩幅圖中可以看出,輸入信號(hào)完全被α穩(wěn)定噪聲所淹沒,無法得到輸入信號(hào)的時(shí)頻域信息.同樣,將該混合信號(hào)作為輸入信號(hào)送入單穩(wěn)SR系統(tǒng),然后調(diào)節(jié)a和D,當(dāng)a=0.01和D=0.374時(shí),SR系統(tǒng)輸出功率譜如圖6(c)所示,從圖中可以清晰地看出,在頻率1000 Hz,2000 Hz及3000 Hz處出現(xiàn)了三個(gè)明顯的尖峰,這三個(gè)尖峰所對(duì)應(yīng)的頻率恰恰也是混合信號(hào)中三個(gè)輸入信號(hào)的頻率.說明在實(shí)現(xiàn)α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下多個(gè)低頻微弱信號(hào)的單穩(wěn)SR檢測(cè)的基礎(chǔ)上,結(jié)合參數(shù)補(bǔ)償?shù)姆椒蛇M(jìn)一步實(shí)現(xiàn)α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下多個(gè)高頻微弱信號(hào)的單穩(wěn)SR檢測(cè).

圖6 (a)系統(tǒng)輸入時(shí)域圖;(b)系統(tǒng)輸入功率譜圖;(c)系統(tǒng)輸出功率譜圖(多個(gè)高頻信號(hào))

為了明確多個(gè)高頻微弱信號(hào)檢測(cè)時(shí)α,β,a及D與單穩(wěn)系統(tǒng)的共振輸出效應(yīng)之間的關(guān)系,進(jìn)一步按研究多個(gè)低頻微弱信號(hào)激勵(lì)的單穩(wěn)SR現(xiàn)象的方法對(duì)不同α或β作用下的多個(gè)高頻微弱信號(hào)激勵(lì)的單穩(wěn)SR現(xiàn)象展開了研究,得到了MG與a及MG與D之間的演變規(guī)律曲線,分別如圖7、圖8、圖9和圖10所示.圖7和圖8中的小圖為大圖的局部放大圖(大小圖中的坐標(biāo)及線條設(shè)置相同),以便更清晰地觀察縱坐標(biāo)接近于零時(shí)曲線的變化趨勢(shì).

圖7 不同α作用下MG隨a的演變規(guī)律曲線(D=0.374,β=0,高頻)

圖8 不同α作用下MG隨D的演變規(guī)律曲線(a=0.01,β=0,高頻)

圖9 不同β作用下MG隨a的演變規(guī)律曲線(D=0.374,α=1.2,高頻)

圖7、圖8、圖9及圖10顯示了在不同α或β作用下,多個(gè)高頻微弱信號(hào)激勵(lì)單穩(wěn)SR系統(tǒng)時(shí)MG隨a或D的演變規(guī)律曲線.通過分析發(fā)現(xiàn),在進(jìn)行高、低頻(均為多頻)微弱信號(hào)檢測(cè)時(shí)MG隨a或D的演變規(guī)律是一致的.

圖10 不同β作用下MG隨D的演變規(guī)律曲線(a=0.01,α=1.2,高頻)

通過對(duì)上文中MG隨a或D演變規(guī)律的分析發(fā)現(xiàn),可使單穩(wěn)系統(tǒng)產(chǎn)生相對(duì)較好的SR效應(yīng)的a或D區(qū)間只有一個(gè),而文獻(xiàn)[24]中發(fā)現(xiàn)有多個(gè)系統(tǒng)參數(shù)(a或b)區(qū)間可使雙穩(wěn)系統(tǒng)產(chǎn)生相對(duì)較好的SR效應(yīng).

4 α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下的單頻微弱信號(hào)檢測(cè)及單穩(wěn)SR現(xiàn)象

本文以信噪比增益Gi(此時(shí)只有一路信號(hào),故i=1)為α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下單頻單穩(wěn)SR現(xiàn)象的衡量指標(biāo),以研究α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下多頻單穩(wěn)SR現(xiàn)象的方法對(duì)α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下單頻單穩(wěn)SR現(xiàn)象展開了研究,并得到了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.通過對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析總結(jié)發(fā)現(xiàn),在研究α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下單、多頻單穩(wěn)SR現(xiàn)象時(shí)所得結(jié)論是一致的.限于篇幅,文中僅給出α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下單個(gè)低頻微弱信號(hào)的單穩(wěn)SR檢測(cè)結(jié)果,如圖11所示,其他規(guī)律曲線不再給出.

圖11 單個(gè)低頻微弱信號(hào)檢測(cè)結(jié)果(a)系統(tǒng)輸入時(shí)域圖;(b)系統(tǒng)輸入功率譜圖;(c)系統(tǒng)輸出功率譜圖(A=0.8,f=0.02 Hz,α穩(wěn)定噪聲服從S1(1,0,0),a=0.1,D=0.32,fs=9 Hz)

5 結(jié) 論

本文將α穩(wěn)定噪聲與單穩(wěn)隨機(jī)共振(SR)系統(tǒng)相結(jié)合,研究了乘性和加性α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下單、多頻微弱信號(hào)激勵(lì)的單穩(wěn)SR現(xiàn)象.探究了α穩(wěn)定噪聲分布參數(shù)α,β,單穩(wěn)系統(tǒng)參數(shù)a及乘性α穩(wěn)定噪聲放大系數(shù)D與單穩(wěn)系統(tǒng)共振輸出效應(yīng)之間的關(guān)系,揭示了α,β,a及D對(duì)單穩(wěn)系統(tǒng)共振輸出效應(yīng)的作用規(guī)律.得到如下結(jié)論:1)在一定范圍內(nèi),通過調(diào)節(jié)a或D均可實(shí)現(xiàn)α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下單個(gè)或多個(gè)低頻微弱信號(hào)的單穩(wěn)SR檢測(cè),結(jié)合參數(shù)補(bǔ)償?shù)姆椒?可以進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)單個(gè)或多個(gè)高頻微弱信號(hào)的單穩(wěn)SR檢測(cè).2)當(dāng)α或β取不同值時(shí),平均信噪比增益(MG)隨a或D均是非線性變化的,且對(duì)于每一個(gè)α或β,MG都存在一個(gè)最大值,即對(duì)于a或D而言,存在一個(gè)最優(yōu)值可使系統(tǒng)產(chǎn)生最佳的SR效應(yīng).另外,共振效應(yīng)相對(duì)較好的a或D區(qū)間基本都集中在同一個(gè)區(qū)域.3)當(dāng)α＞1時(shí),單穩(wěn)系統(tǒng)的共振輸出效應(yīng)隨α的增大而減弱;當(dāng)α＜1時(shí),單穩(wěn)系統(tǒng)的共振輸出效應(yīng)隨α的減小而減弱.4)β=0時(shí)的MG要高于β≠0時(shí)的值,即α穩(wěn)定噪聲呈對(duì)稱分布時(shí)單穩(wěn)系統(tǒng)的共振輸出效應(yīng)要好于非對(duì)稱分布時(shí)的情形.5)在高、低頻微弱信號(hào)檢測(cè)中,α或β對(duì)單穩(wěn)系統(tǒng)共振輸出效應(yīng)的作用規(guī)律是相同的.6)在研究α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下單、多頻單穩(wěn)SR現(xiàn)象時(shí)所得結(jié)論是一致的.上述結(jié)論將有助于自適應(yīng)調(diào)參單穩(wěn)SR系統(tǒng)中參數(shù)的合理選取,為實(shí)現(xiàn)α穩(wěn)定噪聲環(huán)境下微弱信號(hào)單穩(wěn)SR檢測(cè)的實(shí)際工程應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

[1]Stocks N G,Stein N D,McClintock P V E 1993 J.Phys.A:Math.Gen.26 L385

[2]Vilar J M G,Rub J M 1996 Phys.Rev.Lett.77 2863

[3]vstigneev M,Reimann P,Pankov V,Prince R H 2004 Europhys.Lett.65 7

[4]Zhang W,Xiang B R 2006 Talanta 70 267

[5]Guo F,Huang Z Q,Fan Y,Li S F,Zhang Y 2009 Chin.Phys.Lett.26 100504

[6]Zhou B C,Xu W 2009 Chaos,Solitons&Fractals 40 401

[7]He C D,Xu W,Yue X L 2010 Acta Phys.Sin.59 5276(in Chinese)[何成娣,徐偉,岳曉樂2010物理學(xué)報(bào)59 5276]

[8]Zhou Y R 2011 Chin.Phys.B 20 010501

[9]Li J M,Chen X F,He Z J 2011 Journal of Mechanical Engineering 47 58(in Chinese)[李繼猛,陳雪峰,何正嘉2011機(jī)械工程學(xué)報(bào)47 58]

[10]Yao M L,Xu W,Ning L J 2012 Nonlinear Dyn.67 329

[11]Zhang X Y,Xu W,Zhou B C 2012 Acta Phys.Sin.61 030501(in Chinese)[張曉燕,徐偉,周丙常 2012物理學(xué)報(bào)61 030501]

[12]Kang Y M,Xu J X,Xie Y 2003 Acta Phys.Sin.52 2712(in Chinese)[康艷梅,徐健學(xué),謝勇2003物理學(xué)報(bào)52 2712]

[13]Guo F 2009 Physica A 388 2315

[14]Guo F,Luo X D,Li S F,Zhou Y R 2010 Chin.Phys.B 19 080504

[15]Qiu T S,Zhang X X,Li X B,Sun Y M 2004 Statistical Signal Processing—Non-Gaussian Signal Processing and its Applications(Beijing:Publishing House of Electronics Industry)p140(in Chinese)[邱天爽,張旭秀,李小兵,孫永梅2004統(tǒng)計(jì)信號(hào)處理—非高斯信號(hào)處理及其應(yīng)用(北京:電子工業(yè)出版社)第140頁]

[16]Dybiec B,Gudowska-Nowak E 2006 Acta Phys.Pol.B 37 1479

[17]Zeng L Z,Bao R H,Xu B H 2007 J.Phys.A:Math.Theor.40 7175

[18]Zhang W Y,Wang Z L,Zhang W D 2009 Control Engineering of China 16 638(in Chinese)[張文英,王自力,張衛(wèi)東2009控制工程16 638]

[19]Zeng L Z,Xu B H 2010 Journal of physics A:Statistical Mechanics and its Applications 22 5128

[20]Srokowski T 2012 Eur.Phys.J.B 85 1

[21]Zhang G L,Lü X L,Kang Y M 2012 Acta Phys.Sin.61 040501(in Chinese)[張廣麗,呂希路,康艷梅 2012物理學(xué)報(bào)61 040501]

[22]Dybiec B 2009 Phys.Rev.E 80 041111

[23]Hu N Q 2012 Stochastic Resonance Weak Characteristic Signal Detection Theory and Methods(Beijing:National Defense Industry Press)p60(in Chinese)[胡蔦慶2012隨機(jī)共振微弱特征信號(hào)檢測(cè)理論與方法(北京:國防工業(yè)出版社)第60頁]

[24]Jiao S B,Ren C,Huang W C,Liang Y M 2013 Acta Phys.Sin.62 210501(in Chinese)[焦尚彬,任超,黃偉超,梁炎明2013物理學(xué)報(bào)62 210501]

[25]Tang Y,Zou W,Lu J Q,Kurths J 2012 Phys.Rev.E 85 1539

[26]Liang Y J,Chen W 2013 Signal Processing 93 242

[27]Agudov N V,Krichigin A V 2008 Radiophysics and Quantum Electronics 51 812

[28]Weron R 1996 Statist.Prob.Lett.28 165

[29]Wan P,Zhan Y J,Li X C,Wang Y H 2011 Acta Phys.Sin.60 040502(in Chinese)[萬頻,詹宜巨,李學(xué)聰,王永華2011物理學(xué)報(bào)60 040502]

[30]Leng Y G,Wang T Y 2003 Acta Phys.Sin.52 2432(in Chinese)[冷永剛,王太勇 2003物理學(xué)報(bào) 52 2432]

[31]Leng Y G,Wang T Y,Qin X D,Li R X,Guo Y 2004 Acta Phys.Sin.53 0717(in Chinese)[冷永剛,王太勇,秦旭達(dá),李瑞欣,郭焱2004物理學(xué)報(bào)53 0717]

[32]Leng Y G 2009 Acta Phys.Sin.58 5196(in Chinese)[冷永剛2009物理學(xué)報(bào)58 5196]

[33]Lin M,Huang Y M 2006 Acta Phys.Sin.55 3277(in Chinese)[林敏,黃詠梅 2006物理學(xué)報(bào) 55 3277]

[34]Jiao S B,He T 2013 Computer Engineering and Applications(in Chinese)[焦尚彬,何童2013計(jì)算機(jī)工程與應(yīng)用]

[35]Lü Y,Wang C Y,Tian Y,Hou B 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House 8 40(in Chinese)[呂運(yùn),王長(zhǎng)悅,田野,侯彪 2010機(jī)械與電子 8 40]